„Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.23” változatai közötti eltérés

A VIK Wikiből
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
(Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Villanyalap|VizsgaNegy}} =====1. Adja meg az összes olyan <math>z</math> komplex számot, melyre <math>z^4=2j\frac{-8+6j}{3+4j}</math>.===== ===…”)
 
a
 
(10 közbenső módosítás, amit egy másik szerkesztő végzett, nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
−
{{GlobalTemplate|Villanyalap|VizsgaNegy}}
+
__NOTOC__
 +
{{vissza|Matematika A1a - Analízis}}
  
 +
===1. Feladat===
  
 +
Adja meg az összes olyan <math>z</math> komplex számot, melyre <math>z^4=2j\frac{-8+6j}{3+4j}</math>.
  
 +
{{Rejtett
 +
|mutatott='''Megoldás'''
 +
|szöveg=
  
−
=====1. Adja meg az összes olyan <math>z</math> komplex számot, melyre <math>z^4=2j\frac{-8+6j}{3+4j}</math>.=====
+
Végezzük el először a <math>2j</math>-vel való beszorzást.
  
 +
<math>z^4=\frac{-16j-12}{3+4j}=\frac{-4*(3+4j)}{3+4j}=-4</math>
  
−
=====2.=====
+
Mivel a komplex síkon a (-4;0) koordinátájú pontba mutató helyvektor forgásszöge <math>\pi</math> és nagysága 4, így:
  
−
(a) <math>\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?</math>
+
<math>z^4=-4=-4+0*j=4*(cos\pi+j*sin\pi)</math> Mert
  
−
(b) <math>\lim_{x\to\infty}\frac{(3-\frac{1}{n})^n}{3^n}=?</math>
+
Ebből kell most negyedik gyököt vonni:
  
 +
<math>z=\sqrt{2}*(cos\frac{\pi+2k\pi}{4}+j*sin\frac{\pi+2k\pi}{4})</math> ahol <math>k=0,1,2,3</math>
  
−
=====3. Melyik igaz, melyik nem:=====
+
}}
  
−
a, Ha <math>f</math> folytonos <math>[a,b]</math>-n, akkor <math>f</math> korlátos <math>[a,b]</math>-n
+
===2. Feladat===
  
−
b, Ha <math>f</math> folytonos <math>(a,b)</math>-n, akkor <math>f</math> korlátos <math>(a,b)</math>-n
+
Határozza meg az alábbi határértékeket!
  
−
c, Ha <math>f</math> folytonos <math>(a,b)</math>-n, akkor véges sok pont kivételével <math>f</math> deriválható <math>(a,b)</math>-n
+
<math>a,\;\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?</math>
  
−
d, Ha <math>f</math> értelmezett és véges sok pont kivételével deriválható <math>(a,b)</math>-n akkor folytonos itt
+
<math>b,\;\lim_{x\to\infty}\frac{(3-\frac{1}{n})^n}{3^n}=?</math>
  
−
e, Ha <math>f</math> deriválható <math>(a,b)</math>-n, akkor <math>f</math> folytonos <math>(a,b)</math>-n
+
{{Rejtett
 +
|mutatott='''Megoldás'''
 +
|szöveg=
  
 +
'''a, Feladat:'''
  
 +
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=
 +
\lim_{x\to\infty}\frac{3^2+{n^3}/{3^n}}{1-{n}/{3^n}}=
 +
\frac{9+0}{1-0}=9</math>
  
−
=====4. Hány megoldása van az <math>x^{13}-13x-9=0</math> egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!=====
+
'''b, Feladat:'''
  
−
=====5. <math>\int_1^e ln^2x\mathrm{d}x=?</math>=====
+
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{(3-\frac{1}{n})^n}{3^n}=
 +
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3-\frac{1}{n}}{3}\right)^n=
 +
\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{\frac{1}{3}}{n}\right)^n=
 +
e^{-\frac{1}{3}}</math>
  
 +
}}
  
−
=====6. <math>\lim_{x\to\infty}\frac{\int_0^x \arctan{t}\mathrm{d}t}{x}=?</math>=====
+
===3. Feladat===
  
 +
Melyik igaz, melyik nem:
  
−
===Megoldások:===
+
a, Ha <math>f</math> folytonos <math>[a,b]</math>-n, akkor <math>f</math> korlátos <math>[a,b]</math>-n
  
