Elektromágneses terek alapjai - Szóbeli feladatok
Itt gyűjtjük a szóbeli vizsgán húzható számolási feladatokat. A bennük szereplő számadatok nem túl lényegesek, mivel a vizsgán is csak a számolás menetére és elméleti hátterére kíváncsiak.
Kérlek bővítsétek a szóbelin ténylegesen kapott feladatokkal, amennyiben időtök engedi, részletes megoldással is.
Már az is nagy segítség, ha legalább az általad húzott feladat PONTOS szövegét és SORSZÁMÁT beírod ide! Sablon:Noautonum
Tartalomjegyzék
- 1 42. Feladat: Áramsűrűségből megadott felületen átfolyó áram számítása
- 2 50. Feladat: Két áramjárta vezető közötti erőhatás
- 3 52. Feladat: Két toroid tekercs kölcsönös indukciója
- 4 58. Feladat: Toroid tekercs fluxusa és energiája
- 5 65. Feladat: Koaxiális jellegű vezeték tengelyében a mágneses térerősség
- 6 78. Feladat: Ideális távvezeték állóhullámarányának számítása
- 7 81. Feladat: Távvezeték megadott feszültségű pontjának meghatározása
- 8 86. Feladat: Ideális távvezeték feszültségének számítása
- 9 94. Feladat: Zárt vezetőkeretben indukált áram
- 10 98. Feladat: Zárt vezetőhurokban indukált feszültség
- 11 107. Feladat: Hengeres vezetőben disszipált hőteljesítmény
- 12 109. Feladat: Hengeres vezető belsejében az elektromos térerősség
- 13 111. Feladat: Behatolási mélység
- 14 143. Feladat: Hertz-dipólus által adott irányban kisugárzott teljesítmény
- 15 149. Feladat: Koaxiális kábelben áramló teljesítmény
42. Feladat: Áramsűrűségből megadott felületen átfolyó áram számítása
Stacionárius áramlási térben az áramsűrűség [math] J = e_z* 5 {kA \over m^2} [/math]. Mekkora a z-tengellyel 60°-os szöget bezáró [math] A=80 cm^2 [/math] felületen átfolyó áram?
A J áramsűrűség-vektor megadja a rá merőleges, egységnyi felületen átfolyó áram nagyságát. A J áramsűrűség-vektor z irányú, nekünk a felületre normális komponensével kell számolnunk.
[math]I = \int_A J dA[/math], esetünkben [math] I = J * A * \sin60^\circ=5000*80*10^{-4}*\sin60^\circ= 34.64A[/math]50. Feladat: Két áramjárta vezető közötti erőhatás
Két egymással párhuzamos végtelen hosszú vezető egymástól 4m távolságban. Az egyiken 2A, a másikon 3A folyik. Mekkora erő hat az egyik vezeték 1 m-es szakaszára?
Az egyikre ható erő egyenlő a másikra ható erővel (Newton erő-ellenerő törvénye). A megoldáshoz az Ampere-féle gerjesztési törvényre, és a Lorentz-erőre van szükség.
H-t egy kör vonalán integráljuk, aminek a középpontját merőlegesen döfi át az egyik vezeték. Mivel a mágneses térerősségvektor a körvonal minden pontjában érintő irányú, így a vonalintegrál szorzássá egyszerűsödik.
[math]\oint H dl = \int J dA = I[/math]
[math]H_1 2 d \pi = I_1 \longrightarrow H_1 = \frac{I_1}{2 d \pi}[/math]
Tudjuk még, hogy [math]B = \mu_0 H[/math] vákuumban.
A Lorentz-erő képlete is szorzássá egyszerűsödik, mivel a vektorok derékszöget zárnak be egymással:
[math]F = q (v \times B ) = I (l \times B)[/math], ahol I a konstans áramerősség, l pedig a vezetéken folyó áram irányának vektora, hossza a megadott 1 m.
