Antennák és hullámterjedés - 07. előadás - 2006
Ez az oldal a korábbi SCH wiki-ről lett áthozva. Az eredeti változata itt érhető el.
Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor kérlek javíts rajta egy rövid szerkesztéssel.
Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót
Keretantennák
Képzeljünk el egy kis körvonalszerű antennát az xy síkban, aminek sugara _a_ (_r_ -rel az állóhullámarányt jelöljük), és legyen a térben egy tetszőleges P(r) pont. Az áram időfüggvénye legyen a szokásos [math]\begin{displaymath} I(t) = I_0 \sin(\omega t). \end{displaymath} [/math] Az *A* vektorpotenciál meghatározása ezek után a vektoriális [math]\begin{displaymath} \Delta A = -\mu J \end{displaymath} [/math] Poisson-egyenlet megoldásával kapható meg, melynek megoldása [math]\begin{displaymath} A = \frac{\mu}{4\pi}\int\limits_V J \,dV, \end{displaymath} [/math] ahol V jelöli azt a térfogatot, ahol az áram folyik. Kezdünk elfogyni az _A_ betűkből, úgyhogy indexeljünk: [math]\begin{displaymath} A_{keresztmetszet} \cdot dl = dV. \end{displaymath} [/math] Ezáltal az áramsűrűségből áramot varázsolhatunk [math]\begin{displaymath} A = \frac{\mu}{4\pi}\int\limits_L\int\limits_A J \,dA\,dl = \frac{\mu}{4\pi}\int\limits_L I_0\,dl \end{displaymath} [/math] Térjünk át polárkoordinátákra, a vektorpotenciál kifejezésében ekkor nem lesz radiális és [math] \vartheta [/math] irányú komponense, vagyis [math] A = (A_r = 0 ; A_\vartheta = 0 ; A_\varphi) [/math] , vagyis csak egy komponenssel kell foglalkozni. A fenti %REFLATEX{eqn:vektorpotencial2}% polárkoordinátás megoldása vákuumban
[math]\begin{displaymath} dA_\varphi = \frac{\mu_0}{4\pi} I_0 \underbrace{a\,d\varphi'}_{dl} \cos(\varphi-\varphi') \frac{e^{-j\beta|r-r'|}}{|r-r'|}, \end{displaymath} [/math] ahol [math] |r-r'| = r-a\sin(\vartheta)\cos(\varphi-\varphi') [/math], a kifejezés félkörre (miért épp erre?) kiintegrálva (0-tól pi-ig)
[math]\begin{displaymath} A_\varphi = \int\limits_0^\pi \frac{\mu_0}{4\pi} I_0 a \frac{e^{-j\beta r}}{r} \cos(\varphi-\varphi') \left[ e^{-j\,u\cdot \cos(\varphi-\varphi')}-e^{ju}\right]\,d\varphi', \end{displaymath} [/math] ahol [math] u = \beta a\sin(\vartheta) [/math]. A fenti kifejezésben van egy elég bonyolultnak kinéző integrál, amelynek általános normalizált alakja [math]\begin{displaymath} J_n(u) = \frac{(-j)^n}{\pi} \int\limits_0^\pi e^{j\,u\cos(\varphi)}\cdot \cos(n\varphi) \,d\varphi, \end{displaymath} [/math] neve pedig Bessel-függvények. Ez az a függvénycsalád, amelyek ugyan nem tartoznak az elemi függvényekhez, mégis szinte mindent tudunk róluk, amit csak lehet (amit például egy trigonometrikus függvényről tudunk):
- korlátosak
- párosak vagy páratlanok, _n_ -től függően.
- ismert hatványsoruk is
- differenciálegyenletükkel (a Bessel-függvények ezen diffegyenlet megoldásai) is leírhatók:
[math]\begin{displaymath} x^2\frac{d^2f}{dx^2} + x\frac{df}{dx} + (x^2-n^2)f= 0. \end{displaymath} [/math]
- leírhatók szép rekurzív formulákkal:
[math]\begin{displaymath} Z_{n+1} + Z_{n-1} = \frac{2n}{x} Z_n \end{displaymath} \begin{displaymath} Z_{n+1} - Z_{n-1} = -2\frac{d\, Z_n}{d\,x} \end{displaymath} [/math]
- nem periodikusak
A differenciálegyenletnek megoldásait két osztályba sorolják, az egyiket első fajtájú Bessel függvényeknek, a másikat másod fajtájú Bessel függvényeknek nevezik. Létezik még egy harmadik osztály is, de ez igazából az első kettőnek a kombinációja, ezek a harmad fajtájú Bessel függvények .
Numerikus számításokhoz ezen függvényeket nem integrálják ki, hanem egyik közelítő polinomjukat, Csebisev-polinomot használnak erre. Használhatnának Taylor-polinomot is, de az csak az adott pont körül írják le a függvényt jól közelítően, ettől távolodva a közelítés meglehetősen pontatlan lesz. A Csebisev-polinom ezzel szemben egy intervallumon írja le a függvényt, ezen intervallumokon belül a hiba mindig ugyanolyan ingadozású. Számítógépeken ezen polinomok együtthatóit tárolják el (általában 9-edfokú polinomokat használnak). A Bessel-függvényeknek pólusai csak a végtelenben vannak, akárcsak például a szinusz esetében. Bessel függvényeket használva az %REFLATEX{eqn:vektorpotencial4}% egyenlet megoldáshoz
[math]\begin{displaymath} A_\varphi = -j \frac{\mu_0 a \cdot I_0}{2} \underbrace{\cdot J_1(u)}_{elsofoku Bessel-fuggveny} \frac{e^{j\beta r}}{r}. \end{displaymath} [/math] Felhasználva, hogy [math] E = -j\omega A [/math], E-nek is csak [math] \varphi [/math] irányú komponense lesz, ez pedig [math]\begin{displaymath} E_\varphi = \frac{\omega \mu_0 a\, I_0}{2} J_1(u) \frac{e^{-j\beta r}}{r}, \end{displaymath} [/math] feltéve, hogy elég messze vagyunk az antennától, ekkor viszont tetszőleges _a_ sugárra.