−
=====1. Adja meg az összes olyan <math>z</math> komplex számot, melyre <math>z^4=2j\frac{-8+6j}{3+4j}</math>.=====
+
b, Ha <math>f</math> folytonos <math>(a,b)</math>-n, akkor <math>f</math> korlátos <math>(a,b)</math>-n
  
−
Végezzük el először a <math>2j</math>-vel való beszorzást.
+
c, Ha <math>f</math> folytonos <math>(a,b)</math>-n, akkor véges sok pont kivételével <math>f</math> deriválható <math>(a,b)</math>-n
  
−
<math>z^4=\frac{-16j-12}{3+4j}=\frac{-4*(3+4j)}{3+4j}=-4</math>
+
d, Ha <math>f</math> értelmezett és véges sok pont kivételével deriválható <math>(a,b)</math>-n akkor folytonos itt
  
−
Tehát <math>z^4=-4=-4+0*j=4*(cos\pi+j*sin\pi)</math> Mert a komplex síkon a (-4;0) koordinátájú pontba mutató helyvektor forgásszöge <math>\pi</math> és nagysága 4.
+
e, Ha <math>f</math> deriválható <math>(a,b)</math>-n, akkor <math>f</math> folytonos <math>(a,b)</math>-n
  
−
Ebből kell most negyedik gyököt vonni:
+
{{Rejtett
 +
|mutatott='''Megoldás'''
 +
|szöveg=
  
−
<math>z=\sqrt{2}*(cos\frac{\pi+2k\pi}{4}+j*sin\frac{\pi+2k\pi}{4})</math> ahol <math>k=0,1,2,3</math>
+
Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
=====2.=====
 
−
 
 
−
(a) <math>\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?</math>
 
−
 
 
−
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=\lim_{x\to\infty}\frac{3^2+\frac{n^3}{3^n}}{1-\frac{n}{3^n}}=\frac{9+0}{1-0}=9</math>
 
−
 
 
−
 
 
−
(b) <math>\lim_{x\to\infty}\frac{(3-\frac{1}{n})^n}{3^n}=\lim_{x\to\infty}(\frac{3-\frac{1}{n}}{3})^n=\lim_{x\to\infty}(1-\frac{\frac{1}{3}}{n})^n=e^{-\frac{1}{3}}</math>
 
  
 +
Ha tudod, írd le ide ;)
  
 +
}}
  
 +
===4. Feladat===
  
 +
Hány megoldása van az <math>x^{13}-13x-9=0</math> egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!
  
−
=====4. Hány megoldása van az <math>x^{13}-13x-9=0</math> egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!=====
+
{{Rejtett
 +
|mutatott='''Megoldás'''
 +
|szöveg=
  
 
Mivel 13-ad fokú egyenletet nem tudunk megoldani, függvényvizsgálattal kell megkeresni a megoldásokat.
 
Mivel 13-ad fokú egyenletet nem tudunk megoldani, függvényvizsgálattal kell megkeresni a megoldásokat.
 
A feladat ekvivalens a következővel:
 
A feladat ekvivalens a következővel:
  
−
Hány zérushelye van az <math>f(x)=x^{13}-13x-9</math> egyenletnek?
+
Hány zérushelye van az <math>f(x)=x^{13}-13x-9</math> függvénynek?
  
 
Deriváljuk a függvényt először:
 
Deriváljuk a függvényt először:
81. sor: 96. sor:
 
<math>13x^{12}-13=0</math>, ebből <math>x=-1</math> vagy <math>x=1</math>
 
<math>13x^{12}-13=0</math>, ebből <math>x=-1</math> vagy <math>x=1</math>
  
−
Most megnézzük, hogy ezek maximum vagy minimum helyek. Ezt a második derivált segítségével tudjuk megnézni, amibe ha vissza helyettesítjük az x-et, akövetkezőt tudjuk meg: ha f''(x)>0 a függvény konvex, és minimuma van,  
+
Most megnézzük, hogy ezek maximum vagy minimum helyek. Ezt a második derivált segítségével tudjuk megnézni, amibe ha vissza helyettesítjük az x-et, a következőt tudjuk meg:  
−
ha f''(x)<0, a függvény konkáv, és maximuma van.
+
 
 +
ha f"(x)>0 a függvény konvex, és minimuma van,
 +
 +
ha f"(x)<0, a függvény konkáv, és maximuma van.
 +
 
 +
<math>f''(x)=156x^{11}</math> , ebből <math>f''(-1)=-156</math> és <math>f''(1)=156</math>.
  
