InfElmTetel24

Ez az oldal a korábbi SCH wiki-ről lett áthozva. Az eredeti változata itt érhető el.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor kérlek javíts rajta egy rövid szerkesztéssel.

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót

vissza InfelmTetelek-hez <style> li {margin-top: 4px; margin-bottom: 4px;} </style>

Lineáris becslés

Prediktor függvény

Prediktor függvény: [math]p_n=f(\hat{x}_{n-1}, \hat{x}_{n-2}, \ldots, \hat{x}_0)[/math] a korábban elküldött értékek alapján megbecsüli a következő értéket.

Az általános prediktor függvény egy adott érték megjóslásához felhasználhatja az összes addig a pillanatig elküldött értéket, és azokon tetszőleges műveletet végezhet.

Lineáris prediktorfüggvény

A most vizsgált lineáris prediktorfüggvény csak a utóbbi N értéket vizsgálja, és a jóslatát a következő értékre ezek lineáris kombinációjaként állítja elő.

A lineáris prediktorfüggvény:
[math] p_n:=\sum\limits_{i=1}^N{a_i\hat{x}_{n-i}} [/math]

ahol [math]N[/math] a prediktorfüggvény rendje, ez adja meg, hogy a prediktor a legutóbbi értéktől visszafelé haladva összesen hány értéket vesz figyelembe a következő érték becsléséhez.

Minden korábbi értéket megszoroz egy [math]a_i[/math] állandóval. A következőkben megpróbáljuk úgy megválasztani ezeket az állandókat, hogy a második momentum minimális legyen.

Prediktor függvény jósága

A különbségi sorozat második momentuma:
[math] \sigma_d^2=E(X_n-p_n)^2 [/math].

A feladat egy olyan [math]f[/math] prediktorfüggvény keresése, amely minimalizálja a szórást.

Ezt behelyettesítve a második momentum kifejezésébe:
[math] \sigma_d^2=E(X_n-\sum\limits_{i=1}^N{a_i\hat{x}_{n-i}})^2 [/math].

Ha feltesszük, hogy [math]\hat{x}_n[/math] helyett [math]X_n[/math]-et írhatunk, mert a kvantáló olyan pontos, akkor meg tudunk határozni egy közelítő megoldást:
[math]\sigma_d^2=E(X_n-\sum\limits_{i=1}^N{a_iX_{n-i}})^2[/math]

A prediktoregyütthatók az [math]\underline{a}=\underline{\underline{R}}^{-1}\underline{p}[/math]

képlettel kaphatók meg, ahol az [math]R[/math] mátrix: [math]\left( \begin{array}{cccc} R(0) & R(1) & \ldots & R(N-1) \\ R(1) & R(0) & \ldots & R(N-2) \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ R(N-1) & R(N-2) & \ldots & R(0) \end{array} \right) [/math]

és [math]\underline{p}[/math] vektor: [math] \left( \begin{array}{c} R(1) \\ \vdots \\ R(N) \end{array} \right) [/math]

és [math]R(k)=E(X_nX_{n+k})[/math] kovarianciafüggvény (ha [math]X_n[/math] gyengén stacionárius). Gyakorlatban viszont a stacionaritást legfeljebb lokálisan, adott hosszú szakaszon belül feltételezhetjük. Ezért adaptívvá kell tenni a prediktort a jel lokális viselkedéséhez.

• Előre adaptív esetben késleltetés keletkezik és kiegészítő információkat kell átvinni.
  
• Hátra adaptív esetben, [math]N[/math]-edrendű prediktornál az eltérés hibanégyzete [math]d_n^2=(X_n-\sum_{i=1}^N{a_i\hat{x}_{n-i}})^2[/math], a [math]j[/math]. prediktoregyüttható pedig

[math] a_j^{(n+1)}=a_j^{(n)}+\alpha^*\hat{d}_n\hat{x}_{n-j} [/math]

Fogalmak

Gyengén stacionárius folyamat

DEF: [math]Y_n[/math] DI folyamat gyengen stacionarius, ha [math]\forall n : E( Y_n^2) \lt \infty, EY_n = EY_0, cov(Y_i, Y_j)=R_{i-j}[/math]

-- Sales - 2006.06.25.