„Anal2-magic” változatai közötti eltérés

A VIK Wikiből
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
102. sor: 102. sor:
  
 
'''Pelda3:'''<br />
 
'''Pelda3:'''<br />
adott egy megoldas: 2 * e<sup>5 * x</sup> - e<sup>-3 * x</sup>
+
adott egy megoldas: 2 * e<sup>5 * x</sup> - e<sup>-3 * x</sup><br />
ebbol kell a DE-et felirni.
+
ebbol kell a DE-et felirni.<br />
ebbol rogton latjuk is, hogy ʎ<sub>1</sub> = 5
+
ebbol rogton latjuk is, hogy ʎ<sub>1</sub> = 5<br />
ʎ<sub>2</sub> = -3
+
ʎ<sub>2</sub> = -3<br />
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre:
+
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre:<br />
(ʎ - 5) * (ʎ + 3) = 0
+
(ʎ - 5) * (ʎ + 3) = 0<br />
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani
+
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani<br />
ʎ<sup>2</sup> + 3 * ʎ - 5 * ʎ - 15 = 0
+
ʎ<sup>2</sup> + 3 * ʎ - 5 * ʎ - 15 = 0<br />
ʎ<sup>2</sup> - 2 * ʎ - 15 = 0
+
ʎ<sup>2</sup> - 2 * ʎ - 15 = 0<br />
y'' - 2 * y - 15 = 0
+
y'' - 2 * y - 15 = 0<br />

A lap 2014. január 6., 19:23-kori változata

Fontos

Ezek a 2 felevnyi analizis2 (sima/kereszt) alatt gyultek ossze, tobbnyire tipuspeldakra mennek ra, 2-est (elvileg) siman ossze lehet vele szedni.
A gyakorlast NEM helyettesiti. Tehat ezt bemagolod, es utana megoldasz sok zh-t / vizsgat, ugy mar jo (elvileg :D ).
Keresztet nem ajanlom :D ua. az anyag, de mashogy kerdezik.
Ha nem mesz at ezzel, az a TE hibad :P
A pontositasoknak termeszetesen mindenki orul
Derivalttabla nem art :P

Alapok

Azonossagok, amiket jo ha tudsz

sin2(x) + cos2(x) = 1
cosh2(x) - sinh2(x) = 1
sinh(a+b) = sinh(a) * cosh(b) + cosh(a) * sinh(b) // sincos-cossin (h)
cosh(a+b) = cosh(a) * cosh(b) + sinh(a) * sinh(b) // coscos-sinsin (h)
limx->0 sin(x) / x = 1 // ezek talan meg anal1-rol :P
limx->0 x / sin(x) = 1
f'(x0) = limx->0 ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0)
f'(x0) = limdeltax->0 ( f(x0 + deltax) - f(x0) ) / deltax
cosh(x) = ( ex + e-x ) / 2
sinh(x) = ( ex - e-x ) / 2

Derivalas

f'(c * x) = c * f'(x) // konstanssal szorzas
(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) // osszeadas
(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x) // szorzas
(f / g)'(x) = ( f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x) ) / g2(x) // osztas
f'( g(x) ) = f'( g(x) ) * g'(x) // osszetett fv
(f-1)'(x) = 1 / ( f'( f-1(x) ) ) // inverz fv

Erinto egyenes egyenlete: f(x) = f(x0) + f'(x0) * (x - x0)

Integralas

ʃ f(x) dx = F(x) + C ʃ f( fi(x) ) * fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C
ʃ fa(x) * f'(x) dx = ( f(x)a + 1 ) / (a + 1) + C // a != -1
ʃ ef(x) * f'(x) dx = ef(x) + C
ʃ f'(x) / f(x) dx = ln| f(x) | + C
ʃ f' * g dx = f * g - ʃ f*g' // parcialis integralas
ʃ (a * x + b) dx = F(a * x + b) / a + C // a != 0

Helyettesiteses integral:
ʃ f(x) dx // ez vmi bonyolult integralt akar lenni :P
u = f(x) // ez lesz a helyettesites
du = f'(x) //lederivalod f(x)-et, mert le kell vele osztani
ʃ u / f'(x) du = kijon vmi --> visszahelyettesitesz

Parcialis tortekre bontas integralas
EZT VKI LEIRHATNA IDE

Diffegyenletek (DE)

Elsorendu DE-k

Szeparabilis DE

y'(x) = g(y) * f(x) // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) !!!
Meg kell nezni, hogy g(y) mikor lesz 0
g(y) = 0
Megoldod, ha van megoldas, akkor az egy megoldas lesz!

ʃ 1 / g(y) dy = ʃ f(x) dx
ebbol kijon: y = K * h(x) // itt a K = eC ; C az integralas soran keletkezik
neha nem kell pont ilyen alakra hozni, azt jelzik.

Linearis DE

y'(x) + g(x) * y = f(x) // ilyen alakban kell keresni
y'(x) + g(x) * y = 0 --> homogen linearis DE --> innen szeparabilis, megoldhato
y = K * h(x) --> az inhomogen altalanoshoz kell K(x) is
K(x) = ʃ f(x) / h(x) dx
//inhomogen altalanos megoldasa
yia = K * h(x) + K(x) * h(x) // homogen + inhomogen partikularis megoldas
Kezdeti ertek problema: behelyettesitesz, kijon: K = valami
K-t visszahelyettesited yia-ba --> megkapod: ykonkret

Magasabbrendu DE-k

Homogen linearis, allando egyutthatos DE

Megoldas: C * eʎ*x alakban kell keresni. De neha bejon cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszeru.
Pelda:
y' + 2 * y + y' = 0
ʎ3 + 2 * ʎ2 + ʎ = 0 // nem talaltam half-life jelet :(
ʎ * ( ʎ2 + 2 * ʎ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1)
ʎ * ( ʎ + 1 )2 = 0
elso felebol ʎ1 = 0
masodik felebol ʎ2 = -1
DE 3 megoldas kell!!!
ilyenkor a homogen megoldashoz hozzarakunk meg x-el beszorzott tagokat

yh = C1 * e0 * x + C2 * e-1 * x + C3 * x * e-1 * x

Pelda2:
y' + 4 * y + 13 * y' = 0
ʎ3 + 4 * ʎ2 + 13 * ʎ = 0 // kiemelsz ʎ-et
ʎ( ʎ2 + 4 * ʎ + 13 ) = 0
ʎ( (ʎ + 2)2 + 9 ) = 0
elso felebol ʎ1 = 0
masodik felebol:
-9 = (ʎ + 2)2
-91/2 = ʎ + 2
-91/2 - 2 = ʎ
3*i - 2 = ʎ //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba
-3*i - 2 = ʎ

yh = C1 * e0 * x + C2 * e-2 * x * cos(3 * x) + C3 * e-2 * x * sin(3 * x)
tehat a valos resz lesz a ʎ, a kepzetes resz pedig a cos/sin (pozitiv/negativ) belseje

Pelda3:
adott egy megoldas: 2 * e5 * x - e-3 * x
ebbol kell a DE-et felirni.
ebbol rogton latjuk is, hogy ʎ1 = 5
ʎ2 = -3
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre:
(ʎ - 5) * (ʎ + 3) = 0
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani
ʎ2 + 3 * ʎ - 5 * ʎ - 15 = 0
ʎ2 - 2 * ʎ - 15 = 0
y - 2 * y - 15 = 0