Fizika1 Kifejtendő gyakorlófeladatok megoldásokkal

Adja meg és a pályagörbe felrajzolásával értelmezze egy tömegpont általános síkbeli mozgását jellemző kinematikai mennyiségeket (1p)! Vezesse le differenciálással és integrálással a kapcsolatukat leíró kinematikai egyenleteket (2p)!

• Helyvektor [math]\vec r[/math], elmozdulásvektor [math]\Delta \vec r[/math], sebességvektor [math]\vec v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta \vec r}{\Delta t} = \frac {d \vec r}{dt}[/math], gyorsulásvektor [math]\vec a = \lim_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta \vec v}{\Delta t} = \frac{d \vec v}{dt}[/math], út [math]s[/math]
• Átlagsebesség [math]v = \frac {s}{t}[/math]
• A sebesség-idő függvény idő szerinti integrálja adja az adott idő alatti elmozdulást.
• A gyorsulás-idő függvény idő szerinti integrálja adja az adott idő alatt bekövetkezett sebesség-változást.

Írja fel a Newton-féle tömegvonzási törvényt (1p) a potenciális-energia függvény definíciója alapján határozza meg a potenciális energia általános kifejezését (1p). Egyszerűsítse a kifejezést arra az esetre, ha a földfelszín közelében vagyunk! (1p)

• [math]F = - \gamma \frac{Mm}{r^2} \frac{\vec r}{r}[/math]. ahol [math]r[/math] a forrástestből a próbatestbe mutató vektor.

Adja meg a forgó mozgás alapegyenletének általános matematikai kifejezését (1p) és igazolja azt egyetlen tömegpontra a megfelelő fizikai mennyiségekkel (1p). Egyszerűsítse az alapegyenletet arra az esetre, ha szimmetrikus test a szimmetriatengelye körül forog! (1p)

• Hudson-Nelson 12. fejezet

Írja fel (1p) és a tömegközéppont definíciójának alkalmazásával igazolja (2p) a párhuzamos tengelyek tételét (Steiner-tétel)! Rajzoljon magyarázó ábrát!

• Tömegközéppontra [math]\theta_s[/math] ismert, vegyük a tömegközéppontot origónak.
• Az origóból kijelölünk egy x irányt, erre merőlegesen egy y irányt. X irányba a tömegközépponttól d távolságra a tehetetlenségi nyomaték [math]\theta_{d} = \sum m_i((x_i - d)^2 + y_i^2 )[/math]
• [math]\theta_{d} = \sum m_i((x_i - d)^2 + y_i^2 ) = \sum m_i(x_i^2 + y_i^2 - 2dx_i + d^2) = \sum m_i(x_i^2 + y_i^2) + \sum m_i(- 2dx_i + d^2) = \theta_s + \sum m_i(- 2dx_i + d^2)[/math]
• [math]\theta_{d} = \theta_s + \sum m_i(d^2) = \theta_s + md^2[/math]

Írja fel és fogalmazza meg a munkatételt! (1p) Írja fel az x irányban egyenletesen gyorsuló tömegpontra érvényes kinematikai egyenleteket (1p) és ezek alapján vezesse le a munkatételt (1p)!

• Más nevében: kinetikus energia tétele, Eleven erő tétele
• [math]W = \frac 1 2 m \Delta v^2[/math]
• Kérdés: mekkora a test végsebessége, ha [math]F[/math] erővel [math]s[/math] úton gyorsítjuk? (kezdetben a sebesség [math]v_1[/math], az út megtételéhez [math]t[/math] idő szügséges, a végsebesség [math]v_2[/math])
• [math]v(t)=v_1+at[/math]
• [math]s(t)=v_1t+ \frac 1 2 at^2[/math]
• [math]t = m\frac {v_2-v_1} F[/math]
• [math]s=v_1 \frac {m(v_2-v_1)} F + \frac 1 2 \frac F m \frac {m^2(v_2-v_1)^2} {F^2} = \frac m F (v_1v_2-v_1^2+ \frac 1 2 v_2^2 - v_1 v_2 + \frac 1 2 v_1^2) = \frac 1 2 \frac m F (v_2^2 - v_1^2)[/math]
• [math]s=\frac1 2\frac m F (v_2^2-v_1^2)[/math]
• [math]Fs=W=\frac1 2 m \Delta v^2[/math]

