„Anal2-magic” változatai közötti eltérés

A VIK Wikiből
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
a (Görög betűk)
 
(58 közbenső módosítás, amit 9 másik szerkesztő végzett, nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
 +
{{Vissza|Analízis II.}}
 
== Fontos ==
 
== Fontos ==
Ezek a 2 felevnyi analizis2 (sima/kereszt) alatt gyultek ossze, tobbnyire tipuspeldakra mennek ra, 2-est (elvileg) siman ossze lehet vele szedni.<br />
+
Ezek a 2 félévnyi Analízis 2 (sima/kereszt) alatt gyűltek össze, többnyire típuspéldákra mennek , 2-est (elvileg) simán össze lehet vele szedni.
A gyakorlast NEM helyettesiti. Tehat ezt bemagolod, es utana megoldasz sok zh-t / vizsgat, ugy mar jo (elvileg :D ).<br />
+
 
Keresztet nem ajanlom :D ua. az anyag, de mashogy kerdezik.<br />
+
BTW, a kereszt nem azért jött össze, mert a sima nem ment, hanem mert már nem volt időm tanulni a vizsgára.
Ha nem mesz at ezzel, az a TE hibad :P<br />
+
A gyakorlást NEM helyettesíti. Tehát ezt bemagolod, és utána megoldasz sok zh-t / vizsgát, úgy már jó (elvileg :D ).
A pontositasoknak termeszetesen mindenki orul<br />
+
 
Derivalttabla nem art :P<br />
+
Keresztet nem ajánlom :D ua. az anyag, de máshogy kérdezik.
 +
 
 +
Ha nem mész át ezzel, az a TE hibád :P
 +
 
 +
A pontosításoknak természetesen mindenki örül
 +
 
 +
Deriválttábla, számológép nem art :P
 +
 
  
 
== Alapok ==
 
== Alapok ==
=== Azonossagok, amiket jo ha tudsz ===
+
=== Azonosságok, amiket jó, ha tudsz ===
 
sin<sup>2</sup>(x) + cos<sup>2</sup>(x) = 1<br />
 
sin<sup>2</sup>(x) + cos<sup>2</sup>(x) = 1<br />
 
cosh<sup>2</sup>(x) - sinh<sup>2</sup>(x) = 1<br />
 
cosh<sup>2</sup>(x) - sinh<sup>2</sup>(x) = 1<br />
 +
sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x)<br />
 +
sin(x + y) = sin(x) * cos(y) + cos(x) * sin(y)<br />
 +
sin(x ‒ y) = sin(x) * cos(y) ‒ cos(x) * sin(y)<br />
 +
cos(x ‒ y) = cos(x) * cos(y) + sin(x) * sin(y)<br />
 +
cos(x + y) = cos(x) * cos(y) ‒ sin(x) * sin(y)<br />
 
sinh(a+b) = sinh(a) * cosh(b) + cosh(a) * sinh(b) // sincos-cossin (h)<br />
 
sinh(a+b) = sinh(a) * cosh(b) + cosh(a) * sinh(b) // sincos-cossin (h)<br />
 
cosh(a+b) = cosh(a) * cosh(b) + sinh(a) * sinh(b) // coscos-sinsin (h)<br />
 
cosh(a+b) = cosh(a) * cosh(b) + sinh(a) * sinh(b) // coscos-sinsin (h)<br />
lim<sub>x->0</sub> sin(x) / x = 1 // ezek talan meg anal1-rol :P<br />
+
lim<sub>x->0</sub> sin(x) / x = 1 // ezek talán meg anal1-ről :P<br />
 
lim<sub>x->0</sub> x / sin(x) = 1<br />
 
lim<sub>x->0</sub> x / sin(x) = 1<br />
 
f'(x0) = lim<sub>x->0</sub> ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0)<br />
 
f'(x0) = lim<sub>x->0</sub> ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0)<br />
f'(x0) = lim<sub>deltax->0</sub> ( f(x0 + deltax) - f(x0) ) / deltax<br />
+
f'(x0) = lim<sub>Δx->0</sub> ( f(x0 + Δx) - f(x0) ) / Δx<br />
 
cosh(x) = ( e<sup>x</sup> + e<sup>-x</sup> ) / 2<br />
 
cosh(x) = ( e<sup>x</sup> + e<sup>-x</sup> ) / 2<br />
 
sinh(x) = ( e<sup>x</sup> - e<sup>-x</sup> ) / 2<br />
 
sinh(x) = ( e<sup>x</sup> - e<sup>-x</sup> ) / 2<br />
 +
<br />
  
=== Derivalas ===
+
=== Deriválás ===
f'(c * x) = c * f'(x) // konstanssal szorzas<br />
+
f'(c * x) = c * f'(x) // konstanssal szorzás<br />
(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) // osszeadas<br />
+
(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) // összeadás<br />
(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x) // szorzas<br />
+
(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x) // szorzás<br />
(f / g)'(x) = ( f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x) ) / g<sup>2</sup>(x) // osztas<br />
+
(f / g)'(x) = ( f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x) ) / g<sup>2</sup>(x) // osztás<br />
f'( g(x) ) = f'( g(x) ) * g'(x) // osszetett fv<br />
+
f'( g(x) ) = f'( g(x) ) * g'(x) // összetett fv<br />
 
