Antennák és hullámterjedés - 02. előadás - 2006

Ez az oldal a korábbi SCH wiki-ről lett áthozva. Az eredeti változata itt érhető el.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor kérlek javíts rajta egy rövid szerkesztéssel.

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót

Hullámterjedés

Az egyszerűség kedvéért az időfüggést nem írjuk ki, alapértelmezettnek vesszük, hogy az [math] e^{j\omega t} [/math] alakú.

Jelöljük az elektromos teret E(r) alakban, ahol ez a függvény egy vektorváltozós komplex-vektor értékű függvény. Argumentuma tehát egy helyvektor, melynek koordinátái valósak, de a függvény [math] E_x, E_y, E_z [/math] koordinátái már komplex mennyiségek. Az E(r) függvény komplex csúcsértéket reprezentál (ellentétben a háréval, ott általában komplex effektív értékekkel számoltunk).

Az E(r) függvényt az alábbi alakokban szokás megadni:

[math] \begin{displaymath} \mathbf E (\mathbf r) = E_{\vartheta} \cdot \overline{e_\vartheta} + E_{\varphi} \cdot \overline{e_\varphi} = E_0 (\mathbf r) \cdot \mathbf p (\mathbf r). \end{displaymath} [/math]

Ahol

• [math] \overline{e_\vartheta} [/math] és [math] \overline{e_\varphi} [/math] a polárkoordináta rendszer egységvektorai,
• [math] E_{\vartheta} [/math] és [math] E_{\varphi} [/math] a komplex csúcsértékek,
• [math] E_0 = \sqrt{E\cdot E^*} [/math] és [math] \mathbf p = p_\vartheta \cdot \overline{e_\vartheta} + p_\varphi \cdot \overline{e_\varphi} [/math] és [math] |\mathbf p|=1 [/math], tehát egységvektor, a polarizáció vektora,
• [math] p_\vartheta = \displaystyle{\frac{E_{\vartheta}}{E_0}} [/math] és [math] p_\varphi = \displaystyle{\frac{E_{\varphi}}{E_0}} [/math], így [math] |\mathbf p|^2 = \mathbf p \cdot \mathbf p^* = 1 [/math],
• [math] \mathbf p = p_n \cdot \overline{e_n} + p_x \cdot \overline{e_x} [/math], ahol [math] p_n [/math] a főpolarizációs, [math] p_x [/math] pedig a keresztpolarizációs komponens.

A sugárirányú komponenst azért nem írtuk fel, mert csak a távoli térbeli komponensek érdekelnek, ott pedig azok nincsenek (az elektromos tér orthogonális a mágneses térre, és ez a kettő orthogonális a terjedési irányra).

A parabolaantennáknál a polarizációs sík "megcsúszik", a primer antennában polarizációs veszteségként (a keresztpolarizáció miatt) jelentkezik.

Mi hozza létre az elektromágneses teret? A gyorsuló töltés! Például egy egyenletes sebességgel körpályán mozgó elektron is létrehoz EM-teret, mivel van sugárirányú gyorsulása. Emiatt a ciklotron (részecskegyorsító) használata korlátokba ütközik, mivel a részecskét szakaszonként gyorsítják, és amikor nagyon felgyorsítják, akkor ugyanannyi energiát sugároz ki, mint amit a gyorsítótól kap, tehát eredőben nem tudják növelni a sebességét. Ekkor használnak lineáris gyorsítókat, amihez viszont nagyon hosszú földterület kell (a Stanford egyetemnek van ilyenje).