−
<math>f''(x)=156x^{11}</math> , ebből <math>f''(-1)=-156</math> és <math>f''(1)=156</math>, tehát -1-ben lokális maximuma, 1-ben lokális minimuma van.
+
Tehát a függvénynek (-1)-ben lokális maximuma, 1-ben lokális minimuma van.
  
−
Így igaz a következő <math>(\infty,-1)</math> intervallumon szig. mon. nő,
+
Így igaz, hogy a függvény a <math>(\infty,-1)</math> intervallumon szigorúan monoton nő, a
−
<math>(-1,1)</math>-on szig.mon. csökken, <math>(1,\infty)</math>-on szig. mon. nő.
+
<math>(-1,1)</math> intervallumon szigorúan monoton csökken, míg a <math>(1,\infty)</math> intervallumon szigorúan monoton nő.
  
−
Emiatt lehet 1,2 vagy 3 zérushelye, amit a következőképpen derítünk ki:
+
Emiatt és mivel az f(x) függvény folytonos, így lehet 1, 2 vagy 3 zérushelye, amit a következőképpen derítünk ki:
  
 
<math>f(-1)=3</math> és <math>f(1)=-21</math> -ből és az előzőekből következik, hogy -1 és 1 között van zérushely, továbbá, hogy -1 előtt és 1 után is van egy-egy.
 
<math>f(-1)=3</math> és <math>f(1)=-21</math> -ből és az előzőekből következik, hogy -1 és 1 között van zérushely, továbbá, hogy -1 előtt és 1 után is van egy-egy.
97. sor: 117. sor:
 
Tehát az egyenletnek 3 megoldása van, két negatív és egy pozitív.
 
Tehát az egyenletnek 3 megoldása van, két negatív és egy pozitív.
  
−
A megoldás kicsit hosszadalmas lett, amennyiben tudsz egyszerűbbet rakd fel nyugodtan ezután.
+
}}
−
 
 
−
-- [[BalazsiPeter|r.crusoe]] - 2008.01.14.
 
  
−
Az egyenletből egyébként ránézésre látszik, hogy egyáltalán van-e megoldása.. Ugyanis: páratlan fokú, tehát biztos átmegy az abszcisszán.
+
===5. Feladat===
  
−
-- [[ViszkeiGyorgy|Gyurci]] - 2008.05.27.
+
Határozza meg az alábbi integrál értékét!
  
−
Vizsgatapasztalat: Ha lehet 3 gyök  és a végén kijön, hogy van is, akkor oda kell írni, hogy ez Bolzano miatt van. Itt persze a lényeg az, hogy ha pozitívból negatívba megyünk (vagy fordítva), és a fv. folytonos, akkor muszáj átmennünk az x tengelyen, tehát kell lennie gyöknek. Ez a függvény pedig folytonos, mert folytonosakból raktuk össze.
+
<math>\int_1^e ln^2x\mathrm{d}x=?</math>
  
−
-- [[ViszkeiGyorgy|Gyurci]] - 2008.01.14.
+
{{Rejtett
 +
|mutatott='''Megoldás'''
 +
|szöveg=
  
 +
A megoldás során azt a trükköt alkalmazzuk, hogy az integrálandó függvényt beszorozzuk 1-el, majd pedig ezt integráljuk parciálisan.
  
 +
<math>v'(x)=1 \;\;\;\&\;\;\; u(x)=ln^2x</math>
  
 +
<math>v(x)=x \;\;\;\&\;\;\; u'(x)=2{lnx \over x}</math>
  
 +
<math>\int_1^e 1*ln^2x\mathrm{d}x=\left[xln^2x\right]_1^e-\int_1^e x*2\frac{lnx}{x}\mathrm{d}x=
 +
[xln^2x]_1^e-2\int_1^e lnx\mathrm{d}x=</math>
  
−
=====5. <math>\int_1^e ln^2x\mathrm{d}x=?</math>=====
+
<math>\int_1^e lnx\mathrm{d}x \;</math>-et az előző módszerrel ismét parciálisan integráljuk integráljuk:
  
−
Parciálisan fogunk integrálni, beviszünk az integrálba egy 1-es szorzót, ez lesz <math>v'(x)</math>, és <math>u(x)=ln^2x</math>.
+
<math>\left[xln^2x\right]_1^e-2\left(\left[xlnx\right]_1^e-\int_1^e x*\frac{1}{x}\mathrm{d}x\right)=</math>
  
