Anal2-magic

Fontos

Ezek a 2 felevnyi analizis2 (sima/kereszt) alatt gyultek ossze, tobbnyire tipuspeldakra mennek ra, 2-est (elvileg) siman ossze lehet vele szedni.
A gyakorlast NEM helyettesiti. Tehat ezt bemagolod, es utana megoldasz sok zh-t / vizsgat, ugy mar jo (elvileg :D ).
Keresztet nem ajanlom :D ua. az anyag, de mashogy kerdezik.
Ha nem mesz at ezzel, az a TE hibad :P
A pontositasoknak termeszetesen mindenki orul
Derivalttabla nem art :P
Vegyel nekem egy sort/pizzat:

Alapok

Azonossagok, amiket jo ha tudsz

sin²(x) + cos²(x) = 1
cosh²(x) - sinh²(x) = 1
sinh(a+b) = sinh(a) * cosh(b) + cosh(a) * sinh(b) // sincos-cossin (h)
cosh(a+b) = cosh(a) * cosh(b) + sinh(a) * sinh(b) // coscos-sinsin (h)
lim_x->0 sin(x) / x = 1 // ezek talan meg anal1-rol :P
lim_x->0 x / sin(x) = 1
f'(x0) = lim_x->0 ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0)
f'(x0) = lim_deltax->0 ( f(x0 + deltax) - f(x0) ) / deltax
cosh(x) = ( e^x + e^-x ) / 2
sinh(x) = ( e^x - e^-x ) / 2

Derivalas

f'(c * x) = c * f'(x) // konstanssal szorzas
(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) // osszeadas
(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x) // szorzas
(f / g)'(x) = ( f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x) ) / g²(x) // osztas
f'( g(x) ) = f'( g(x) ) * g'(x) // osszetett fv
(f^-1)'(x) = 1 / ( f'( f^-1(x) ) ) // inverz fv

Erinto egyenes egyenlete: f(x) = f(x0) + f'(x0) * (x - x0)

Integralas

ʃ f(x) dx = F(x) + C ʃ f( fi(x) ) * fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C
ʃ f^a(x) * f'(x) dx = ( f(x)^{a + 1} ) / (a + 1) + C // a != -1
ʃ e^f(x) * f'(x) dx = e^f(x) + C
ʃ f'(x) / f(x) dx = ln| f(x) | + C
ʃ f' * g dx = f * g - ʃ f*g' // parcialis integralas
ʃ (a * x + b) dx = F(a * x + b) / a + C // a != 0

Helyettesiteses integral:
ʃ f(x) dx // ez vmi bonyolult integralt akar lenni :P
u = f(x) // ez lesz a helyettesites
du = f'(x) //lederivalod f(x)-et, mert le kell vele osztani
ʃ u / f'(x) du = kijon vmi --> visszahelyettesitesz

Parcialis tortekre bontas integralas
EZT VKI LEIRHATNA IDE

Diffegyenletek (DE)

Szeparabilis DE

y'(x) = g(y) * f(x) // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) !!!
Meg kell nezni, hogy g(y) mikor lesz 0
g(y) = 0
Megoldod, ha van megoldas, akkor az egy megoldas lesz!

ʃ 1 / g(y) dy = ʃ f(x) dx
ebbol kijon: y = K * h(x) // itt a K = e^C ; C az integralas soran keletkezik
neha nem kell pont ilyen alakra hozni, azt jelzik.

Linearis DE

y'(x) + g(x) * y = f(x) // ilyen alakban kell keresni
y'(x) + g(x) * y = 0 --> homogen linearis DE --> innen szeparabilis, megoldhato
y = K * h(x) --> az inhomogen altalanoshoz kell K(x) is
K(x) = ʃ f(x) / h(x) dx
//inhomogen altalanos megoldasa
y_ia = K * h(x) + K(x) * h(x) // homogen + inhomogen partikularis megoldas
Kezdeti ertek problema: behelyettesitesz, kijon: K = valami
K-t visszahelyettesited y_ia-ba --> megkapod: y_konkret

DE helyettesitessel

Peldan keresztul bemutatva:
y' = 1 / (x + y)
ezt nehez lenne barmelyik kategoriaba besorolni (linearis, szeparabilis), igy valami helyettesitest kell alkalmazni.
Siman megadtak, hogy mik lehetnek a helyettesitesek, azokbol kellett az egyiket alkalmazni.
Lehetseges helyettesitesek:
u = x + y
u = y / x

