FizikaKonyvFeladatok32

32.1

Egy toroidtekercsen gyűrű van átfűzve. Az S kapcsoló zárásakor a toroidon áram kezd folyni.

1. Számítsuk ki a gyűrűben indukálódott feszültséget, ha a toroidon belül a mágneses fluxus 30Tm²/s sebességgel változik.
2. Ideális toroid mágneses erőtére gyakorlatilag teljesen a tórusz belsejébe van lokalizálva, azaz a karikát mágneses erőtér nem éri. Honnan származik akkor az indukált áram?

[math] \frac{d\Phi}{dt} = 30 Tm^{2}/s,[/math]

[math] \varepsilon = -N\frac{d\Phi_B}{dt} = 30 V [/math]

32.3

Egz R ellenállású, r sugarú köralakú huzalhurok a B homogén mágneses erőtér irányára merőleges felületen fekszik. A hurkot gyorsan, t idő alatt 180 fokkal átfordítjuk. Számítsuk ki, hogy mekkora átlagos [math] \varepsilon [/math] feszültség indukálódott ezalatt a hurokban.

[math] \varepsilon = -N\frac{d\Phi_B}{dt} = \frac{d}{dt}B*A = \frac{r^2\pi B}{t} [/math]

De mivel 180 fokkal átfordítottuk, ezért ennek a kétszeresét kell venni:

[math] \varepsilon = 2\frac{r^2\pi B}{t} [/math]

32.4

Egy 70 m fesztávolságú repülőgép vízszintesen 1000 km/h sebességgel az északi mágneses pólus irányában repül. A repülőgép adott helyzetében a Föld mágneses indukcióvektorának függőleges komponense 2*10^-5 T. Számítsuk ki a repülőgépszárnyak vége közötti V potenciálkülönbséget.

[math] \varepsilon = -Blv = 2*10^{-5} * 70 * \frac{1000}{3,6} = 0,388 V. [/math]

32.7

Egy 30 menetes lapos huzaltekercset hosszú, 4000 menet/m menetsűrűségű szolenoid végéhez illesztünk. A szolenoid és a huzaltekercs tengelye, és a sugara azonos R = 5 cm. Számítsuk ki mekkora a szolenoidban az áramerősség változása, ha a dróttekercsben 2mV-os feszültség indukálódik.

[math]\varepsilon = N\frac{d\Phi_B}{dt} = NA\frac{dB}{dt}[/math]

[math] 2 mV = 30 * 0,05^2 * \pi * \frac{d}{dt}B [/math]

a mágneses indukció szolenoid végén: [math] B = \frac{\mu_0*n*I}{2}[/math], ahol n = 4000 menet/m

[math] 0,002 V = 30 * 0,05^2 * \pi * \frac{d}{dt}\frac{\mu_0*n*I}{2} = 30 * 0,05^2 * \pi * \frac{\mu_0 * n}{2} * \frac{dI}{dt} [/math]

így [math] \frac{dI}{dt} = \frac{0,002 * 2}{30*0,05^2*\pi*4\pi*10^{-7}*4000} = 3,38 A/s [/math]

32.8

Egy 400 menetes tekercsben 12A/s áramerősség változás hatására 28mV-os ellenfeszültség indukálódik. Mekkora a tekercs induktivitása?

[math]\varepsilon = -L\frac{dI}{dt} [/math]

[math]\varepsilon = 0,028 V[/math]

[math]\frac{dI}{dt}=12A/s[/math]

[math]L = \frac{\varepsilon}{\frac{dI}{dt}} = \frac{0,028}{12} = 2,33 mH [/math]

32.11

Egy R sugarú áramvezető hurok középpontjában a mágneses indukcióvektor nagysága [math]B=\mu_0*I/2R[/math]. Mekkora egy N menetű lapos tekerecs induktivitása? (Tételezzük fel, hogy B a hurok síkjában, a hurkon belül mindenütt azonos)

[math] L = \frac{N\Phi_B}{I} = \frac{N\frac{\mu_0*I}{2R}R^2\pi}{I} = \frac{N\mu_0R\pi}{2}[/math]

32.15

Egy A keresztmetszetű és l kerületű toroid két tekercsből áll: mindkettőt a tórusz teljes kerülete mentén egyenletesen csévélték fel; menetszámuk N1 és N2. a) Mekkora az önállóan használt tekercsek L1 és L2 induktivitása? b) Mekkora a két tekercs M kölcsönös induktivitása? c) Mutassuk meg, hogy M^2 = L1*L2!