Innen a megoldás:
[math]F_{12} = I_2 l B_1 = I_2 l \mu_0 H_1 = \frac{\mu_0 l I_1 I_2}{2 d \pi} = \frac{4 \pi 10^{-7} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot \pi} = 3 \cdot 10^{-7} N[/math]
Fordított indexeléssel ugyanez jönne ki a másikra is. Jobbkéz-szabályból következik, hogy ha azonos irányba folyik az áram, akkor vonzzák egymást, ha ellentétes irányba, akkor taszítják. Szóbelin még érdemes megemlíteni, hogy ez a jelenség adja az Ampere mértékegység definícióját, 1 m hosszú szakasz, 1 m távolság, 1-1 A áramerősség esetén az erő:
[math]F = 2 \cdot 10^{-7} N[/math]52. Feladat: Két toroid tekercs kölcsönös indukciója
Egy toroidra két tekercs van csévélve, az egyik menetszáma [math]N_1[/math], a másiké [math]N_2[/math]. A toroid közepes sugara [math]r[/math], keresztmetszetének felülete [math]A[/math], relatív permeabilitása [math]\mu_r[/math]. Határozza meg a két tekercs kölcsönös induktivitását!
A kölcsönös induktivitás definíció szerint:
[math]L_{12}=\frac{\Psi_{21}}{I}=\frac{N_2\Phi_{21}}{I}=\frac{N_2\int_{A_1} \vec{B_2}\mathrm{d}\vec{A_1}}{I}=\frac{N_2B_2N_1A}{I}= \frac{N_2\mu_0\mu_rH_2N_1A}{I}=\frac{N_2\mu_0\mu_rIN_1A}{I2r\pi}=\frac{\mu_0\mu_rN_1N_2A}{2r\pi}[/math]58. Feladat: Toroid tekercs fluxusa és energiája
Hányszorosára változik egy L önindukciós együtthatóval rendelkező I1 = 2A árammal átjárt toroid belsejében a mágneses fluxus, ha az áramerősséget nagyon lassan I2 = 5A -re növeljük? Hányszorosára változik a tekercs mágneses mezejében tárolt energia?
Mivel az áram nagyon lassan változik, így a kezdő és végállapotot vehetjük két egymástól független stacioner állapotú esetnek.
Egy bármilyen tekercs fluxusa az [math]\Psi=L*I[/math] képletből számolható. Ez alapján a toroid fluxusváltozása: [math]\frac{\Psi_2}{\Psi_1}=\frac{L*I_2}{L*I_1}=\frac{I_2}{I_1}=2.5[/math]
Egy bármilyen tekercs energiája számolható a [math]W=\frac{1}{2}*L*I^2[/math] képlet alapján. Tehát a toroid energiaváltozása: [math]\frac{W_2}{W_1}=\frac{\frac{1}{2}*L*I_2^2}{\frac{1}{2}*L*I_1^2}=\frac{I_2^2}{I_1^2}=2.5^2=6.25[/math]65. Feladat: Koaxiális jellegű vezeték tengelyében a mágneses térerősség
Egy r = 0.09m sugarú vékony falú rézcső belsejében, a tengelytől d = 0.03m távolságra, azzal párhuzamosan egy vékony rézvezeték helyezkedik el. Mindkét vezető elég hosszú és I = 5A nagyságú egyenáram folyik bennük, de ellenkező irányban. Mekkora az eredő mágneses térerősség nagysága a tengelyben?
A feladatot bontsuk két részre. Első körben az Ampere-féle gerjesztési törvény segítségével megállapítható, hogy a rézcső belsejében a mágneses térerősség nagysága, csakis a belső rézvezeték elhelyezkedésétől és az abban folyó áram nagyságától függ.
[math]\oint H dl = \int J dA = I[/math]
Ez onnét látszik, hogyha olyan zárt L görbe mentén integrálunk, ami a rézcsőn belül vezet, akkor a görbe által kifeszített síkon csakis a vékony rézvezeték árama megy át.
Második körben meghatározható a vékony rézvezeték által a tengely mentén keltett mágneses térerősség nagysága. Szimmetria okokból a vékony rézvezeték mágneses tere hengerszimmetrikus, az erővonalak koncentrikus körök, ezért a mágneses térerősségvektor mindig érintő irányú, így a vonalintegrál egy egyszerű szorzássá egyszerűsödik:
[math]H 2 d \pi = I \longrightarrow H = \frac{I}{2 d \pi}=\frac{5}{2 *0.03 \pi} \approx 26.53 {A \over m}[/math]78. Feladat: Ideális távvezeték állóhullámarányának számítása
Egy ideális távvezeték mentén a feszültség komplex amplitúdója az [math]U(z) = (3+4j)*e^{-j \beta z} + (2-j)*e^{j \beta z}[/math] függvény szerint változik. Adja meg az állóhullámarányt!
