Bode-diagram kézi rajzolása

A Bode-diagram kézi rajzolása több tantárgyból is előjöhet. Ehhez nyújt segítséget az alábbi leírás, melyet Ndroo készített a Keviczky-féle Szabályozástechnika-könyv alapján.

A Bode-diagram készítésének lépései

1. Átviteli függvény átalakítása

Az aszimptotikus Bode-diagramm rajzolásához először "Bode normál alakra" kell hoznunk az átviteli függvényt:

[math] L(s) = {K \over s^i} \cdot {\sum_{k} \left( {1 + sT_k} \right) \cdot \sum_{m} \left( 1 + s \cdot 2 \xi_m T_m + s^2 T_m^2 \right) \over \sum_{l} \left( {1 + sT_l} \right) \cdot \sum_{n} \left( 1 + s \cdot 2 \xi_n T_n + s^2 T_n^2 \right)} [/math]

Ebből az alakból leolvasható a rendszer [math]K[/math] körerősítése és [math]i[/math] típusszáma (integrátorok száma).

Ha tehát a feladatban ehhez hasonló alak van: [math]L(s)=\frac{10 \cdot (s+10)}{s^3+51s^2+50s}[/math], akkor át kell alakítani ilyen alakká: [math]L(s)={2\over s}\cdot \frac{(1+0.1s)}{(1+s)(1+0.02s)}[/math]

Először a számlálót és a nevezőt is szorzattá kell alakítani, aztán annyit emelünk ki, hogy az "s" nélküli tagok értéke 1 legyen:

[math]L(s)=\frac{10 \cdot (s+10)}{s^3+51s^s+50s}=10\frac{s+10}{s(s+1)(s+50)}=10\frac{10}{50}\frac{1+0.1s}{s(1+s)(1+0.02s)}={2 \over s} \cdot \frac{(1+0.1s)}{(1+s)(1+0.02s)}[/math].

Így minden tényező [math]1+sT[/math] alakú lesz. Ha eleve így adták meg, akkor ezt a lépést ki kell hagyni.

Megjegyzés: Ha komplex konjugált gyökpárok is kijöttek volna a gyöktényezős felbontás során, akkor azok [math] 1 + s \cdot 2 \xi T + s^2 T^2[/math] alakú tagokat hoztak volna be.

2. Pólusok/zérusok felírása

Zérusok - Azok a helyek ahol a számláló értéke 0 lesz: [math]z_1=-10[/math]

Pólusok - Azok a helyek, ahol a nevező értéke lesz 0: [math]p_1=0, \;p_2=-1, \;p_3=-50[/math]

3. Fel/letörések meghatározása:

Ezek után készítsük el az alábbi táblázatot, melynek első sorában a pólusok és a zérusok abszolút értékük szerinti növekvő sorrendbe vannak rendezve (ezek lesznek a töréspontok):

Pólusok/zérusok abszolút értéke	[math]|p_1|=0[/math]	[math]|p_2|=-1[/math]	[math]|z_1|=-10[/math]	[math]|p_3|=-50[/math]
Index	+1	+1	-1	+1
Multiplicitás	1	1	1	1

Az index értéke zérus esetén -1, pólus esetén +1.

A multiplicitás pedig azt jelenti, hogy „hányszoros gyök”. Azaz például ha a -1 háromszoros gyöke lenne a nevezőnek, akkor a multiplicitása 3 lenne. Továbbá a komplex konjugált pólus/zérus-párok esetén mindkét gyök abszolút értéke ugyanaz, így azok alapból 2-szeres multiplicitásúnak számítanak.

A jelleggörbe meredeksége a következő képlet szerint alakul:

[math]\left( -20 {dB \over dek} \right) \cdot (multiplicitas) \cdot (index) [/math]

Ez a meredekség érték mindig az előző meredekséghez hozzáadódik!

4. A görbe kezdő meredeksége:

Ha van a zárt körben integrátor (i>0), akkor a fenti képlet a kezdő meredekséget is tökéletesen megadja. Azaz 1 integrátornál a kezdő meredekség -20 dB/dek, 2 integrátornál -40 dB/dek...

Ha azonban nincs az zárt körben integrátor (i=0), akkor az amplitúdó görbe kezdő meredeksége zérus, azaz egy vízszintes szakasszal indul.