Egy l kerületű toroidtekercs induktivitása: [math] L = \frac{\mu_0N^2A}{l} [/math]

[math] L_1 = \frac{\mu_0N_1^2A}{l} [/math] [math] L_2 = \frac{\mu_0N_2^2A}{l} [/math]

b) részhez aki tud levezetést ne tartsa magában és írja be ide, és abból már következik a c) is

b) [math]\varepsilon[/math] és M kapcsolata: [math]\varepsilon_1 = -M\frac{dI_2}{dt}[/math]; [math]\varepsilon_2 = -M\frac{dI_1}{dt}[/math];

M kifejezése: [math]M = \frac{-\varepsilon_1}{\frac{dI_2}{dt}}[/math];

[math]\varepsilon[/math] másik képlet: [math]\varepsilon = L\frac{dI}{dt}[/math];

[math]M = -L_1\frac{\frac{dI_1}{dt}}{\frac{dI_2}{dt}}[/math]

Tehát [math]M= -L_1\frac{I_1}{I_2}=-L_2\frac{I_2}{I_1}[/math]

c)

Innen [math]M^2=(-L_1\frac{I_1}{I_2})(-L_2\frac{I_2}{I_1})=L_1L_2[/math]

A feladat leírásában ez szerepel zárójelben: Ez az egyenlet csak akkor teljesül,ha bármelyik tekercs teljes fluxusa egyúttal benne van a másik tekercs belsejében is. Ezt valaki értelmezze...

-- gyoroka - 2010.10.25.

32.17

Egy l hosszúságú, A keresztmetszetű, N1 menetszámú szolenoid közepére szorosan és elektromosan szigetelve egy másik, N2 menetszámú tekercset csévélnek. Számítsuk ki a szolenoid és a tekercs kölcsönös induktivitását, elhanyagolva a tekercsvégek hatását.

Megoldás itt is van, levezetés nincs, szóval ide is lehet még írni.

Ajánlom a könyvben a 32-7-es példát. Ez a feladat számokkal és ábrával. Tömören a megoldás:

[math]\Phi_{B1}=\Phi_{B2}=\frac{\mu_0AN_1I_1}{l_1}[/math]

[math]M=\frac{\mu_0AN_1N_2I_1}{I_1l_1}=\frac{\mu_0AN_1N_2}{l_1}[/math]

-- gyoroka - 2010.10.24.

32.18

Egy áramkör a sorba kötött 10 V-os feszültségforrásból, az S kapcsolóból, egy 50 ohm-os ellenállásból és az 5 H induktivitású tekercsből áll. Számítsuk ki azt az időtartamot, ami ahhoz szükséges, hogy az áramerősség elérje a stacionárius állapotnak megfelelő értékének a) felét, illetve b) 90%-át.

[math] I = \frac{\varepsilon}{R}(1-e^{-(\frac{R}{L})t}) [/math]

[math]\frac{\varepsilon}{R} [/math] a stacionárius állapot áramerőssége, így

[math] 0,5 = 1 - e^{-(\frac{50}{5})t} [/math]

[math] t = \frac{ln (1 - 0,5)}{-10} = 0,069 s [/math]

A b) rész hasonlóan:

[math] t = \frac{ln (1 - 0,9)}{-10} = 0,23 s [/math]

Javítva - és () ügyben. -- gyoroka - 2010.10.24.

32.19

Egy soros RL áramkörben az áram lecsengését a [math] I = \frac{\varepsilon}{R}e^{-{\frac{R}{L}t}} [/math] egyenlet írja le. a) Számítsuk ki az I(t) függvény kezdeti meredekségét! b) Mutassuk meg, hogy ha az áramerősség csökkenése a kezdeti sebességgel folytatódna (lineárisan), akkor az áramerősség éppen az időállandónak megfelelő időtartam alatt válna zérussá.

[math]I'(t) = -\frac{\varepsilon}{R}e^{-\frac{R}{L}t}*\frac{R}{L} = -\frac{\varepsilon}{L}e^{-\frac{R}{L}t} [/math]

[math]I'(0) = -\frac{\varepsilon}{L} [/math]

b) ezt megszorozva L/R-el, megkapjuk a stacionárius állapot áramerősségét [math]\frac{\varepsilon}{R}[/math].

32.23

Számítsuk ki a 3800 menet/m menetsűrűségű hosszó szolenoid közepén a mágneses tér energiasűrűségét, ha a szolenoidban áthaladó áram erőssége 4 A. Függ-e az energiasűrűség a menetek sugarától?

[math]u_B = \frac{1}{2\mu_0}B^2[/math]

[math] B = \mu_0nI[/math]

[math] u_B = \frac{1}{2\mu_0}\mu_0^2n^2I^2 = \frac{1}{2}*3800^2*4^2*4\pi*10^-7 = 145,16 \frac{J}{m^3}[/math]

és nem függ a menetek sugarától.

-- PBX - 2007.01.27.