A megadott függvényből kiolvasható a hullám beeső (pozitív irányba halad --> - j*béta*z ) és a reflektált (negatív irányba halad --> + j*béta*z ) komponenseinek komplex amplitúdói:
[math]U^+ = 3+4j[/math]
[math]U^- = 2-j[/math]
Megjegyzés: A feladat megadható úgy is, hogy U(x) függvényt adják meg. Ekkor a beeső komponenshez (U2+) tartozik a pozitív, a reflektálthoz (U2-) pedig a negatív hatványkitevő!
Kapcsolat a két fajta paraméterezés között:
[math]U_2^+ = U^+ e^{- \gamma l} \xrightarrow{ idealis TV} U^+ e^{- j \beta l} [/math]
[math]U_2^- = U^- e^{ \gamma l} \xrightarrow{ idealis TV} U^- e^{ j \beta l} [/math]
Ezekből felírható a távvezeték reflexiós tényezőjének abszolút értéke definíció szerinti "x" paraméterezéssel, majd ebből "z" szerinti paraméterezéssel:
[math]|r|=\left| {U_{reflektalt} \over U_{beeso}} \right|= \left| {U_2^- \over U_2^+ } \right|=\left| {U^- \over U^+ } e^{j2 \beta l} \right| = \left| {U^- \over U^+ } \right| =\left| {2-j \over 3+4j } \right| = {1 \over \sqrt{5}} = 0.447[/math]
Ebből pedig már számolható a távvezeték állóhullámaránya:
[math]\sigma = {1+|r] \over 1-|r| } = {1+0.447 \over 1-0.447 } \approx 2.62[/math]81. Feladat: Távvezeték megadott feszültségű pontjának meghatározása
Adott egy végtelen hosszú távvezeték, melynek paraméterei az alábbiak: [math]R' = 20 {m \Omega \over m}[/math] és [math]G' = 5 { \mu S \over m}[/math]. Egy [math]U_0[/math] egyenfeszültségű feszültség forrást kapcsolunk rá. Határozza meg azt a z távolságot, ahol a feszültség [math]U_0/2[/math] lesz!
Első körben meg kell határoznunk, hogy mennyi a távvezeték csillapítása (alfa), feltéve hogy omega=0, mivel egyenfeszültséggel gerjesztjük a távvezetéket:
[math]\alpha=Re\left\{ \gamma \right\}=Re\left\{ \sqrt{(R'+j\omega L')(G'+j\omega C')} \right\}=Re\left\{ \sqrt{R'*G'} \right\}=\sqrt{R'*G'}=\sqrt{0.02*5*10^{-6}}=3.16*10^{-4}{1\over m}[/math]
Most meg kell határoznunk, hogy a távvezeték mely "z" távolságú pontjára csillapodik a feszültség amplitúdója az eredeti érték felére:
[math]U_0*e^{-\alpha*z}={U_0 \over 2}[/math]
[math]e^{-\alpha*z}=0.5[/math]
[math]-\alpha*z=\ln 0.5 \longrightarrow z=-{\ln 0.5 \over \alpha}=-{\ln 0.5 \over 3.16*10^{-4}}=2.192 km[/math]86. Feladat: Ideális távvezeték feszültségének számítása
Adott egy ideális távvezeték, melynek hullámimpedanciája [math]500\Omega[/math], hossza pedig [math]\frac{\lambda}{8}[/math]. A távvezeték végén adott az áram és a feszültség komplex amplitúdója: [math]2A[/math] illetve [math]500V[/math]. Határozzuk meg a feszültség komplex amplitúdóját a távvezeték elején.