Ehhez a feladathoz az elsot valasztjuk. A celunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapu valtozo. Tehat:
u = x + y
kifejezzuk y-t:
y = u - x
lederivaljuk:
y' = u' - 1
Tehat mostmar minden valtozo y', x+y megvan, behelyettesitunk:
u' - 1 = 1 / u
kicsit rendezzuk:
u' = 1 + 1 / u = (u + 1) / u
Ez tehat szeparabilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelkepezni.
Megnezzuk a 0-re vonatkozo megoldast:
g(u) = (u + 1) / u = 0
u = -1
Tehat visszahelyettesitve: y = -1 - x egy megoldasa lesz a DE-nek.
Tovabb haladunk a megoldassal:
ʃ u / (u + 1) du = ʃ 1 dx
A masodik fele: x + C
Az elso fele:
ʃ u / (u + 1) du = ʃ (u + 1 - 1) / (u + 1) du = ʃ 1 - ( 1 / (u + 1) ) du = u - ln| u + 1 | + C

Ezekbol:
u - ln| u + 1 | = x + C --> visszahelyettesitunk
x + y - ln| x + y + 1 | = x + c

Homogen linearis, allando egyutthatos DE

Megoldas: C * e^ʎ*x alakban kell keresni. De neha bejon cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszeru.
Pelda:
y⁽³⁾ + 2 * y⁽²⁾ + y' = 0
ʎ³ + 2 * ʎ² + ʎ = 0 // nem talaltam half-life jelet :(
ʎ * ( ʎ² + 2 * ʎ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1)
ʎ * ( ʎ + 1 )² = 0
elso felebol ʎ₁ = 0
masodik felebol ʎ₂ = -1
DE 3 megoldas kell!!!
ilyenkor a homogen megoldashoz hozzarakunk meg x-el beszorzott tagokat

y_h = C1 * e^{0 * x} + C2 * e^{-1 * x} + C3 * x * e^{-1 * x}

Pelda2:
y⁽³⁾ + 4 * y⁽²⁾ + 13 * y' = 0
ʎ³ + 4 * ʎ² + 13 * ʎ = 0 // kiemelsz ʎ-et
ʎ( ʎ² + 4 * ʎ + 13 ) = 0
ʎ( (ʎ + 2)² + 9 ) = 0
elso felebol ʎ₁ = 0
masodik felebol:
-9 = (ʎ + 2)²
-9^1/2 = ʎ + 2
-9^1/2 - 2 = ʎ
3*i - 2 = ʎ //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba
-3*i - 2 = ʎ

y_h = C1 * e^{0 * x} + C2 * e^{-2 * x} * cos(3 * x) + C3 * e^{-2 * x} * sin(3 * x)
tehat a valos resz lesz a ʎ, a kepzetes resz pedig a cos/sin (pozitiv/negativ) belseje

Pelda3:
adott egy megoldas: 2 * e^{5 * x} - e^{-3 * x}
ebbol kell a DE-et felirni.
ebbol rogton latjuk is, hogy ʎ₁ = 5
ʎ₂ = -3
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre:
(ʎ - 5) * (ʎ + 3) = 0
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani
ʎ² + 3 * ʎ - 5 * ʎ - 15 = 0
ʎ² - 2 * ʎ - 15 = 0
y⁽²⁾ - 2 * y - 15 = 0