Legyen az antenna nagyon pici (a hullámhosszhoz képest), vagyis [math] a \lt \lt \lambda; \ u \lt \lt 1 [/math] , felhasználva az elsőfokú Bessel-függvényt (közelítő formula) [math] J_1(u) = u/2 [/math] [math]\begin{displaymath} E_\varphi = \left(\frac{\pi a}{\lambda}\right)^2 \eta_0 I_0 \frac{e^{-j\beta r}}{r}\cdot \sin(\vartheta). \end{displaymath} [/math] Tehát olyan elektromos tere van, mint a Hertz-dipól mágneses tere, és olyan mágneses tere van, mint a Hertz-dipól elektromos tere. Távoli térre (és csak arra) tehát az elemi keretantenna és a Hertz-dipól egymás *duálisai*!
Létezik mágneses skalárpotenciál is, bár ez elsőre kicsit furcsa, mert a mágneses tér örvényes, és skalárpotenciált csak örvénymentes térben tudunk definiálni. Viszont vegyünk egy olyan felületet, ami rásimul erre a keretantennára (mintha vákuumfóliába csomagolnák), és ezen felületen kívül nézzük meg a létrejött mágneses teret. Lesz a mágneses erővonalaknak egy kis szakadásuk emiatt, ahol kis ugrása lesz a dolognak, ez emlékeztet az elektromos kettősrétegre (két síkkondenzátor egymáshoz nagyon közel, és távolról vizsgáljuk az elektromos teret - a síkkondenzátorok között van egy kis ugrás, azon kívül...).
A keretantenna sugárzási ellenállása [math]\begin{displaymath} R_s = 20\pi^2 (\beta a)^4 \end{displaymath} [/math] Hát ez a negyedik hatvány kicsit erős, ez azt jelenti, hogy ugyanolyan méretek mellett a kicsi keretantenna sugárzási ellenállása jóval kisebb, mint az elemi elektromos dipólnak (a Hertz-dipólnak). A keretantenna E/H aránya kicsi, a Hertz-dipólé nagy. MIvel lehet a sugárzási ellenállást növelni? Ha tekercseljük az antennát (Rs ~ n2) A másik módszer, ha a hurok között nem vákuumot (levegőt), hanem valami ferritanyagot pakolunk ( [math] \mu_0 \rightarrow \mu [/math] ). Így keletkezik a ferritantenna, a ferritre tekercselnek rézdrótot, ezzel jó irányhatást is lehet elérni.
Lineáris antennák kölcsönös impedanciája
Legyen két antenna egymástól _d_ távolságra, az egyik hossza legyen l1, árama I1 a másik hossza l2, árama I2. Mindkettő mágneses hossza ( [math] l/\lambda = 0,25 [/math] ), vagyis félhullámú dipólok legyenek. Ez a struktúra kétkapu (mégpedig reciprok, ahogy korábban beláttuk), mivel energiaáramlás van a kapu egyik oldaláról a másik oldalára. Írjuk fel az üzemi feszültségeket:
[math]\begin{displaymath} U_1 = Z_{11}I_1 + Z_{12}I_2 \end{displaymath} \begin{displaymath} U_2 = Z_{21}I_1 + Z_{22}I_2 \end{displaymath} [/math]
Legyen I2=0, így
[math]\begin{displaymath} Z_{11} = \frac{U_1}{I_1} = Z_{1be} \end{displaymath} [/math] Általában viszont [math]\begin{displaymath} Z_{1be} = \frac{U_1}{I_1} = Z_{11}+\frac{I_2}{I_1}Z_{12}. \end{displaymath} [/math] Az üzemi feszültség [math]\begin{displaymath} U_u = \frac{2}{I_{1be}} \int\limits_0^l E_{Z2}(z) I_1(z)\,dz \end{displaymath} [/math] ugyanolyan gondolatmenettel, mint a hatásos hossz esetében.
[math]\begin{displaymath} Z_{12} = \frac{U_u}{I_2} = \frac{-2}{I_{1be}I_{2be}} \int\limits_0^l E_{Z2}(z) I_1(z)\,dz, \end{displaymath} [/math] a mínusz előjel a mérőirányok miatt jött be. Az EZ2 levezetése korábban már megvolt, annak eredményeként
[math]\begin{displaymath} Z_{12} = \frac{j60}{\sin(\beta l_1)\sin(\beta l_2)} \int\limits_0^l \left( \frac{e^{-j\beta R_1}}{R_1} + \frac{e^{-j\beta R_2}}{R_2} -2\cos(\beta l) \frac{e^{-j\beta r}}{r} \right) \sin(\beta(l-|z|)) \,dz \end{displaymath} [/math] A kölcsönös impedanciáknak láthattuk karakterisztikáit (Descartes és polár koordinátás alakban is).
-- Visko - 2006.03.11.