Tudjuk, hogy [math]\beta = \frac{2 \pi}{\lambda} [/math] így [math](\beta l)=\frac{2 \pi}{\lambda}\frac{\lambda}{ 8} = \frac{\pi}{4}[/math]
Miután ez megvan, felírjuk az ideális távvezeték lánckarakterisztikájának első egyenletét, majd behelyettesítünk:
[math]U_1 = cos (\beta l)*U_2 + j * sin(\beta l) * Z_0 * I_2 = cos \left( {\pi \over 4} \right)*500 + j * sin \left( {\pi \over 4} \right) * 500 * 2 = (354 + j707)V[/math]94. Feladat: Zárt vezetőkeretben indukált áram
Egy [math]R=5 \Omega[/math] ellenállású zárt vezetőkeret fluxusa [math]\Phi(t)=30*sin(\omega t) mVs[/math], ahol [math]\omega=1 {krad \over s}[/math]. Mekkora a keretben folyó áram effektív értéke?
Az indukálási törvény alapján: [math]u_i=-{d\Phi(t) \over dt}=-\omega*0.03*cos(\omega t)[/math]
Behelyettesítve a körfrekvencia értékét: [math]u_i=-30*cos(\omega t) V[/math]
Innen a feszültség effektív értéke: [math]U_{eff}={30 \over \sqrt 2} V[/math]
Az áram effektív értéke pedig: [math] I_{eff}={U_{eff} \over R}={6 \over \sqrt 2} A[/math]98. Feladat: Zárt vezetőhurokban indukált feszültség
Az xy síkon helyezkedik el egy 3m sugarú, kör alakú, zárt l görbe. A mágneses indukció a térben homogén, z irányú komponense 40ms idő alatt 0.8T értékről lineárisan zérusra csökken. Mekkora feszültség indukálódik eközben az l görbe mentén?
107. Feladat: Hengeres vezetőben disszipált hőteljesítmény
Egy [math]A=1.5 mm^2[/math] keresztmetszetű, 3m hosszú hengeres vezetőben 10A amplitúdójú 50 Hz-es szinuszos áram folyik. A behatolási mélység [math] \delta = 9.7 mm[/math], a fajlagos vezetőképesség pedig [math] \sigma = 3.7*10^7 {S \over m}[/math]. Mennyi a vezetőben disszipált hőteljesítmény?
A vezető sugara: [math]r=\sqrt{{1.5\over\pi}}=0.691mm\lt \lt \delta[/math]
Mivel a vezető sugara jóval kisebb mint a behatolási mélység, így a vezető vehető egy sima "l" hosszúságú, "A" keresztmetszetű és "szigma" fajlagos vezetőképességű vezetékdarabnak.
[math]R={1 \over \sigma}*{l \over A}={1 \over 3.7*10^{7}}*{3 \over 1.5*10^{-6}}=54m\Omega[/math]
A vezetékben disszipálódó hőteljesítmény (vigyázat, csúcsérték van megadva és nem effektív):
[math]P={1\over2}*R*I^2={1\over2}*0.054*10^2=2.7W[/math]109. Feladat: Hengeres vezető belsejében az elektromos térerősség
Egy 2mm sugarú, hosszú hengeres vezető 35 MS/m fajlagos vezetőképességű anyagból van, a behatolási mélység 80µm. A térerősség időfüggvénye a vezető felszínén [math]\vec{E}(t)=10*cos(\omega t)*\vec{n}_0[/math]. Itt n egy egységvektor, ami a vezető hosszanti tengelyével párhuzamos. Adja meg az áramsűrűség időfüggvényét a felülettől 2 behatolási mélységnyi távolságra!
