Bode-diagram kézi rajzolása

A Bode-diagram kézi rajzolása több tantárgyból is előjöhet. Ehhez nyújt segítséget az alábbi leírás, melyet Ndroo készített a Keviczky-féle Szabályozástechnika-könyv alapján.

A Bode-diagram készítésének lépései

1. Átviteli függvény átalakítása

Az aszimptotikus Bode-diagramm rajzolásához először "Bode normál alakra" kell hoznunk az átviteli függvényt:

[math] L(s) = {K \over s^i} \cdot {\sum_{k} \left( {1 + sT_k} \right) \cdot \sum_{m} \left( 1 + s \cdot 2 \xi_m T_m + s^2 T_m^2 \right) \over \sum_{l} \left( {1 + sT_l} \right) \cdot \sum_{n} \left( 1 + s \cdot 2 \xi_n T_n + s^2 T_n^2 \right)} [/math]

Ha tehát a feladatban ehhez hasonló alak van: [math]L(s)=\frac{10 \cdot (s+10)}{s^3+51s^2+50s}[/math], akkor át kell alakítani ilyen alakká: [math]L(s)={2\over s}\cdot \frac{(1+0.1s)}{(1+s)(1+0.02s)}[/math]

Először a számlálót és a nevezőt is szorzattá kell alakítani, aztán annyit emelünk ki, hogy az "s" nélküli tagok értéke 1 legyen:

[math]L(s)=\frac{10 \cdot (s+10)}{s^3+51s^s+50s}=10\frac{s+10}{s(s+1)(s+50)}=10\frac{10}{50}\frac{1+0.1s}{s(1+s)(1+0.02s)}={2 \over s} \cdot \frac{(1+0.1s)}{(1+s)(1+0.02s)}[/math].

Így minden tényező [math]1+sT[/math] alakú lesz. Ha eleve így adták meg, akkor ezt a lépést ki kell hagyni.

Megjegyzés: Ha komplex konjugált gyökpárok is kijöttek volna a gyöktényezős felbontás során, akkor azok [math] 1 + s \cdot 2 \xi T + s^2 T^2[/math] alakú tagokat hoztak volna be.

2. Pólusok/zérusok felírása

Zérusok - Azok a helyek ahol a számláló értéke 0 lesz: [math]s=-10[/math]

Pólusok - Azok a helyek, ahol a nevező értéke lesz 0: [math]s=-50, s=-1, s=0[/math]

3. Fel/letörés:

1. Fel/letörés: Ez az amplitúdó-körfrekvencia görbéhez kell (a dB-es). A pontok, ahol a görbe fel/letörik: [math]1+sT[/math] alakból vagy s abszolútértéke, vagy [math]\frac{1}{T}[/math] értéke (a kettő abszolútértékben ugyanaz, úgy számold ki, ahogy jól esik). A görbe feltörik, ha zéruson megy át, ilyenkor a meredeksége 20dB/dekáddal nő (a függvény meredekéségét magasabbra rajzolod), illetve letörik, ha póluson megy át, a meredeksége itt 20dB/dekáddal csökken.

4. A görbe kezdő meredeksége:

1. A görbe kezdő meredeksége: ezt az integrátorokból (szimpla s szorzótagok az átviteli függvényben) nézhető meg, ha nincs ilyen: a meredekség 0, a görbe vízszintesen indul, ha egy van (egyszeres integrátor): -20dB/dekád a kezdő meredekség, ha kettő van, azaz [math]s^2[/math] van (kétszeres integrátor): -40dB/dekád. A fenti példában egyszeres integrátor van, azaz -20dB/dekád a kezdő meredekség.

5. Az x tengely metszésének pontja:

1. Az x tengely metszésének pontja: (vágási körfrekvencia, [math]\omega_c[/math]): ezt a meredekség és az átviteli függvény szorzókonstansa (K) határozzák meg: ha a görbe meredeksége 0dB/dekád akkor nem metszi az x tengelyt (mert vízszintesen halad), ha -20dB/dekád, akkor K-nál metszi, ha -40dB/dekád, akkor [math]\sqrt{K}[/math]-nál. Az egyes fel/letörések miatt úgy lehet nyomon követni, hol lesz a metszés helye, hogy megnézzük az integrátorokat/a kezdő meredekséget: ha K-ig nem változik a görbe meredeksége, akkor a meredekségnek megfelelően metszi (pl: egyszeres integrátor, K=5, ekkor -20dB/dekádos meredekséggel megy át az x tengelyen 5-nél), ha előtte megváltozik, akkor annak megfelelően (pl: kétszeres integrátor, K=16, 2-nél feltörik, ekkor 2-ig -40dB/dekád a meredekség, a tengelyt [math]\sqrt{16}[/math]-nál metszené, de a feltörés miatt 2 után -20dB/dekáddal metszi az x tengelyt 16-nál.). A fenti példában K=2, egyszeres integrátor, -1-nél letörés van, ezért -40dB/dekád meredekséggel a [math]\sqrt{2}[/math] pontban metszi.

