Elektromágneses terek alapjai - Számolós vizsgakérdések kidolgozásában talált hibák javításai
Az elektromágneses terek vizsgára kiadott kiskérdések kidolgozásában talált hibák javításainak gyűjteménye!
Kérlek, ha ezeken kívül találnál még hibát a kidolgozásban, akkor azt írd le ide, pontos magyarázattal.
Tartalomjegyzék
10-es példa
Nekem más eredményem lett, szerintem egy 2-es szorzó lemaradt valahol, de nem 100%.
Levezetés és megoldás:
Gauss képlettel az 1. gömb térerőssége: E1 = Q / (4*π*ɛ*R^2)
A 2. gömb térerőssége: E2 = Q / [4*π*ɛ*(2H-R)^2] //ugyanaz, mint az 1. gömbé, csak a gömbtől való távolság 2H-R
U = ʃ Edl (integrálási határok: R0 -> 2H-R0)
U = Q / (4*π*ɛ) * { -[1/(2H-R0) - 1/R0] + [1/R0 - 1/(2H-R0)] } //a -Q miatt lesz + a második tag
U = Q / (4*π*ɛ) * [ -1/(2H-R0) + 1/R0 + 1/R0 - 1/(2H-R0)]
U = Q / (4*π*ɛ) * [ 2/R0 - 2/(2H-R0) ]
U = Q / (2*π*ɛ) * [ 1/R0 - 1/(2H-R0) ]
Elektrosztatika -> Stac. áramlás analógia: (Q,ɛ) -> (I, σ)
U = I / (2*π*σ) * [ 1/R0 - 1/(2H-R0) ]
-> U / I = R = 1 / (2*π*σ) * [ 1/R0 - 1/(2H-R0) ] = 150,78 Ω
11-es példa
A szivárgási ellenállásnál nem szorozni, hanem osztani kell a hosszal, úgy már jó a képlet.
Pontos levezetés és megoldás:
- [math] \oint_{A}\bar{J}d\bar{A} = I \Rightarrow 2r\pi*l*\bar{J} = I [/math]
- [math] \bar{J} = \frac{I}{2r\pi l} \Rightarrow \bar{E} = \frac{I}{2r\pi\sigma l} [/math]
- A koaxiális kábel belső és külső vezetője közötti feszültségből számítandó, tehát:
[math] U = \int_{r_1}^{r_2}\bar{E}(r)dr = \frac{I}{2\pi\sigma l}\int_{r_1}^{r_2}\frac{1}{r}dr = \frac{I}{2\pi\sigma l}\left[ln(r)\right]_{r_1}^{r_2} = \frac{I}{2\pi\sigma l}*ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right) \Rightarrow [/math]
[math] \Rightarrow R=\frac{U}{I}=\frac{1}{2\pi\sigma l}*ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)[/math]
18-as példa
Az [math] E [/math] nem [math] \frac{1}{r^{2}} [/math] -esen csökken, hanem [math] \frac{1}{r} [/math] -esen, így [math] U = \frac{q}{2\pi\varepsilon}*ln\left(\frac{2h-r_{0}}{r_{0}}\right) [/math] -os kifejezés lesz.