−
<math>\int_1^e 1*ln^2x\mathrm{d}x=[xln^2x]_1^e-\int_1^e x*\frac{2lnx}{x}\mathrm{d}x=
+
<math>\left[xln^2x\right]_1^e-2\left(\left[xlnx\right]_1^e-\left[x\right]_1^e\right)=</math>
−
[xln^2x]_1^e-2\int_1^e lnx\mathrm{d}x</math>
 
  
−
<math>\int_1^e lnx\mathrm{d}x</math>-et az előző módszerrel integráljuk:
+
<math>\left[x\left(ln^2x-2lnx+2\right)\right]_1^e=</math>
  
−
<math>[xln^2x]_1^e-2([xlnx]_1^e-\int_1^e x*\frac{1}{x}\mathrm{d}x)=</math>
 
−
<math>[xln^2x]_1^e-2([xlnx]_1^e-[x]_1^e)=</math>
 
−
<math>[x(ln^2x-2lnx+2)]_1^e=</math>
 
 
<math>e(1-2+2)-1(0-0+2)=e-2</math>
 
<math>e(1-2+2)-1(0-0+2)=e-2</math>
  
 +
}}
  
 +
===6. Feladat===
  
 +
Határozza meg az alábbi határértéket!
  
 +
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\int_0^x \arctan{(t)}\mathrm{d}t}{x}=?</math>
  
−
=====6. <math>\lim_{x\to\infty}\frac{\int_0^x \arctan{t}\mathrm{d}t}{x}=?</math>=====
+
{{Rejtett
 +
|mutatott='''Megoldás'''
 +
|szöveg=
  
 
Végezzük el először az integrálást, parciálisan, mint az előző feladatban is:
 
Végezzük el először az integrálást, parciálisan, mint az előző feladatban is:
  
−
<math>\int_0^x 1*\arctan{t}\mathrm{d}t=[t*\arctan{t}]_0^x-\int_0^x t*\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t=[t*\arctan{t}]_0^x-\frac{1}{2}\int_0^x \frac{2t}{t^2+1}\mathrm{d}t=</math>
+
<math>\int_0^x 1*\arctan{(t)}\mathrm{d}t=\left[t*\arctan{(t)}\right]_0^x-\int_0^x t*\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t=\left[t*\arctan{(t)}\right]_0^x-\frac{1}{2}\int_0^x \frac{2t}{t^2+1}\mathrm{d}t=</math>
−
<math>=[t*\arctan{t}]_0^x-\frac{1}{2}[ln(t^2+1)]_0^x=</math>
+
 
−
<math>=x*\arctan{x}-0-\frac{1}{2}ln(x^2+1)-0=x*\arctan{x}-\frac{1}{2}ln(x^2+1)</math>
+
<math>=\left[t*\arctan{(t)}\right]_0^x-\frac{1}{2}\left[ln\left(t^2+1\right)\right]_0^x=
 +
x*\arctan{x}-0-\frac{1}{2}ln\left(x^2+1\right)+0=x*\arctan{x}-\frac{1}{2}ln\left(x^2+1\right)</math>
  
 
Most ezt visszahelyettesítjük:
 
Most ezt visszahelyettesítjük:
  
−
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{x*\arctan{x}-\frac{1}{2}ln(x^2+1)}{x}=</math>
+
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{x*\arctan{x}-\frac{1}{2}ln\left(x^2+1\right)}{x}=</math>
−
<math>\lim_{x\to\infty}(\arctan{x}-\frac{ln(x^2+1)}{2x})=</math>
+
<math>\lim_{x\to\infty}\left(\arctan{x}-\frac{ln\left(x^2+1\right)}{2x}\right)=</math>
−
<math>\frac{\pi}{2}-\lim_{x\to\infty}\frac{ln(x^2+1)}{2x}</math>
+
<math>\frac{\pi}{2}-\lim_{x\to\infty}\frac{ln\left(x^2+1\right)}{2x}</math>
 +
 
 +
<math>\lim_{x\to\infty}\arctan{x}=\frac{\pi}{2}</math>
  
−
Mert, <math>\lim_{x\to\infty}\arctan{x}=\frac{\pi}{2}</math>.
 
  
 
A második kifejezést pedig 2-szer L'Hospital-juk:
 
A második kifejezést pedig 2-szer L'Hospital-juk:
  
−
<math>lim_{x\to\infty}\frac{ln(x^2+1)}{2x}=</math>
+
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{ln(x^2+1)}{2x}=</math>
 
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2x}{x^2+1}}{2}=</math>  
 
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2x}{x^2+1}}{2}=</math>  
 
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2+1}=</math>
 
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2+1}=</math>
 
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x}=0</math>
 
<math>\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x}=0</math>
  
−
Így a feladat megoldása: <math>\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}</math>
 
−
 
−
 
−
A feladatokat le kellene ellenőrizni + hozzáadni a 3. feladat megoldását.
 