Inhomogen linearis, allando egyutthatos DE

absztrakt pelda:
a(x) * y⁽²⁾ + b(x) * y' + c(x) * y = f(x)
Ebbol kell a homogen DE megoldasa.
a(x) * y⁽²⁾ + b(x) * y' + c(x) * y = 0
y_h = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az e^ʎ*x -os alak
Az inhomogen partikularis megoldasa ebbol az alabbi alakban lesz:
itt C1 es C2 ismeretlenek, y1, es (opcionalisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-bol 'generalodnak' (lasd alabb) c * | y_ip = C1 * y1(x) + C2 * y2(x)
b * | y'_ip = C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) + C1' * y1(x) + C2 * y2'(x)
// note: C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) = 0
a * | y⁽²⁾_ip = C1' * y1'(x) + C1 * y1⁽²⁾(x) + C2' * y2'(x) + C2 * y2⁽²⁾(x)
ezt C1, C2-re kell megoldani.
ezutan az inhomogen altalanos megoldas = homogen megoldas + inhomogen partikularis megoldas
Specialis f(x) esetek:
itt A, B_i ismeretlenek
f(x) = K * e^{a * x} --> y_ip = A * e^{a * x}
f(x) = a_mx^m+ ... + a₀ --> y_ip = B_mx^m+ ... + B₀
f(x) = K₁ * sin(a * x) --> y_ip = A * sin(a * x) + B * cos(a * x) // tehat bejon egy cos(a * x) is!
f(x) = K₂ * cos(b * x) --> y_ip = A * cos(b * x) + B * sin(b * x) // tehat bejon egy sin(b * x) is!

Konkret pelda:
y⁽²⁾ - 5 * y' + 6 * y = 2 * sin(2 * x)
ʎ² - 5 * ʎ + 6 = 0
ʎ₁ = 2
ʎ₂ = 3
y_h = C1 * e^{2 * x} + C2 * e^{3 * x}
y_ip = A * f(x) + B * f'(x)

// annyiszor kell derivalni y_ip-t, amennyi foku az eredeti DE is (itt 2)
// ha a homogenek kozott szerepel az y_ip, akkor kulso rezonancia van!
// tehat y_ip *= x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni
// magic: be kell szorozni a derivaltakat az egyutthatokkal
6 * | y_ip = A * sin(2 * x) + B * cos(2 * x)
-5 * | y'_ip = 2 * A * cos(2 * x) - 2 * B * sin(2 * x)
1 * | y⁽²⁾_ip = -4 * A * sin(2 * x) - 4 * B * cos(2 * x)
// magic: Ha megnezed, akkor beszoroztam az elejen levo szamokkal ott ahol kellett.
sin(2 * x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat:
2 = 6 * A + 5 * 2 * B - 4 * A
cos(2 * x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat:
0 = 6 * B - 5 * 2 * A - 4 * B
ezekbol:
A = 1 / 26
B = 5 / 26
y_ia = C1 * e^{2 * x} + C2 * e^{3 * x} + (1 / 26) * sin(2 * x) + (5 / 26) * cos(2 * x)

Izoklinak

pelda:
y' = e^{y + 2} - x
ebbol magic: K = e^{y + 2} - x
kifejezzuk y-t:
y = ln( x + K ) - 2
Ha kerdeznek lokalis szelso erteket, akkor y'-at kell megvizsgalni helyettesitessel
Az inflexios ponthoz y⁽²⁾-at kell megnezni:
y⁽²⁾ > 0 --> lokalis minimum
y⁽²⁾ < 0 --> lokalis maximum
Ha parhuzamossagot kerdeznek, akkor a meredekseg = K-val.
Ezekhez ajanlott megnezni par feladatot, es azon ertelmezni :D

Linearis rekurzio

(ez nagyon magic)
megoldas alakja: f(n) = qⁿ // q != 0
pelda:
f(n) = 4 * f * (n - 1) - 3 * f * (n - 2)
ebbol:
qⁿ = 4 * q^{n - 1} - 3 * q^{n - 2}
a legalacsonyabb hatvanyu q-val osztunk.
q² = 4 * q - 3 --> masodfoku
q₁ = 1
q₂ = 3
ebbol: f(n) = C1 * 1ⁿ + C2 * 3ⁿ
Ha O(1) tipusu megoldasok kellenek:
f(n) = O(1): letezik olyan K, hogy |f(n)| <= K * 1, n > N (veges sok kivetel)
tehat: f(n)-nek korlatosnak kell lenni:
C2 = 0

