Antennák és hullámterjedés - 09. előadás - 2006

Ez az oldal a korábbi SCH wiki-ről lett áthozva. Az eredeti változata itt érhető el.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor kérlek javíts rajta egy rövid szerkesztéssel.

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót

Apertúra távoli (sugárzó) tere

Vezessünk be egy fogalmat, az elemi pici felületet: ő a Huygens-felület. Koordinátarendszerbe téve az x-y síkban helyzekdjen el, a felületén legyen egy _P_ pont, ami az origótól | r' || távolságban van ( r' legyen tehát egy origóból _P_ pontba mutató vektor), a rajta lévő elektromágneses tér bennevan a síkjában (hisz a kicsi síkhullám z-irányban halad). A felületen kívül, valahol a térben legyen egy _Q_ pont, amire a z *r* vektor mutat. A P és Q pont távolsága tehát || *r* - r' . Egyszerűsítsük tovább az életünket, tudván, hogy az E-tér, a H-tér és a haladási irány egymásra merőlegesek, a haladási irány z-irányú, az E-térnek legyen csak E_x, a H-térnek csak H_y irányú komponense. Tudjuk, hogy az E és H mennyiségek között egy impedancia jellegű tag van, ennek értéke [math] ~120 \pi [/math] : azért csak közelítőleg, mert [math] \mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7} [/math], [math] \varepsilon = 1/(c^2\cdot \mu_0) [/math], de _c_ nem pontosan [math] 3\cdot 10^8 [/math], az csak közelítő érték. Ha pontosan annyi lenne, akkor a fenti kifejezésekből kijönne a [math] Z=120\pi [/math] .

Térjünk át polárkoordinátás tárgyalásra, ekkor már lesz az elektromos térnek </math> \varphi </math> és [math] \vartheta [/math] irányú komponense is, természetesen _r_ irányú komponense nem lesz:

[math] \begin{displaymath} d\,E_\varphi = E_x \frac{d\,A}{\lambda} \frac{e^{-j\beta r}}{r} \frac{1+ \cos(\vartheta)}{2} \cdot \cos(\vartheta) \end{displaymath} \begin{displaymath} d\,E_\vartheta = E_x \frac{d\,A}{\lambda} \frac{e^{-j\beta r}}{r} \frac{1+ \cos(\vartheta)}{2} \cdot \sin(\vartheta) \end{displaymath} \begin{displaymath} d\,E_r = 0 \end{displaymath} [/math]

A fentiekből látható, hogy

[math] \begin{displaymath} |E| = E_x \frac{d\,A}{\lambda} \frac{e^{-j\beta r}}{r} \frac{1+ \cos(\vartheta)}{2}, \end{displaymath} [/math] vagyis csak [math] \vartheta [/math] -tól függ!

Ennek a karakterisztikája egy kardioid: hátrasugárzása elhanyagolható, viszont [math] \pm 30^\circ [/math] -os szögben (kúpban) ~1.

[math] \begin{displaymath} d\,E = E_x \frac{d\, A}{\lambda} \frac{e^{-j\beta |r-r'|}}{|r-r'|}, \end{displaymath} [/math] a teljes tér pedig ennek integráltja: [math] \begin{displaymath} d\,E = \frac{1}{\lambda} \iint\limits_{A'} E(r') \cdot \frac{e^{-j\beta |r-r'|}}{|r-r'|}\ d\,A' \approx E(r) \frac{1}{\lambda r} \cdot \iint_{A'} E(r') \cdot e^{-j\beta |r-r'|} \ d\,A' \end{displaymath} [/math] fősugárzásban, ahol A az apertúra felülete, r egy futó paraméter az apertúra felületén, E(r') tehát az apertúra felületén lévő térerősség. A fenti képlettel a probléma, hogy ez utóbbit nem ismerjük.

Optikából átvett fogalmak:

• Fraunhofer-zóna: távoli tér
• Fresnel-zóna: közeli tér

A %REFLATEX{eqn:elektromos_ter_aperturan_teljes}% képlet csak a Fraunhofer zónában írja le a teret megfelelően, a Fresnel zónában az interferenciák miatt "rücskös" a tér, a Fraunhofer-zónában viszont már megfelelően "sima". A közelítés tehát csak akkor jó, ha [math] \Delta R \leq \frac{\lambda}{16} \rightarrow R_{min} = 2 \frac{D^2}{\lambda}[/math]. D=4m és lambda = 4cm (mikrohullám) esetén R_min = 800m !!!

