FizikaKonyvFeladatok43

Ez az oldal a korábbi SCH wiki-ről lett áthozva. Az eredeti változata itt érhető el.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor kérlek javíts rajta egy rövid szerkesztéssel.

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót

Fizika könyv - 43 - A részecskék hullámtermészete

43B-4

Tekintsünk egy hidrogén-atomot alapállapotban! Számítsuk ki a következő mennyiségeket (elektronvoltokban)! (a) az elektron kinetikus energiáját (b) a potenciális energiáját (c) a teljes energiáját és (d) azt az energiát, amely ahhoz szükséges, hogy az elektront a protontól teljesen elszakítsuk!

Tudni kell a következő összefüggéseket: [math] \begin{gathered} E = K + U = \frac{1} {2}mv^2 - mv^2 = - \frac{1} {2}mv^2 \hfill \\ mv^2 = k\left( {\frac{{(Ze)(e)}} {r}} \right) = \frac{{Ze^2 }} {{4\pi \varepsilon _0 r}} \hfill \\ \end{gathered} [/math]

Mivel hidrogénről van szó, Z=1. Alapállapotról van szó, ezért n=1.

Először határozzuk meg a teljes energiát, ez az összefüggés szerepel a képlettárban!

(c)

[math] \begin{array}{*{20}c} {E_n = - \frac{{mZ^2 e^4 }} {{8\varepsilon _0 ^2 h^2 n^2 }} = - \frac{{13,6eV}} {{n^2 }}} & {E_1 = - 13,6eV} \\ \end{array} [/math]

(a)

[math] \begin{array}{*{20}c} {K_n = \frac{1} {2}mv^2 = - E_n = \frac{{13,6eV}} {{n^2 }}} & {K_1 = 13,6eV} \\ \end{array} [/math]

(b)

[math] \begin{array}{*{20}c} {U_n = - mv^2 = 2E_n = - \frac{{27,2eV}} {{n^2 }}} & {U_1 = - 27,2eV} \\ \end{array} [/math]

43B-8

Amikor a hidrogén-atom az n=3 kezdeti állapotból az n=1 végállapotba megy át, egy fotont bocsát ki. Az ólom kilépési munkája 4,25 eV. Adjuk meg azt a maximális kinetikus energiát, amire a fotoelektron szert tehet (elektronvoltokban), ha ilyen foton löki ki az ólomból!

Képlettárból: [math] hf = K_{\max} + W_0 \] \[ E_n = - \frac{{mZ^2 e^4}}{{8\varepsilon _0 ^2 h^2 n^2}} [/math]

Tudni kell: [math] hf = E_{VEGSO} - E_{KEZDETI} [/math]

Z=1, mert 1 a hidrogén rendszáma.

Levezetés: [math] \begin{gathered} \begin{array}{*{20}c} {n_{VEGSO} = 3} & {n_{KEZDETI} = 1} & {W_0 = 4,25 eV} \\ \end{array} \end{gathered} \] \[ \begin{gathered} hf = E_{VEGSO} - E_{KEZDETI} = - \frac{{mZ^2 e^4 }} {{8\varepsilon _0 ^2 h^2 }}\left[ {\frac{1} {{n_{VEGSO} ^2 }} - \frac{1} {{n_{KEZDETI} ^2 }}} \right] = \hfill \\ hf = - \frac{{me^4 }} {{8\varepsilon _0 ^2 h^2 }}\left[ {\frac{1} {{3^2 }} - \frac{1} {{1^2 }}} \right] = - 13,6eV \cdot - \frac{8} {9} \hfill \\ K_{\max } = hf - W_0 = - 13,6eV \cdot \left( { - \frac{8} {9}} \right) - 4,25eV = 12,09eV \hfill \\ \end{gathered} [/math]

Hiba van az utolsó sorban: 4,25eV nem lett levonva, ezt levonva K-ra 7,84eV adódik. (-- Miki - 2008.01.30.)

43A-10

Egy 1 g tömegű részecske és egy elektron 150 m/s-os sebességgel mozog. Számítsuk ki de Broglie-hullámhosszát!