Az antenna térerősségének *r* -től való függése:

[math] \begin{displaymath} \frac{e^{-j\beta r}}{r} \end{displaymath} [/math]

Az időbeli leírás pedig [math] e^{j\omega t} [/math]-vel szorozva

[math] \begin{displaymath} \frac{e^{-j\beta r}\cdot e^{j\omega t}}{r} = \frac{e^{j(\omega t -\beta r)}}{r} = \frac{e^{j\omega(t -\frac{\beta}{\omega} r)}}{r} \end{displaymath} [/math]

Mi ennek a jelentése? Bármilyen [math] f(t\mp r/v) [/math] alakú függvény egy _v_ sebességgel haladó hullámot ír le [math] -r/v [/math] esetén pozitív irányba, [math] +r/v [/math] esetén pedig negatív irányba a választott koordináta-rendszerhez viszonyítva. Tehát %REFLATEX{eqn:antenna_tererossege_idovel}% egy pozitív irányba haladó hullámot ír le, vegyük észre, hogy [math] v = \frac{\omega}{\beta} [/math]. Egy antennánál az a természetes, hogy kifele sugároz, de nagyon nehézkesen és trükkösen meg lehet oldani, hogy befele sugározzon.

A haladó hullámot leírhatjuk szeparált alakban: [math] \begin{displaymath} \mathbf E(\mathbf r, \vartheta, \varphi) = \frac{e^{-j\beta r}}{r} \cdot U_0 (\vartheta, \varphi) \cdot \mathbf p (\vartheta, \varphi) \ \left[\frac{1}{m}\right] \cdot [V] = \left[\frac{V}{m}\right], \end{displaymath} [/math] ahol [math] \beta = \displaystyle{\frac{\omega}{c}} = \displaystyle{\frac{2\pi}{\lambda}} = k[/math], _k_ -t szabadtéri fázistényezőnek hívják.

%REFLATEX{eqn:halado_hullam}% alapján felírhatjuk a kisugárzott teljesítmény sűrűséget is [math] \begin{displaymath} S = \frac{1}{2} \mathbf E \times \mathbf H^* = \frac{|U_0(\vartheta, \varphi)|^2}{240\pi R^2} \left[\frac{W}{m^2}\right] \end{displaymath} [/math]

Az egyfrekvenciás sugárzást az optikából átvéve monokromatikus sugárzásnak nevezzük.

Iránykarakterisztikák

Az iránykarakterisztikákat a normált kisugárzott teljesítmények alapján adják meg. A normálást egyszerűen úgy lehet megcsinálni, hogy a kisugárzott teljesíténysűrűséget elosztjuk a maximális kisugárzott teljesítménysűrűséggel:

[math] \begin{displaymath} S_{max}(r) = \frac{|U_0(\vartheta, \varphi)|^2\Big|_{max}}{240\pi R^2}, \end{displaymath} [/math] valamint [math] \begin{displaymath} P(\vartheta, \varphi) = \frac{S(r,\vartheta, \varphi)}{S_{max}(r)}. \end{displaymath} [/math] Sokszor nem a fenti képletet használják, hanem egy térerősség-intenzitás (amplitudó) iránykarakterisztikát definálnak, [math] \begin{displaymath} F(\vartheta, \varphi) = \sqrt{P(\vartheta, \varphi)}. \end{displaymath} [/math]

Ezalapján felírhatjuk, hogy [math] \begin{displaymath} \mathbf E(\mathbf r, \vartheta, \varphi) = U_{max}\cdot \frac{e^{-j\beta r}}{r} \cdot F(\vartheta, \varphi)\cdot \mathbf p (\vartheta, \varphi) \ \left[\frac{1}{m}\right] \cdot [V] = \left[\frac{V}{m}\right], \end{displaymath} \begin{displaymath} U^2_{max} = S_{max}\cdot 240 \pi r^2 \end{displaymath} [/math]

Karakterisztikák ábrázolása

Ide ábrákat kéne tenni, de nincs szkennerem. Az előadáson volt 4 különböző felírási mód:

• síkra terített -180° és 180° között (a képen egy dipol antenna karakterisztikája)

• térbeli projekciós síkra vetítve
• térbeli projekciós két metszete - az E és H terekkel (a képen egy omni antenna ilyen karakterisztikája)