Pontos levezetés és megoldás:
- [math] \oint_{A}\bar{D}d\bar{A} = Q \Rightarrow 2r\pi*l*\bar{D} = Q [/math]
- [math] \bar{D} = \varepsilon\bar{E} = \frac{Q/l}{2r\pi} \Rightarrow \bar{E} = \frac{q}{2r\pi\varepsilon} [/math]
- U a vezető és a fémsík között esik ezért [math] r_0 [/math]-tól integrálunk [math] h [/math]-ig:
[math] U = \int_{r_0}^{h}\bar{E}_1(r)+\bar{E}_2(2h-r)dr = \frac{q}{2\pi\varepsilon}\int_{r_0}^{h}\frac{1}{r}-\frac{1}{2h-r}dr = \frac{q}{2\pi\varepsilon}\left[ln(r)-ln(2h-r)\right]_{r_0}^{h} = [/math]
[math] \frac{q}{2\pi\varepsilon}\left[ln\left(\frac{r}{2h-r}\right)\right]_{r_0}^{h} = \frac{q}{2\pi\varepsilon}\left[ln\left(\frac{2h-r_0}{r_0}\right)\right] \approx \frac{q}{2\pi\varepsilon} ln\left(\frac{2h}{r_0}\right)\Rightarrow [/math]
[math] \Rightarrow\frac{q}{2\pi\varepsilon} = \frac{U}{ln\left(\frac{2h}{r_0}\right)} [/math] - [math] E_{max} = E(r_0) = \frac{q}{2\pi\varepsilon} \left(\frac{1}{r_0}+\frac{1}{2h-r_0}\right) \approx \frac{q}{2\pi\varepsilon} \left(\frac{1}{r_0}+\frac{1}{2h}\right) = [/math]
[math]=\frac{U}{ln\left(\frac{2h}{r_0}\right)} \left(\frac{1}{r_0}+\frac{1}{2h}\right) [/math]
27-es példa
Ez jól van megoldva a kidolgozásban, de egyszerűbben is lehet:
- Ha [math] \varepsilon_{1}E_{1krit}\prec\varepsilon_{2}E_{2krit} [/math] akkor [math] U_{krit}=\varepsilon_{1}E_{1krit}\left(\frac{d_1}{\varepsilon_1}+\frac{d_2}{\varepsilon_2}\right) [/math]
- Ha [math] \varepsilon_{1}E_{1krit}\prec\varepsilon_{2}E_{2krit} [/math] akkor [math] U_{krit}=\varepsilon_{2}E_{2krit}\left(\frac{d_1}{\varepsilon_1}+\frac{d_2}{\varepsilon_2}\right) [/math]
- Tehát: [math] U_{krit}=min\left\{\varepsilon_{1}E_{1krit},\varepsilon_{2}E_{2krit}\right\} \left(\frac{d_1}{\varepsilon_1}+\frac{d_2}{\varepsilon_2}\right) [/math]
Másik megoldás (hosszabb, de szerintem könnyebben érthetőbb):
Gauss-törvény a fegyverzetek közt: E*A = ΣQ / ε → E = Q / (ε*A) //Q := ΣQ
1. közegre: E1 = Q / (εέ*A) //ε := "epszilon 0", έ := "epszilon p"
2. közegre: E2 = Q / (ε*A)
Feszültség kiszámolása: U = ʃ Edl = E*d //E homogén a kondenzátorban
1. közegben: U1 = E1 * d1 = Q / (εέ*A) *d1
2. közegben: U2 = E2 * d2 = Q / (ε*A) *(d - d1)
A kondenzátorra kapcsolt feszültség: ΣU = U1+U2 = Q / (ε*A) * (d1 /έ + d - d1)
Ebből Q kifejezése:
Q = U * (ε*A) / (d1 /έ + d - d1)
Visszahelyettesítés az egyes közegekben meghatározott térerősség-képletekbe:
E1 = U * (ε*A) / (d1 /έ + d - d1) / (εέ*A) = U / [(d1 /έ + d - d1)*έ]
E2 = U * (ε*A) / (d1 /έ + d - d1) / (ε*A) = U / (d1 /έ + d - d1)
Ezekből kifejezzük a feszültséget:
U = E1 * [(d1 /έ + d - d1) *έ] → Umax = E1max * [(d1 /έ + d - d1)*έ] = 3 MV
U = E2 * (d1 /έ + d - d1) → Umax = E2max * (d1 /έ + d - d1) = 128,57 kV
A két feszültség közül a kisebbiket kapcsolathatjuk rá, különben a 2. közegben (a levegőben) átüt a feszültség.
28-as példa
Megjegyzés: Z0 ~ 120π, ezzel kb. 0,26 Ω hibát elkövetünk. Pontos érték: Z0 = c*μ ~ 376,7303 Ω. De ez is csak vákuumban igaz, levegőben kb. 0,1Ω-mal kevesebb (376,62Ω). Ha már ennyit kerekítünk, könnyebb 377-tel számolni.
30-as példa
Az eredmény majdnem jó, csak egy negatív előjel hiányzik az egész képlet elé. Ez amiatt van, hogy a rendszer jobbsodrású. A 2009.01.12-én írt beugró megoldókulcsában is így van, lásd csatolt mellékletek.
