InfElmTetel5

Ez az oldal a korábbi SCH wiki-ről lett áthozva. Az eredeti változata itt érhető el.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor kérlek javíts rajta egy rövid szerkesztéssel.

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót

vissza InfelmTetelek-hez <style> li {margin-top: 4px; margin-bottom: 4px;} </style>

Jensen egyenlőtlenség és következményei

Konvexitás definíciója

Egy [math] h: [/math] függvény konvex egy [math] [a,b] [/math], [math] a,b\in\mathbb{R} [/math] intervallumon, ha ennek [math] \forall [x,y] [/math], [math] (x,y \in [a,b]) [/math] részintervallumára és [math] 0 \leq \lambda \leq 1 [/math] értékre:
[math] h(\lambda * x + (1-\lambda) * y) \leq \lambda * h(x) + (1-\lambda) * h(y) [/math]

Tehát bármely részintervallumon a függvény grafikonján az intervallum kezdőpontjában felvett értéket és az intervallum végpontjában felvett értéket összekötő egyenes szakasz alatt marad a függvénygörbe.

Szigorúan értelmezett konvexitás

Lásd a konvexitás definícióját, de itt nem engedünk meg egyenlőséget.

Jensen egyenlőtlenség

Legyen [math] h: [/math] függvény konvex az [math][a,b] a,b\in\mathbb{R} [/math] intervallumon, és legyen [math] Z [/math] egy valószínűségi változó, amely az értékeit a [math] [a,b] [/math] intervallumból veszi. Ekkor [math] h(E(Z)) \leq E(h(Z)) [/math]

Egyenlőség: A Jensen egyenlőtlenségben egyenlőség akkor áll fenn, ha [math]h[/math] szigorúan konvex [math]E(Z)[/math]-ben, és [math]P(Z=E(Z))=1[/math], tehát [math]Z[/math] egy valószínűséggel a várható értékét veszi fel.

Következmények

(Ezt a következményt nagyon sok bizonyításnál felhasználják.)

Ha [math] \forall i \in [1, n] : p_i \geq 0 [/math] és [math] \sum_{i=1}^{n} p_i = 1 [/math]
és [math] \forall i \in [1, n] : q_i \textgreater 0 [/math] és [math] \sum_{i=1}^{n} q_i = 1 [/math]

Ekkor: [math] -\sum_{i=1}^{n} p_ilogp_i \leq -\sum_{i=1}^{n} p_ilogq_i [/math]

-- Sales - 2006.06.22.

TODO: Plusz van mégegy következmény - TK. 15. oldal

-- Adam - 2008.01.29.