• [math] F(\vartheta) [/math] ábrázolása, ezen definiálják a nyalábszélességet, az *x* tengely mentén [math] \vartheta [/math] általában lineáris, az *y* tengely mentén viszont F-et néha logaritmikus skálán (dB) ábrázolják, ekkor a sugárzás 0 helyének ábrázolása problémás

nyalábszélesség: az a [math] \vartheta [/math] szögtartomány, amelyen belül F egy adott dB érték fölött van - ez általában 3dB, néha 10dB.

tűnyaláb: olyan karakterisztikájú antenna sugároz tűnyalábban, amelynek nyalábszélessége nagyon keskeny (erősen irányított antenna)

izotróp antenna: matematikai modell, fizikailag kivitelezhetetlen (elviekben is!), mivel gyorsuló töltést kell létrehozni, de oszcilláltatni nem tudunk, kell forrás és nyelő (dipól). Az izotróp antenna lehetőségét a folytonossági egyenlet is elveti. Elvi dipólantenna a Herz-dipól, ez hengerdipól, tehát körsugárzó ([math] F(\vartheta) = \sin (\vartheta) [/math]). Ilyesmi karakterisztikájuk van az egyenes antennáknak is, ezeket műsorszórásra használják.

Még egy fajta antennatípus a koszekáns vagy hódfarok antenna, amelyet radarlokációs célokkal használnak (lapos, széles, jó a letapogatáshoz).

Ismétlés (órán kívül)

Az alábbi rész nem volt órán, csak utalások voltak. Konkrétan a közeli és távoli térről lesz szó.

Az tér meghatározása a gerjesztésekből inhomogén hullámegyenletből származtathatók: [math] \begin{displaymath} \Delta \mathbf A - \varepsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} = - \mu \mathbf J \end{displaymath} [/math] a vektorpotenciálra. A skalárpotenciálra vonatkozó differenciálegyenlet pedig [math] \begin{displaymath} \Delta \varphi - \varepsilon \mu \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} = - \frac{1}{\varepsilon} \rho, \end{displaymath} [/math] feltételezve végig, hogy [math] \mu, \rho, \varepsilon [/math] állandók (legalább térrészenként). Ha az időbeli változás kicsi, akkor az idő szerinti második deriváltakat elhanyagolhatjuk, és visszakapjuk a vektoriális és skaláris Poisson-egyenleteket: [math] \begin{displaymath} \Delta \mathbf A = - \mu \mathbf J \end{displaymath} [/math] [math] \begin{displaymath} \Delta \varphi = - \frac{\rho}{\varepsilon}, \end{displaymath} [/math]

Retardált potenciálok

Igazából a végeredménynek van szemléletes jelentése, ezek pedig

[math] \begin{displaymath} \varphi (\mathbf r,t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon} \int\limits_{V}\frac{1}{R} \cdot \rho(\mathbf r', t-\frac{R}{v}) dV' \end{displaymath} \begin{displaymath} \mathbf A (\mathbf r,t) = \frac{1}{4\pi} \int\limits_{V}\frac{1}{R} \cdot \mathbf J(\mathbf r', t-\frac{R}{v}) dV', \end{displaymath}[/math] ahol [math] R = |r'-r| [/math] és [math] v = \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}}} = \displaystyle{\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}}} [/math]. Tanulságként levonhatjuk, hogy az áram _t_ időpillanatbeli értékéből csak a vezető kis környezetében kapunk helyes potenciál értékeket, egyébként a potenciálok _t_ pillanatbeli értékét a vezetőn folyt áram t-R/v időpillanatbeli, tehát R/v -vel korábbi értéke határozza meg.