6. Amplitúdó-körfrekvencia görbe felrajzolása:

1. Amplitúdó-körfrekvencia görbe felrajzolása: (Lásd: könyv 88. old.) Itt az eddigieket kell összegyúrni eggyé, előbb bejelölöd a pontokat, ahol történik valami, majd utána rajzolod meg a görbét, az y tengelyen [math]|L(j\omega|[/math], az x tengelyen [math]\omega[/math] értékével.
   
   Hiba a bélyegkép létrehozásakor: Nem lehet a bélyegképet a célhelyre menteni

7. Fázisgörbe értéke:

1. Fázisgörbe értéke: (ez a másik görbe, a [math]\varphi[/math]-s, rendes nevén: fázis-körfrekvencia görbe) a görbéhez képzeljünk el sávokat, ahol 90° a lépték az egyes értékek közt. A fenti fel/letöréseknek megfelelően változik, ha feltörik, akkor az érték nő 90°-al, ha letörik, akkor csökken 90°-al. Viszont ez nem egyik pillanatról a másikba megy végbe, hanem "átmenetszerűen", rajzban ez azt jelenti, hogy fel/letörésnél már félúton van az új állapot felé.
   
   Hiba a bélyegkép létrehozásakor: Nem lehet a bélyegképet a célhelyre menteni

8. Fázisgörbe kezdőértéke:

1. Fázisgörbe kezdőértéke: ez az integrátorok, és az átviteli függvény szorzókonstansán múlik:
   1. a konstans ha pozitív, akkor 0° a kezdőérték, ha negatív, akkor -180°
   2. az integrátor(ok) miatt 0-ban -90°-al jobban változik (-180°-al, ha kétszeres)
   3. ha a számlálóban volt egy szimpla s tag, akkor az 90°-al növeli.
   4. Pl: konstans negatív, egyszeres integrátor: -180°+(-90°)=-270°, konstans pozitív, számlálóban egy szimpla s: 0°+90°=90°. A fenti példában konstans pozitív, egyszeres integrátor: 0°-90°=-90°.

9. Fázistöbblet meghatározása:

1. Fázistöbblet meghatározása: (Lásd: könyv 190-191. old) fázistöbblet fázis-körfrekvencia görbe értékének különbsége -180°-tól a vágási körfrekvenciánál. Azaz ahol a dB-es görbe metszi az x tengelyt, ott megnézed a [math]\varphi[/math]-s görbe értéke mennyire tér el a -180°-os vonaltól. Ezt a meredekség határozza meg mekkora lesz: ha -20dB/dekáddal metszi az x tengelyt: a fázistöbblet biztosan pozitív (Lásd: könyv 191.old, 5.35 ábra), ha -40dB/dekáddal metszi: a fázistöbbletet nem lehet meghatározni biztosan, olyat rajzolsz, mint az 5.36-os ábrán, ha -60dB/dekáddal metszi: a fázistöbblet biztosan negatív, ekkor a 180°-os vonal alatt megy el. A fenti példában -40dB/dekád meredekséggel a [math]\sqrt{2}[/math] pontban metszi az x tengelyt a dB-es függvény, ezért a fázistöbbletet nem tudjuk meghatározni biztosan, a stabilitás határhelyzetében van.

10. Fázis-körfrekvencia görbe felrajzolása:

1. Fázis-körfrekvencia görbe felrajzolása:
   
   Hiba a bélyegkép létrehozásakor: Nem lehet a bélyegképet a célhelyre menteni

11. A rendszer stabilitásvizsgálata:

1. Stabilis-e a rendszer: vagy azt nézed, hogy a fázistöbblet pozitív-e, vagy azt, hogy a jobboldali számsíkon van-e pólus: ha nincs, akkor stabilis.

12. Statikus hiba:

1. Statikus hiba: megnézed az integrátorok számát, az adja a típusszámot, és azt a sort írod le a táblázatból (Lásd: könyv 140. oldal).

Típusszám	0	1	2
egységugrás	[math]\frac{1}{1+K}[/math]	0	0
sebességugrás	[math]\infty[/math]	[math]\frac{1}{K}[/math]	0
gyorsulásugrás	[math]\infty[/math]	[math]\infty[/math]	[math]\frac{1}{K}[/math]

• 0 jelentése: hiba nélkül követi
  
• [math]\infty[/math] jelentése: nem tudja követni