  
−
-- [[BalazsiPeter|r.crusoe]] - 2008.01.14.
+
Tehát a feladat megoldása: <math>\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}</math>
  
 +
}}
  
−
[[Category:Villanyalap]]
+
[[Kategória:Villamosmérnök]]

A lap jelenlegi, 2014. március 13., 17:49-kori változata

← Vissza az előző oldalra – Matematika A1a - Analízis

1. Feladat

Adja meg az összes olyan [math]z[/math] komplex számot, melyre [math]z^4=2j\frac{-8+6j}{3+4j}[/math].

Megoldás

Végezzük el először a [math]2j[/math]-vel való beszorzást.

[math]z^4=\frac{-16j-12}{3+4j}=\frac{-4*(3+4j)}{3+4j}=-4[/math]

Mivel a komplex síkon a (-4;0) koordinátájú pontba mutató helyvektor forgásszöge [math]\pi[/math] és nagysága 4, így:

[math]z^4=-4=-4+0*j=4*(cos\pi+j*sin\pi)[/math] Mert

Ebből kell most negyedik gyököt vonni:

[math]z=\sqrt{2}*(cos\frac{\pi+2k\pi}{4}+j*sin\frac{\pi+2k\pi}{4})[/math] ahol [math]k=0,1,2,3[/math]

2. Feladat

Határozza meg az alábbi határértékeket!

[math]a,\;\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?[/math]

[math]b,\;\lim_{x\to\infty}\frac{(3-\frac{1}{n})^n}{3^n}=?[/math]

Megoldás

a, Feladat:

[math]\lim_{x\to\infty}\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}= \lim_{x\to\infty}\frac{3^2+{n^3}/{3^n}}{1-{n}/{3^n}}= \frac{9+0}{1-0}=9[/math]

b, Feladat:

[math]\lim_{x\to\infty}\frac{(3-\frac{1}{n})^n}{3^n}= \lim_{x\to\infty}\left(\frac{3-\frac{1}{n}}{3}\right)^n= \lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{\frac{1}{3}}{n}\right)^n= e^{-\frac{1}{3}}[/math]

3. Feladat

Melyik igaz, melyik nem:

a, Ha [math]f[/math] folytonos [math][a,b][/math]-n, akkor [math]f[/math] korlátos [math][a,b][/math]-n

b, Ha [math]f[/math] folytonos [math](a,b)[/math]-n, akkor [math]f[/math] korlátos [math](a,b)[/math]-n

c, Ha [math]f[/math] folytonos [math](a,b)[/math]-n, akkor véges sok pont kivételével [math]f[/math] deriválható [math](a,b)[/math]-n

d, Ha [math]f[/math] értelmezett és véges sok pont kivételével deriválható [math](a,b)[/math]-n akkor folytonos itt

e, Ha [math]f[/math] deriválható [math](a,b)[/math]-n, akkor [math]f[/math] folytonos [math](a,b)[/math]-n

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

4. Feladat

Hány megoldása van az [math]x^{13}-13x-9=0[/math] egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!

Megoldás

Mivel 13-ad fokú egyenletet nem tudunk megoldani, függvényvizsgálattal kell megkeresni a megoldásokat. A feladat ekvivalens a következővel:

Hány zérushelye van az [math]f(x)=x^{13}-13x-9[/math] függvénynek?

Deriváljuk a függvényt először:

[math]f'(x)=13x^{12}-13[/math]

Ahol a derivált nulla, ott lokális szélsőértéke van a függvénynek.

[math]13x^{12}-13=0[/math], ebből [math]x=-1[/math] vagy [math]x=1[/math]

Most megnézzük, hogy ezek maximum vagy minimum helyek. Ezt a második derivált segítségével tudjuk megnézni, amibe ha vissza helyettesítjük az x-et, a következőt tudjuk meg:

ha f"(x)>0 a függvény konvex, és minimuma van,

ha f"(x)<0, a függvény konkáv, és maximuma van.

[math]f''(x)=156x^{11}[/math] , ebből [math]f''(-1)=-156[/math] és [math]f''(1)=156[/math].