Általánosított Biot-Savart törvény

A retardált potenciálokból azt várnánk, hogy a *H* mágneses tér hasonló formájú lesz (legalábbis egyenletekben kifejezve), mint az *A* vektorpotenciál, de ekkor tévednénk. A helyzet tehát a következő: keressük az áramjárta vezetőtől R távolságra lévő pont mágneses terét. A levezetés eredményei: [math] \begin{displaymath} H (\mathbf r,t) = \frac{1}{4\pi} \int\limits_{l}\frac{\mathrm d \mathbf l' \times \mathbf R^0}{R^2} \cdot I(\mathbf r', t-\frac{R}{v}) + \frac{1}{4\pi v} \int\limits_{l}\frac{\mathrm d \mathbf l' \times \mathbf R^0}{R^2} \cdot \frac{\partial I(\mathbf r', t-\frac{R}{v})}{\partial t}, \end{displaymath} [/math] ahol [math] \mathbf R^0 = \displaystyle{\frac{\mathbf{r'-r}}{|\mathbf{r'-r}|}} [/math]. A kifejezés első tagja a várt eredményt hozza, viszont a második tagja új! Az első tag az árammal arányos, viszont [math] 1/R^2 [/math]-tel csökken (közeli tér), a második tag viszont [math] 1/R [/math]-rel (távoli tér), tehát kevésbé meredeken csökken, viszont az áram idő szerinti deriváltjától, tehát a töltések második deriváltjával (gyorsulásával) arányos.

Hertz-dipólus

A Biot-Savart törvényből megkapjuk, hogy a rövid, l hosszúságú antenna mágneses tere

[math] \begin{displaymath} H(r,t) = \mathrm{Re} \Big\{ \frac{1}{4\pi} I_m e^{j(\omega t-R/v)} \frac{l \times R^0}{R^2} + \frac{1}{4\pi v} I_m j\omega e^{j(\omega t-R/v)} \frac{l \times R^0}{R^2} \Big\} , \end{displaymath} [/math] vagyis a mágneses térerősségnek csak [math] \varphi [/math] irányú rendezője van [math] l \times R^0 = l \sin(\vartheta) [/math] miatt. Mivel forgásszimmetrikus lesz a tér, a [math] \varphi [/math] irányú rendező viszont független lesz [math] \varphi [/math] -től. [math] \begin{displaymath} H_R (R,\vartheta) = 0 \end{displaymath} \begin{displaymath} H_\vartheta (R,\vartheta) = 0 \end{displaymath} \begin{displaymath} H_\varphi (R,\vartheta) = \frac{l}{4\pi} I_m \left[ \frac{1}{R^2} + \frac{j\omega}{vR} \right] \sin(\vartheta) e^{-j\omega R/v} , \end{displaymath} [/math] valamint [math] \mathrm{rot} H = j\omega \varepsilon E [/math] -ből számítva

[math] \begin{displaymath} E_R (R,\vartheta) = \frac{l}{4\pi\varepsilon} I_m \left[ \frac{2}{j\omega R^3} + \frac{2}{vR^2} \right] \cos(\vartheta) e^{-j\omega R/v} \end{displaymath} \begin{displaymath} E_\vartheta (R,\vartheta) = \frac{l}{4\pi\varepsilon} I_m \left[ \frac{1}{j R^3} + \frac{1}{vR^2} + \frac{j\omega}{v^2R} \right] \sin(\vartheta) e^{-j\omega R/v} \end{displaymath} \begin{displaymath} E_\varphi (R,\vartheta) = 0 , \end{displaymath} [/math]

%REFLATEX{eqn:Hertz_dipol_H}% és %REFLATEX{eqn:Hertz_dipol_E}% egyenletekből látható, hogy az elektromos és a mágneses tér egymásra merőleges. A [math] H_{\varphi} [/math] és [math] E_{\vartheta} [/math] komponensek tartalmaznak távoli összetevőt ([math] 1/R [/math] szerint gyengül), mindegyik összetevő tartalmaz közeli összetevőt ([math] 1/R^2 [/math] szerint gyengül), [math] E_R [/math] és [math] E_\vartheta [/math] tartalmaz még közelebbi ([math] 1/R^3 [/math] szerint gyengülő) össztevőt is.