A fenti példában egyszeres integrátor van, azaz -20dB/dekád a kezdő meredekség.

(Ha esetleg olyan állna elő, hogy i<0, azaz a nincs 0 értékű pólus, de van legalább egy 0 értékű zérus, akkor a kezdő meredekség szintén a képlet szerint alakul. Azaz +20 dB/dek, +40 dB/dek.... )

5. Az omega tengely metszésének pontja:

Most már tudjuk, hogyan néz ki az aszimptotikus amplitúdó görbe menete, de még szükségünk van az [math]\omega[/math] tengely metszéspontjára, azaz [math]\omega_c[/math] vágási körfrekvencia értékére.

Ez legtöbb esetben a kezdeti meredekség és a körerősítés alapján meghatározható. Ha nincs integrátor a zárt körben (i=0), akkor a kezdeti szakasz vízszintes, így ez a módszer sajnos nem használható. Ha azonban i>0, akkor tudjuk, hogy az integrátor egyenese (van annak meghosszabbítása) [math]\sqrt[i]{K}[/math] körfrekvencián metszi az [math]\omega[/math] tengelyt. Ha ez előtt a pont előtt nincs töréspont, akkor a tényleges amplitúdógörbe is itt fogja metszeni az [math]\omega[/math] tengelyt.

Jelen esetünkben azonban 1 integrátor van, tehát az integrátor egyenese (vagy annak meghosszabbítása) K=2-nél metszi a [math]\omega[/math] tengelyt. Mivel azonban [math]\omega=1[/math]-nél az integrátor egyenesének kezdeti -20 dB/dek meredekségéhez -20 dB/dek hozzáadódik a képletnek megfelelően, tehát még [math]\omega=2[/math] előtt -40 dB/dek lesz a meredeksége, így a tényleges amplitúdó görbe nem 2-nél, hanem egy annál kisebb értéknél metszi az [math]\omega[/math] tengelyt!

Az integrátor egyenese [math]\omega=1[/math] körfrekvencián [math]log\left( { 2\over 1 } \right) dek \cdot 20 {db \over dek} = 6 dB[/math] értéket vesz fel, hiszen [math]log\left( { 2\over 1 } \right)[/math] dekád távolság van az 1 és 2 körfrekvencia értékek között, és [math]-20 {db \over dek}[/math] az integrátor egyenesének meredeksége. Tudjuk, hogy a tényleges amplitúdó görbe [math]\omega=1[/math] körfrekvenciától [math]-40 {db \over dek}[/math] meredekséggel halad, tehát kiszámíthatjuk, hogy az amplitúdó görbe [math]1 + {6 dB \over 40 {dB \over dek}} = 1+0.15=1.15[/math]-nél metszi az [math]\omega[/math] tengelyt. (A lenti képen TÉVESEN [math]\omega_c = \sqrt{2}[/math] szerepel)

Ezt legtöbb a meredekség és az átviteli függvény szorzókonstansa (K) határozzák meg: ha a görbe meredeksége 0dB/dekád akkor nem metszi az x tengelyt (mert vízszintesen halad), ha -20dB/dekád, akkor K-nál metszi, ha -40dB/dekád, akkor [math]\sqrt{K}[/math]-nál. Az egyes fel/letörések miatt úgy lehet nyomon követni, hol lesz a metszés helye, hogy megnézzük az integrátorokat/a kezdő meredekséget: ha K-ig nem változik a görbe meredeksége, akkor a meredekségnek megfelelően metszi (pl: egyszeres integrátor, K=5, ekkor -20dB/dekádos meredekséggel megy át az x tengelyen 5-nél), ha előtte megváltozik, akkor annak megfelelően (pl: kétszeres integrátor, K=16, 2-nél feltörik, ekkor 2-ig -40dB/dekád a meredekség, a tengelyt [math]\sqrt{16}[/math]-nál metszené, de a feltörés miatt 2 után -20dB/dekáddal metszi az x tengelyt 16-nál.). A fenti példában K=2, egyszeres integrátor, -1-nél letörés van, ezért -40dB/dekád meredekséggel a [math]\sqrt{2}[/math] pontban metszi.