Tehát a függvénynek (-1)-ben lokális maximuma, 1-ben lokális minimuma van.

Így igaz, hogy a függvény a [math](\infty,-1)[/math] intervallumon szigorúan monoton nő, a [math](-1,1)[/math] intervallumon szigorúan monoton csökken, míg a [math](1,\infty)[/math] intervallumon szigorúan monoton nő.

Emiatt és mivel az f(x) függvény folytonos, így lehet 1, 2 vagy 3 zérushelye, amit a következőképpen derítünk ki:

[math]f(-1)=3[/math] és [math]f(1)=-21[/math] -ből és az előzőekből következik, hogy -1 és 1 között van zérushely, továbbá, hogy -1 előtt és 1 után is van egy-egy.

Most már csak a -1 és 1 közötti zérushely előjelét kell eldönteni, legkönnyebb így: [math]f(0)=-9[/math], tehát -1 és 0 közt van a zérushely, így előjele negatív.

Tehát az egyenletnek 3 megoldása van, két negatív és egy pozitív.

5. Feladat

Határozza meg az alábbi integrál értékét!

[math]\int_1^e ln^2x\mathrm{d}x=?[/math]

Megoldás

A megoldás során azt a trükköt alkalmazzuk, hogy az integrálandó függvényt beszorozzuk 1-el, majd pedig ezt integráljuk parciálisan.

[math]v'(x)=1 \;\;\;\&\;\;\; u(x)=ln^2x[/math]

[math]v(x)=x \;\;\;\&\;\;\; u'(x)=2{lnx \over x}[/math]

[math]\int_1^e 1*ln^2x\mathrm{d}x=\left[xln^2x\right]_1^e-\int_1^e x*2\frac{lnx}{x}\mathrm{d}x= [xln^2x]_1^e-2\int_1^e lnx\mathrm{d}x=[/math]

[math]\int_1^e lnx\mathrm{d}x \;[/math]-et az előző módszerrel ismét parciálisan integráljuk integráljuk:

[math]\left[xln^2x\right]_1^e-2\left(\left[xlnx\right]_1^e-\int_1^e x*\frac{1}{x}\mathrm{d}x\right)=[/math]

[math]\left[xln^2x\right]_1^e-2\left(\left[xlnx\right]_1^e-\left[x\right]_1^e\right)=[/math]

[math]\left[x\left(ln^2x-2lnx+2\right)\right]_1^e=[/math]

[math]e(1-2+2)-1(0-0+2)=e-2[/math]

6. Feladat

Határozza meg az alábbi határértéket!

[math]\lim_{x\to\infty}\frac{\int_0^x \arctan{(t)}\mathrm{d}t}{x}=?[/math]

Megoldás

Végezzük el először az integrálást, parciálisan, mint az előző feladatban is:

[math]\int_0^x 1*\arctan{(t)}\mathrm{d}t=\left[t*\arctan{(t)}\right]_0^x-\int_0^x t*\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t=\left[t*\arctan{(t)}\right]_0^x-\frac{1}{2}\int_0^x \frac{2t}{t^2+1}\mathrm{d}t=[/math]

[math]=\left[t*\arctan{(t)}\right]_0^x-\frac{1}{2}\left[ln\left(t^2+1\right)\right]_0^x= x*\arctan{x}-0-\frac{1}{2}ln\left(x^2+1\right)+0=x*\arctan{x}-\frac{1}{2}ln\left(x^2+1\right)[/math]

Most ezt visszahelyettesítjük:

[math]\lim_{x\to\infty}\frac{x*\arctan{x}-\frac{1}{2}ln\left(x^2+1\right)}{x}=[/math] [math]\lim_{x\to\infty}\left(\arctan{x}-\frac{ln\left(x^2+1\right)}{2x}\right)=[/math] [math]\frac{\pi}{2}-\lim_{x\to\infty}\frac{ln\left(x^2+1\right)}{2x}[/math]

[math]\lim_{x\to\infty}\arctan{x}=\frac{\pi}{2}[/math]


A második kifejezést pedig 2-szer L'Hospital-juk:

[math]\lim_{x\to\infty}\frac{ln(x^2+1)}{2x}=[/math] [math]\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2x}{x^2+1}}{2}=[/math] [math]\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^2+1}=[/math] [math]\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x}=0[/math]


Tehát a feladat megoldása: [math]\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}[/math]
A lap eredeti címe: „https://wiki.sch.bme.hu/index.php?title=Matematika_A1_-_Vizsga:_2007.01.23&oldid=179581”