InfElmTetel29

Ez az oldal a korábbi SCH wiki-ről lett áthozva. Az eredeti változata itt érhető el.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor kérlek javíts rajta egy rövid szerkesztéssel.

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót

vissza InfelmTetelek-hez <style> li {margin-top: 4px; margin-bottom: 4px;} </style>

Bayes döntés és optimalitása

[math]X[/math] valószínűségi változó [math]\mathbb{X}[/math] diszkrét halmazból veszi értékeit.
A véletlen [math]A[/math] paraméter [math]\mathbb{A}=\{a_1,\ldots,a_s\}[/math] halmazból veszi értékeit.

Az a [math]A[/math] paraméter értékét szeretnénk megismerni, de csak az [math]X[/math] megfigyelésére van módunk. Ha a két változó nem független, akkor [math]X[/math] értékéből következtethetünk [math]A[/math] értékére.

[math]G: \mathbb{X}\rightarrow\mathbb{A}[/math] függvény a következtetés. Ha az értékkészlete véges, akkor [math]G(X)[/math] döntés, ha végtelen, akkor becslés.

A [math]G[/math] függvény [math]X[/math] minden értékéhez [math]A[/math] egy értékét rendelni. Ha tehát [math]X[/math] értékét megfigyeltük, akkor ennek ismeretében [math]G[/math] segítségével meghatározható [math]A[/math] feltételezett értéke. Természetesen a következtetés lehet hibás is. A költségfüggvénnyel megadható egy konktér következtetés jósága:

[math]C: \mathbb{A}\times\mathbb{A}\rightarrow\mathbb{R}[/math] költségfüggvény, C(A, G(X)) adja meg a következtetés jóságát.

A teljes következtetési függvény jóságát a következő érték adja:
Az [math]R(G)=E(C(A,G(X)))[/math] mennyiség a globális kockázat.

A [math]q_i=P\{A=a_i\}[/math] valószínűségeket a priori valószínűségeknek nevezzük.

A [math]H_i=\{A=a_i\}[/math] eseményt [math]i[/math]. hipotézisnek nevezzük.

Ha a költségfüggvény [math]C(a_i, a_j)=\begin{cases} 1 & \text{ ha $i \neq j$} \\ 0 & \text{egyebkent}\end{cases}[/math], akkor a globális kockázat a hibavalószínűséggel egyezik: [math]R(G)=P(A\neq G(X))[/math].

A [math]P(A=a_i|X=x)[/math] feltételes valószínűségeket a posteriori valószínűségeknek nevezzük, és [math]P_i(x)[/math]-el jelöljük.

A döntési tartományok a [math]D_j \subseteq \mathbb{X}[/math] halmazok, melyek bármely elemének megfigyelésekor [math]a_j[/math]-t döntünk: [math] D_j=\{x: G(x)=a_j\} [/math]

Bayes döntés

Legyen a [math]j[/math]. döntés tartománya [math]D_j^*[/math] olyan, hogy [math]\forall x \in D_j^*[/math]-ra [math]P_j(x)\geq P_i(x)[/math] teljesüljön [math]\forall i \neq j[/math]-re. [math]x[/math] pont akkor eleme a [math]j[/math]. döntési tartománynak, ha [math]x[/math] megfigyelés esetén az [math]A=a_j[/math] hipotézis feltételes valószínűsége a legnagyobb. A [math]D_j^*[/math]-ok páronként diszjunktaknak választhatók, például úgy, hogy nem egyértelmű esetben az alacsonyabb indexűt választjuk. Ekkor a döntés függvény: [math] G^*(X)=a_i \text{, ha } x \in D_i^* [/math] Ezt nevezzük Bayes-döntésnek, vagy maximum a posteriori döntésnek. A Bayes döntés optimális (a hibavalószínűsége minimális).

Bayes-döntés optimalitása

A Bayes döntés [math]G^*[/math] döntésfüggvénye optimális, tehát ennek a döntésnek a legkisebb a hibavalószínűsége.

-- Sales - 2006.06.27.