Képlettárból: [math] p = \frac{h} {\lambda } [/math]

Levezetés: [math] \begin{gathered} \begin{array}{*{20}c} {m = 1g = 10^{ - 3} kg} & {v = 150} \\ \end{array} {\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle m$} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle s$}} \hfill \\ \lambda _{reszecske} = \frac{h} {p} = \frac{h} {{mv}} = \frac{{6,626 \times 10^{ - 34} Js}} {{10^{ - 3} kg \cdot 150{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle m$} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle s$}}}} \approx 4,42 \times 10^{ - 33} m \hfill \\ \lambda _{elektron} = \frac{h} {{m_e v}} = \frac{{6,626 \times 10^{ - 34} Js}} {{9,1095 \times 10^{ - 31} kg \cdot 150{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle m$} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle s$}}}} \approx 4849nm \hfill \\ \end{gathered} [/math]

43A-11

Számítsuk ki a de Broglie-hullámhosszat olyan elektron esetére, melyet nyugalomból 50 V-os potenciálkülönbség gyorsított fel!

Tudni kell: [math] \lambda = \frac{{1,226nm}} {{\sqrt V }} [/math]

Ez megadja az elektronok (nem relativisztikus) de Broglie hullámhosszát adja meg.

Megoldás: [math] \lambda = \frac{{1,226nm}} {{\sqrt {50} }} = 0,173nm [/math]

43B-20

Szabad elektron hullámfüggvényének helytől függő része [math]\Psi(x) = Asin(7 \times 10^9x)[/math] SI-rendszerben. Adjuk meg (a) az elektron de Broglie-hullámhosszát, (b) az elektron sebességét és (c) a mozgási energiáját elektronvoltokban!

Tudni kell a könyv (43-28) képletét, ami egy időtől független hullámfüggvényt ír le: [math] \Psi = \Psi _{\max } \sin \left( {kx} \right) = \Psi _{\max } \sin \left( {\frac{{2\pi x}} {\lambda }} \right) [/math]

(a)

A képlet szerint: [math] {k = \frac{{2\pi }}{\lambda } = 7 \times 10^9 } \Rightarrow {\lambda = \frac{{2\pi }} {k} = \frac{{2\pi }} {{7 \times 10^9 }} \approx 0,898nm} \\ [/math]

(b)

Megoldás: [math] mv = p = \frac{h} {\lambda } \Rightarrow v = \frac{h} {{m\lambda }} = \frac{{hk}} {{2\pi m_e }} = \frac{{6,626 \times 10^{ - 34} Js \cdot 7 \times 10^9 }} {{2\pi \cdot 9,1095 \times 10^{ - 31} kg}} \approx 8,1 \times 10^5 {\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle m$} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle s$}} [/math]

(c)

Megoldás: [math] K = \frac{1} {2}m_e v^2 \approx \frac{1} {2} \cdot 9,1095 \times 10^{ - 31} kg \cdot \left( {8,1 \times 10^5 {\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle m$} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle s$}}} \right)^2 = 2,99 \times 10^{ - 19} [/math]

43B-27

Egy 9 g tömegű golyó 2 m/s sebességgel gurul az asztalon. (a) Ha impulzusát 0,1% pontossággal mérjük, akkor helyének egyidejű mérésében mekkora a határozatlanság? (b) Ismételjük meg a számítást egy ugyanilyen sebességgel haldó elektron esetére! Kommentáljuk az eredményeket!

Képlettárból: [math] \Delta p_x \Delta x \geqslant \frac{\hbar } {2} [/math]

A könyben kettővel való osztás nem szerepel, én így oldottam meg a feladatot, hogy a végeredmény összehasonlítható legyen. (élesben mindenki jobban jár, ha a képlettáras összefüggést használja!)

A könyvben csak a speciálisan kiszámolt függvénynél mint körülbelüli érték szerepel a képlet. Általános esetben a képlettáras képlet érvényes (azaz 2-vel kell osztani)! -- Overander - 2007.01.23.

(a)

Megoldás: [math] \Delta p_x \Delta x \geqslant \hbar \Rightarrow \Delta x \geqslant \frac{\hbar } {{\Delta p_x }} = \frac{h} {{2\pi \cdot mv \cdot a}} = \frac{{6,626 \times 10^{ - 34} Js}} {{2\pi \cdot 9 \times 10^{ - 3} kg \cdot 2{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle m$} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle s$}} \cdot 0,001}} \approx 5,86 \times 10^{ - 30} m [/math]

(b)

Megoldás: [math] \Delta x \geqslant \frac{\hbar } {{\Delta p_x }} = \frac{h} {{2\pi \cdot m_e v \cdot a}} = \frac{{6,626 \times 10^{ - 34} Js}} {{2\pi \cdot 9,1095 \times 10^{ - 31} kg \cdot 2{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle m$} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle s$}} \cdot 0,001}} \approx 5,79 \times 10^{ - 2} m [/math]

Látszik, hogy a pontatlanság (b) esetben jóval nagyobb, mint egy hétköznapi makroszkópikus mérés esetében (a).

43B-39

-- Subi - 2007.01.16.