Amplitudó- és fáziseloszlás

Ez igazából csak egy képlet: [math] \begin{displaymath} E(r') = \underbrace{E_0}_{[\frac{V}{m}]} \cdot \underbrace{f(r')}_{ampl. eloszlas} \cdot e^{j \overbrace{\Phi(r')}^{faziseloszlas}} = E_0 \cdot f(r') \cdot e^{j \Phi(r')} \end{displaymath} [/math]

Ideális apertúra esetén [math] f(r')\equiv 1 [/math] és [math] \Phi (r') \equiv 0 [/math].

Négyszögletű apertúra

[math] \begin{displaymath} r' = x\cdot e_x + y\cdot e_y, \end{displaymath} [/math] mivel az apertúra csak az x-y síkban helyezkedik el. Polárkoordinátás tárgyalásra áttérve [math] \begin{displaymath} e_r = \sin (\vartheta) \cdot \cos(\varphi) \cdot e_x + \sin (\vartheta) \cdot \sin(\varphi) \cdot e_y + \cos(\vartheta) \cdot e_z \end{displaymath} [/math]

Ezekkel felírva az elektromos teret

[math] \begin{displaymath} E(r) = \frac{E_0 e^{-j\beta r}}{r\cdot \lambda} \cdot \int f(x', y') \cdot e^{j \Phi(x',y')}\cdot e^{j\beta (x'\cdot \sin(\vartheta)\cos(\varphi))}\ d\,A. \end{displaymath} [/math] Az amplitudó és a fáziseloszlás-függvény viszont sok esetben szeparálható, ez a szeparáció így néz ki: [math] \begin{displaymath} f(x',y') = f_x (x') \cdot f_y (y') \end{displaymath} \begin{displaymath} \Phi (x',y') = \Phi_x (x')+\Phi_y (y') \end{displaymath} [/math] Ezek segítségével felírható az áram mint [math] \begin{displaymath} I_x = \int\limits_{-a/2}^{+a/2} f_x(x') \cdot e^{j\big[ \Phi_x(x')+x'\beta \cdot \sin(\vartheta)\cos(\varphi) \big]}\ d\,x' \end{displaymath} \begin{displaymath} I_y = \int\limits_{-b/2}^{+b/2} f_y(y') \cdot e^{j\big[ \Phi_y(y')+y'\beta \cdot \sin(\vartheta)\sin(\varphi) \big]}\ d\,y' \end{displaymath} [/math] ahol [math] a [/math] és [math] b [/math] a négszögletű apertúra két oldalának hossza. Az x-y síkban valamiért [math] \varphi=0 [/math], ezért [math] \begin{displaymath} I_y = \int\limits_{-b/2}^{+b/2} f_y(y') \cdot e^{j\Phi_y(y')}\ d\,y' = const. \end{displaymath} [/math] tehát y'-től nem függ az áram az integrálás miatt. Az x-y irányok nincsenek kitüntetve, tehát felcserélhetők -- ebből következik, hogy az iránykarakterisztika csak [math] \vartheta [/math] -tól függ.

[math] \begin{displaymath} F(\vartheta_x) = \frac{\sin(u)}{u} \qquad u = \pi \frac{a}{\lambda} \sin{\vartheta_x} \end{displaymath} \begin{displaymath} F(\vartheta_y) = \frac{\sin(v)}{v} \qquad v = \pi \frac{b}{\lambda} \sin{\vartheta_y} \end{displaymath} [/math] A karakterisztikákat lerajzolva szép karakterisztikákat kaptunk. A melléknyaláb elnyomása ~13dB paraméterektől függetlenül. Kb. úgy néz ki a dolog, mint egy négyszögjel Fourier-trafója. Ha viszont háromszögjel Fourier trafóját néznénk (a hullám tehát az apertúra közepe felé lineárisan sűrűsödne), akkor [math] \sin(x)/x^2 [/math] alakú függvényt kapnánk, amivel a melléknyaláb elnyomás is sokkal kedvezőbb lenne. Közelítgetésekkel megkapjuk, hogy [math] \Theta_{3dB} \approx 0.886 \lambda/a = 51^{\circ} \lambda/a [/math].

-- Visko - 2006.03.23.