Taylor sorok

// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I
A Taylor sorok arra jok, hogy egy fuggvenyt kozelitsunk a derivaltjai segitsegevel.
Fun fact: ezt regebben arra is hasznaltak, hogy a 'draga' sin/cos es hasonlo fv-eket helyettesitsek egy 'olcso' valtozattal.
f(x) fuggveny x0 bazispontu n-ed foku Taylor polinomja:
sumⁿ_k=0( ( f^(k)(x0) / k! ) * (x - x0)^k )
tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg.
=== Nevezetes fuggvenyek T-sorai ===
x^m / (1 - x) = sumⁿ_k=m( x^k ) --> Konvergencia tartomany: |x| < 1
e^x = sumⁿ_k=0( x^k / k! ) --> KT: x eleme R-nek
ln(1 + x) = sumⁿ_k=0( ( -1^k / (k + 1)! ) * x^{k + 1} ) --> KT: |x| < 1
(1 + x)^a = sumⁿ_k=0( (a choose k) * x^k ) --> |x| < 1, a eleme C-nek
sin(x) = sumⁿ_k=0( ( -1^k / (2 * k + 1)! ) * x^{2 * k + 1} ) --> KT: x eleme R-nek
cos(x) = sumⁿ_k=0( ( -1^k / (2 * k)! ) * x^{2 * k} ) --> KT: x eleme R-nek
sinh(x) = sumⁿ_k=0( ( 1 / (2 * k + 1)! ) * x^{2 * k + 1} ) --> KT: x eleme R-nek
cosh(x) = sumⁿ_k=0( ( 1 / (2 * k)! ) * x^{2 * k} ) --> KT: x eleme R-nek
=== Lagrange-hiba becsles ===
Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal.
xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo)
Lagrange-hiba: ( f^{n + 1}(xi) / (n + 1)! ) * (x - x0)^{n + 1}
Pelda (keresztrol):
y' = sin( y ) + 2 + x
y( x = pi ) = 1
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell)
felso becsles a hibara?
y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep!
y⁽²⁾( x = pi ) = cos( y ) * y' + 1 = cos( 1 ) * ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1
T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) * (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (x - pi)
y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte!
letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek.
hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f⁽²⁾(xi) / 2! ) * (3 - pi)² ~= 0.1 // meg ezt is!
tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1

Konvergencia tartomany (KT)

Altalaban meg van adva vmi T-sor, szummas alakban. Erre alkalmazzuk a hanyados / gyokkriteriumot.
|a_n|^1/n vagy | (a_n + 1) / a_n |
ezutan kijon vmi, ami egyenlo 1 / R-el, kifejezzuk R-t.
az (x - x0) = 0 egyenletbol megkapjuk x-et, ez lesz a KT kozeppontja.
tehat KT = (x - R, x + R)
vegpontokban kulon meg kell nezni:
ha divergens --> (
ha konvergens --> [
kell.
Ha x² van (mar nem tudom hol, nezz ra feladatot :D ), akkor u = x² (helyettesitunk)
a vegen meg kell nezni, hogy a KT jo-e.
a <= u=x² <= b
ez minden x-re teljesul --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) )

Fourier-sorok

Megoldas lepesei:

• fel kell rajzolni a fuggvenyt
  
• ha a fuggveny paros --> b_k = 0
  
• ha a fuggveny paratlan --> a_k = 0, a0 = 0
  
• fi(x) = a0 / 2 + sum( a_k^{cos(k * x) + sin(k * x)} )
  
• a_k = 1 / pi * ʃ^pi_pi f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
  
• b_k = 1 / pi * ʃ^pi_pi f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
  
• paratlan * paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot
  
• ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz
  
• ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni.
  
• ki kell integralni a fuggvenyt
  
• vissza kell helyettesiteni fi(x)-be
  
• fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2
  

Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa)

Altalaban adott P0 = (a, b) vektor.
gradf(P0) = f'_x(P0) * i + f'_y(P0) * j = (f'_x, f'_y) // itt i, j egysegvektorok
f'_x illetve f'_y ugy jon ki, hogy x illetve y szerint derivalsz.
Pl ha x szerint derivalsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni.
df/de|P0 = gradf(P0) * e // itt e az egysegvektor, amit P0 normalizalasaval kapsz meg, a szorzas a ket vektor komponensek szerinti szorzasa (tehat nem skalar vagy vektor szorzas)
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f'_x)² + (f'_y)²) // azaz a vektor hossza
a maximum iranya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizalod
Miert letezik gradf? mert a parcialis derivaltak f'x es f'y leteznek es f(x,y) folytonos P0-ban
Akkor totalisan differencialhato, ha a parcialis derivaltak folytonosak P0 pontban, tehat letezik a hatarertekuk // vagy mi :D