Tekintsünk egy rendszert, amelyet környezetétől – a konzervatív erőket kivéve – teljesen elszigetelünk. A munkatétel (1p) és a potenciális-energia függvény definíciója (1p) alapján értelmezze a rendszer mechanikai energiájának megmaradását (1p)!

• Mechanikai energiamegmaradás: [math]\frac1 2 m v^2 + U_p = const[/math], ahol [math]U_p[/math] a potenciális energia
• Potenciálos vagy konzervatív erőtérnek olyan erőteret nevezünk, ahol egy pontból egy másik pontba elmozdítva egy testet, mindig ugyanakkora munkát kell végeznünk, bármilyen útvonalat is használunk. Ilyen erőterek például a gravitációs erőtér, elektrosztatikus erőtér, rugalmas alakváltozás stb.
• .... erőtér: [math]U_p=mgh[/math]
• rugalmas erőtér: [math]U_p=\frac1 2 k x^2[/math]
• grevitációs erőtér: [math]U_p(r)=-\gamma \frac {Mm}r[/math]

Írja fel a fonálinga (matematikai inga) mozgásegyenletét és egyszerűsítse kis szögű kitérések esetén! (1,5p) Oldja meg a mozgásegyenletet, ha az ingát függőleges helyzetéből v0 kezdősebességgel indítjuk el! (1,5p)

• Matematikai inga: Egy ideális kötél a tetején rögzített, a végén lévő apró, tömeggel rendelkező testet kitérítjük.
• Mozgás egyenlet: Az eredő erő: [math]mg \cos\varphi = ma[/math]
• [math]a=g \cos\varphi[/math]
• [math]a=l\beta[/math]
• [math]l\beta=g\sin\varphi[/math]
• [math]a=-\omega_0^2l[/math], mivel körmozgásról beszélünk
• [math]\sin\alpha \approx \alpha[/math] kis szögekre
• [math]\beta=-\frac g l \Alpha[/math]
• [math]\omega_0=\sqrt \frac g l[/math]

Adja meg (1p) és a perdületmegmaradás törvényének alkalmazásával igazolja Kepler II. törvényét (2p)! Rajzoljon magyarázó ábrát!

• Kepler 2: A vezérsugár ("bolygó és nap közötti egyenes") azonos idő alatt azonos területet súrol. Matematikailag:
  • [math]\Delta \vec A =\frac1 2 \vec r \times \Delta \vec r[/math]
  • [math]\frac {\Delta \vec A}{\Delta t} = \frac1 2 \vec r \times \vec v =const[/math]
• [math]2m\frac {\Delta \vec A}{\Delta t} = \vec r \times m \vec v = \vec r \times \vec p = \vec N = const[/math]

Vízszintes tengelyű biciklikereket az elhanyagolható tömegű tengelyének egyetlen pontján madzaggal felfüggesztünk (balra). Rajzolja be a testre ható forgatónyomaték-vektort, a test középpontjának pályáját és a test perdületének megváltozását! (1p) A jobb oldali ábrán ugyanez a rendszer látható, de most a kereket gyorsan megforgattuk. Rajzolja be ismét a testre ható forgatónyomaték-vektort, a test tömegközéppontjának pályáját, a test pillanatnyi perdületét és annak megváltozását! (1p) Írja fel vektoriálisan a forgatónyomaték kifejezését, valamint a perdület és forgatónyomaték kapcsolatát leíró összefüggést! (1p)

• demonstráció