A sugárzott teljesítménnyel kapcsolatban az [math] S = 1/2 E \times H^* [/math] komplex Poynting vektorról a következők állapíthatók meg:

• távoli térre *E* és *H* fázisban vannak, szorzatuk valós, ez hatásos teljesítmény áramlását jelenti, [math] 1/R^2 [/math] szerint csökken
• a közeli összetevők közt 90°-os fáziseltérés van, szorzatuk tehát képzetes, ez meddő teljesítmény áramlását jelenti, [math] 1/R^3 [/math] szerint csökken
• a *H* távoli, és *E* nagyon közeli összetevők szintén fázisban vannak, szorzatuk megint csak valós, hatásos teljesítmény áramlik, de [math] 1/R^4 [/math] szerint csökken
• a *H* közeli, és *E* nagyon közeli összetevők 90°-os eltérésben vannak, szorzatuk képzetes, meddő teljesítmény áramlik, és [math] 1/R^5 [/math] szerint csökken

Csak a közeli tér Poynting vektorának van radiális összetevője.

Távoli tér

A távoli teret leíró egyenletek komplex amplitudója

[math] \begin{displaymath} H_\varphi (R,\vartheta) = \frac{l}{4\pi} I_m \left[ \frac{1}{R^2} + \frac{j\omega}{vR} \right] \sin(\vartheta) e^{-j\omega R/v} , \end{displaymath} \begin{displaymath} E_\vartheta (R,\vartheta) = \frac{l}{4\pi\varepsilon} I_m \left[ \frac{1}{j R^3} + \frac{1}{vR^2} + \frac{j\omega}{v^2R} \right] \sin(\vartheta) e^{-j\omega R/v} \end{displaymath} [/math]

A fentiekből definiálhatunk egy hullámellenállást, mégpedig

[math] \begin{displaymath} \frac{E_\vartheta(R,\vartheta)}{H_\varphi (R,\vartheta)} = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}. \end{displaymath}[/math]

Vákuumban vagy levegőben

[math] \begin{displaymath} \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}.\approx 377,0\Omega \approx (120 \pi) \Omega. \end{displaymath}[/math] A távoli tér önmagában nem létezik, mivel önmagukban ellentmondanak a Maxwell-egyenleteknek, ezért erővonalképét nem szokás megadni, lokálisan síkhullámnak tekinthető. A távoli tér komplex Poynting vektora csak radiális összetevőt tartalmaz, mégpedig

[math] \begin{displaymath} S_R (R,\vartheta) = \frac{1}{2} E_\vartheta (R,\vartheta) H_\varphi^* (R,\vartheta) = \frac{1}{8} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \left( \frac{l}{\lambda}\right)^2 I_m^2 \frac{\sin^2(\vartheta)}{R^2} \end{displaymath}[/math]

A %REFLATEX{eqn:tavoli_ter_poynting_vektora}% kifejezés egy *A* zárt felületen vett felületi integrálja megadja a kisugárzott teljesítményt:

[math] \begin{displaymath} \oint\limits_A S\ dA = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \left( \frac{l}{\lambda} \right)^2 \cdot I_m^2 = \frac{1}{2}\cdot R_s \cdot I_m^2, \end{displaymath}[/math] bevezetve [math] R_s [/math] sugárzási ellenállást, mely a fenti definíció alapján [math] \begin{displaymath} R_s = \frac{2\pi}{3} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \left( \frac{l}{\lambda} \right)^2. \end{displaymath}[/math] A Poynting-vektor kifejezéséből %REFLATEX{eqn:tavoli_ter_poynting_vektora}% alapján látható, hogy a teljesítmény döntő részét a [math] \sin^2 (\vartheta) [/math] tag miatt döntő részben a tengelyre merőlegesen sugározza ([math] \vartheta \in [45^\circ,135^\circ] [/math] esetén majdnem 90%).

-- Visko - 2006.02.18.