36-os példa
Egyszerűbben is lehet:
S(időátlag, θ) = P / (4r^2*π) * D * [sin(θ)]^2
S(időátlag, 45°) = P / (4r^2*π) * D * [sin(45°)]^2 = P / (4r^2*π) * D * 0,5 = 1 mW/m^2 (adott)
A maximális sugárzás iránya: θ = 90°, mert a szinuszos tényezőnek itt van maximuma
S(időátlag, 90°) = P / (4r^2*π) * D * [sin(90°)]^2 = P / (4r^2*π) * D * 1
S(időátlag, 90°) = S(időátlag, 45°) * 2 = 2 mW/m^2.
38-as példa
Ez ez eredmény még csak fél pontot ér (legalábbis ennyit ért mikor én vizsgáztam). Az 'a' hossznak kisebbnek is kell lennie még 10cm-nél. Ez a feladatban lévő "csak" kulcsszó miatt van. Amennyiben 'a' 10cm-nél nagyobb, akkor már a TE20 módus is terjedhet ezen a frekvencián, 11.18cm-nél meg már TE11 is, stb. Szóval 'a' nagyobb mint 5cm, ÉS 'a' kisebb mint 10 cm.
44-es példa
Nagy része jó, csak [math] w=\frac{\frac{1}{2}\mu_0H_0^2}{A \delta} [/math] nem helyes, mert nem kell osztani [math] A \delta [/math]-val.
Tehát helyesen: [math] w=\frac{1}{2}\mu_0H_0^2 [/math]
48-as példa
Hát ez teljesen rossz. Na jó nem, csak a végén ln(9) helyett véletlen 9-cel számolt. A javított megoldás: 439,445 nH.
54-es példa
A feszültség amplitúdója csak pozitív szám lehet, azt nem tudjuk, hogy éppen milyen fázisban van. Megoldás: |U(50m)| = 30 V
59-es példa
A feszültség "komplex csúcsértékében" benne van a fázis is. Elvileg a megoldás így: U = 79*e^(j18,43°) V.
A jelölések viszont nem egyértelműek. A válasz előtt az U komplex amplitúdón van egy kalap, ami zavaró. Valószínűleg a feszültség csúcsértékére gondoltak, és nem a komplex csúcsértékére. Ebben az esetben az eredeti megoldás jó.
62-es példa
Itt ez az összefüggés nem igaz: [math] U^{-} = Z_0 I^{-} [/math]
Helyesen: [math] U^{-} = -Z_0 I^{-} [/math]
- [math] U_2^+=Z_0 I_2^+=225V [/math]
[math] U_2^-=-Z_0 I_2^-=-75V [/math] - [math] r=\frac{U_2^-}{U_2^+}=\frac{-75}{225}=-\frac{1}{3} [/math]
- [math] \hat{U}_{MAX}=U_2^+*\left(1+|r|\right)=U_2^+*\left(1+\left|-\frac{1}{3}\right|\right)=300V[/math]
[math] \hat{U}_{MIN}=U_2^+*\left(1-|r|\right)=U_2^+*\left(1-\left|-\frac{1}{3}\right|\right)=150V[/math]
Ennek a feladatnak a végeredményében nem okoz eltérést, de a hiba más feladatokban akár 1 pont levonást is okozhat!
Ennek van egy másik (szerintem egyszerűbb) megoldása:
- [math] r=-\frac{I_2^-}{I_2^+}=-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3} [/math]
- [math] U_2=Z_0 * (I_2^+-I_2^-)=150V [/math]
- [math] U_2=U_2^+*(1+r) \Rightarrow U_2^+=U_2 \frac{3}{2}=225V [/math]
- [math] \hat{U}_{MAX}=U_2^+*\left(1+|r|\right)=U_2^+*\left(1+\left|-\frac{1}{3}\right|\right)=300V[/math]
- [math] \hat{U}_{MIN}=U_2^+*\left(1-|r|\right)=U_2^+*\left(1-\left|-\frac{1}{3}\right|\right)=150V[/math]