Mivel: [math]\delta \lt \lt r [/math]
Így a mélység (z) függvényében a térerősség komplex amplitúdójának változása: [math]E(z)=E_0*e^{-\gamma z}=E_0*e^{- \left( 1/ \delta + j/ \delta \right) z}=E_0*e^{-z/ \delta}*e^{-jz/ \delta}[/math]
A differenciális Ohm-törvény: [math]\vec{J}=\sigma * \vec{E }[/math]
Ezeket egybefésülve és áttérve időtartományba: [math]\vec{J}(z,t)=Re \left\{ \sigma * E_0*e^{-z/ \delta}*e^{-jz/ \delta} *e^{j \omega t} \right\} * \vec{n}_0 = \sigma *E_0 * e^{-z/ \delta} * cos \left( \omega t - {z \over \delta} \right) * \vec{n}_0 [/math]
Behelyettesítés után [math]z= 2 \delta[/math] mélységben: [math]\vec{J}(t)= 35*10^6 * 10 * e^{-2 \delta / \delta} * cos \left( \omega t - {2 \delta \over \delta} \right) * \vec{n}_0 = 47.37 * cos \left( \omega t - 2 \right) * \vec{n}_0 {MA \over m^2}[/math]111. Feladat: Behatolási mélység
Vezetőben terjedő síkhullám elektromos térerőssége minden 3 mm után a felére csökken. Határozza meg a behatolási mélységet, a csillapítási tényezőt és a fázistényezőt!
[math] \gamma = \alpha + j\beta [/math] terjedési együttható
[math] \alpha [/math] - csillapítási tényező
[math] \beta [/math] - fázistényező
[math] \delta = \frac{1}{\alpha} [/math] behatolási mélység
Vezető anyagokban [math] \alpha = \beta [/math] , mivel:
[math] \gamma = \sqrt{j\omega\mu (\sigma + j\omega\varepsilon)} [/math], azonban vezető anyagokban [math] \varepsilon \lt \lt \sigma [/math], így a terjedési együttható: [math] \gamma \approx \sqrt{j\omega\mu\sigma} = \sqrt{j}\sqrt{\omega\mu\sigma} [/math]
[math] \sqrt{j} = \sqrt{e^{j \pi/2}} = e^{j \pi/4} = \frac{1}{\sqrt{2}} + j\frac{1}{\sqrt{2}} [/math]
[math] \gamma = \sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}} + j\sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}} [/math]
Ebből [math] \delta [/math] számításának módja:
[math] \delta = \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{\beta} = \sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}} [/math] (de most nem ezt kell használni)
A térerősség amplitúdójának nagysága a vezetőben: [math] E(z) = E_0 e^{-\alpha z} = E_0 e^{-z/\delta} [/math]
[math] E_0 e^{- (0.003\ \text{m})/\delta} = \frac{1}{2} E_0 [/math]
[math] \delta = -\frac{0.003\ \text{m}}{\ln{\frac{1}{2}}} \approx 4.328\ \text{mm} [/math]
[math] \alpha = \beta = \frac{1}{\delta} \approx 231\ \frac{1}{\text{m}}[/math]143. Feladat: Hertz-dipólus által adott irányban kisugárzott teljesítmény
Egy Hertz-dipólus az origó síkjában [math]\vartheta =0[/math] szögben áll. Írja fel az összes kisugárzott teljesítményt [math]\vartheta \in \left\{ 0,{\pi \over 2} \right\}[/math] tartományban a Poynting-vektor és a Hertz-dipólus irányhatásának segítségével!
A Hertz-dipólus által kisugárzott teljes teljesítmény:
[math]P={1 \over 2} * I^2 *R_s = {1 \over 2} * I^2* 80 \pi^2 \left( {l \over \lambda} \right)^2[/math]
A megadott tartomány az xy sík feletti félteret írja le. Mivel a Hertz-dipólus iránykarakterisztikája az xy síkra szimmetrikus, így a felső féltérbe a teljes teljesítmény fele sugárzódik ki.149. Feladat: Koaxiális kábelben áramló teljesítmény
Koaxiális kábelben egyenáram folyik, a dielektrikumban kialakuló elektromos és mágneses térerősség hengerkoordináta-rendszerben leírva a következő:<br\>[math]E(r)=\frac{U_0}{r}*\vec{e_r}[/math] (ahol [math]\vec{e_r}[/math] a radiális irányú egységvektor), <br\>[math]H(r)=\frac{I_0}{r}*\vec{e_\varphi}[/math] (ahol [math]\vec{e_\varphi}[/math] a fi irányú egységvektor).<br\> Milyen irányú és mekkora az áramló hatásos teljesítmény? A belső ér sugara r1, a külső vezető belső sugara r2, a vezetők ideálisak, a kábel tengelye a z irányú.