6. Amplitúdó-körfrekvencia görbe felrajzolása:

1. Amplitúdó-körfrekvencia görbe felrajzolása: (Lásd: könyv 88. old.) Itt az eddigieket kell összegyúrni eggyé, előbb bejelölöd a pontokat, ahol történik valami, majd utána rajzolod meg a görbét, az y tengelyen [math]|L(j\omega|[/math], az x tengelyen [math]\omega[/math] értékével.
   
   Hiba a bélyegkép létrehozásakor: Nem lehet a bélyegképet a célhelyre menteni

7. Fázisgörbe értéke:

1. Fázisgörbe értéke: (ez a másik görbe, a [math]\varphi[/math]-s, rendes nevén: fázis-körfrekvencia görbe) a görbéhez képzeljünk el sávokat, ahol 90° a lépték az egyes értékek közt. A fenti fel/letöréseknek megfelelően változik, ha feltörik, akkor az érték nő 90°-al, ha letörik, akkor csökken 90°-al. Viszont ez nem egyik pillanatról a másikba megy végbe, hanem "átmenetszerűen", rajzban ez azt jelenti, hogy fel/letörésnél már félúton van az új állapot felé.
   
   Hiba a bélyegkép létrehozásakor: Nem lehet a bélyegképet a célhelyre menteni

8. Fázisgörbe kezdőértéke:

1. Fázisgörbe kezdőértéke: ez az integrátorok, és az átviteli függvény szorzókonstansán múlik:
   1. a konstans ha pozitív, akkor 0° a kezdőérték, ha negatív, akkor -180°
   2. az integrátor(ok) miatt 0-ban -90°-al jobban változik (-180°-al, ha kétszeres)
   3. ha a számlálóban volt egy szimpla s tag, akkor az 90°-al növeli.
   4. Pl: konstans negatív, egyszeres integrátor: -180°+(-90°)=-270°, konstans pozitív, számlálóban egy szimpla s: 0°+90°=90°. A fenti példában konstans pozitív, egyszeres integrátor: 0°-90°=-90°.

9. Fázistöbblet meghatározása:

1. Fázistöbblet meghatározása: (Lásd: könyv 190-191. old) fázistöbblet fázis-körfrekvencia görbe értékének különbsége -180°-tól a vágási körfrekvenciánál. Azaz ahol a dB-es görbe metszi az x tengelyt, ott megnézed a [math]\varphi[/math]-s görbe értéke mennyire tér el a -180°-os vonaltól. Ezt a meredekség határozza meg mekkora lesz: ha -20dB/dekáddal metszi az x tengelyt: a fázistöbblet biztosan pozitív (Lásd: könyv 191.old, 5.35 ábra), ha -40dB/dekáddal metszi: a fázistöbbletet nem lehet meghatározni biztosan, olyat rajzolsz, mint az 5.36-os ábrán, ha -60dB/dekáddal metszi: a fázistöbblet biztosan negatív, ekkor a 180°-os vonal alatt megy el. A fenti példában -40dB/dekád meredekséggel a [math]\sqrt{2}[/math] pontban metszi az x tengelyt a dB-es függvény, ezért a fázistöbbletet nem tudjuk meghatározni biztosan, a stabilitás határhelyzetében van.

10. Fázis-körfrekvencia görbe felrajzolása:

1. Fázis-körfrekvencia görbe felrajzolása:
   
   Hiba a bélyegkép létrehozásakor: Nem lehet a bélyegképet a célhelyre menteni

11. A rendszer stabilitásvizsgálata:

1. Stabilis-e a rendszer: vagy azt nézed, hogy a fázistöbblet pozitív-e, vagy azt, hogy a jobboldali számsíkon van-e pólus: ha nincs, akkor stabilis.

12. Statikus hiba:

1. Statikus hiba: megnézed az integrátorok számát, az adja a típusszámot, és azt a sort írod le a táblázatból (Lásd: könyv 140. oldal).

Típusszám	0	1	2
egységugrás	[math]\frac{1}{1+K}[/math]	0	0
sebességugrás	[math]\infty[/math]	[math]\frac{1}{K}[/math]	0
gyorsulásugrás	[math]\infty[/math]	[math]\infty[/math]	[math]\frac{1}{K}[/math]

• 0 jelentése: hiba nélkül követi
  
• [math]\infty[/math] jelentése: nem tudja követni