(f<sup>-1</sup>)'(x) = 1 / ( f'( f<sup>-1</sup>(x) ) ) // inverz fv<br />
 
(f<sup>-1</sup>)'(x) = 1 / ( f'( f<sup>-1</sup>(x) ) ) // inverz fv<br />
 
<br />
 
<br />
Erinto egyenes egyenlete: f(x) = f(x0) + f'(x0) * (x - x0)<br />
+
Érintő egyenes egyenlete: f(x) = f(x0) + f'(x0) * (x - x0)<br />
 
+
<br />
=== Integralas ===
+
=== Integrálás ===
ʃ f(x) dx = F(x) + C
+
ʃ f(x) dx = F(x) + C<br />
ʃ f( fi(x) ) * fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C<br />
+
ʃ f( φ(x) ) * φ'(x) dx = F( φ(x) ) + C<br />
 
ʃ f<sup>a</sup>(x) * f'(x) dx = ( f(x)<sup>a + 1</sup> ) / (a + 1) + C // a != -1<br />
 
ʃ f<sup>a</sup>(x) * f'(x) dx = ( f(x)<sup>a + 1</sup> ) / (a + 1) + C // a != -1<br />
 
ʃ e<sup>f(x)</sup> * f'(x) dx = e<sup>f(x)</sup> + C<br />
 
ʃ e<sup>f(x)</sup> * f'(x) dx = e<sup>f(x)</sup> + C<br />
 
ʃ f'(x) / f(x) dx = ln| f(x) | + C<br />
 
ʃ f'(x) / f(x) dx = ln| f(x) | + C<br />
ʃ f' * g dx = f * g - ʃ f*g' // parcialis integralas<br />
+
ʃ f' * g dx = f * g - ʃ f*g' // parciális integrálás<br />
 
ʃ (a * x + b) dx = F(a * x + b) / a + C // a != 0<br />
 
ʃ (a * x + b) dx = F(a * x + b) / a + C // a != 0<br />
 
<br />
 
<br />
'''Helyettesiteses integral:'''<br />
+
'''Helyettesítéses integrál:'''<br />
ʃ f(x) dx // ez vmi bonyolult integralt akar lenni :P<br />
+
ʃ f(x) dx // ez vmi bonyolult integrált akar lenni :P<br />
u = f(x) // ez lesz a helyettesites<br />
+
u = f(x) // ez lesz a helyettesítés<br />
du = f'(x) //lederivalod f(x)-et, mert le kell vele osztani<br />
+
du = f'(x) //lederiválod f(x)-et, mert le kell vele osztani<br />
ʃ u / f'(x) du = kijon vmi --> visszahelyettesitesz<br />
+
ʃ u / f'(x) du = kijön vmi --> visszahelyettesítesz<br />
 
+
<br />
'''Parcialis tortekre bontas integralas'''<br />
+
'''Parciális törtekre bontás integrálás'''<br />
'''EZT VKI LEIRHATNA IDE'''<br />
+
'''EZT VKI LEÍRHATNÁ IDE'''<br />
 +
<br />
  
 
== Diffegyenletek (DE) ==
 
== Diffegyenletek (DE) ==
=== Elsorendu DE-k ===
+
=== Elsőrendű DE-k ===
=== Szeparabilis DE ===
+
=== Szeparábilis DE ===
 
y'(x) = g(y) * f(x) // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) !!!<br />
 
y'(x) = g(y) * f(x) // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) !!!<br />
Meg kell nezni, hogy g(y) mikor lesz 0<br />
+
Meg kell nézni, hogy g(y) mikor lesz 0<br />
 
g(y) = 0<br />
 
g(y) = 0<br />
Megoldod, ha van megoldas, akkor az egy megoldas lesz!<br />
+
Megoldod, ha van megoldás, akkor az egy megoldás lesz!<br />
 
+
<br />
 
ʃ 1 / g(y) dy = ʃ f(x) dx<br />
 
ʃ 1 / g(y) dy = ʃ f(x) dx<br />
ebbol kijon: y = K * h(x) // itt a K = e<sup>C</sup> ; C az integralas soran keletkezik<br />
+
ebből kijön: y = K * h(x) // itt a K = e<sup>C</sup> ; C az integrálás során keletkezik<br />
neha nem kell pont ilyen alakra hozni, azt jelzik.<br />
+
néha nem kell pont ilyen alakra hozni, azt jelzik.<br />
 
+
<br />
=== Linearis DE ===
+
=== Lineáris DE ===
 
y'(x) + g(x) * y = f(x) // ilyen alakban kell keresni<br />
 
y'(x) + g(x) * y = f(x) // ilyen alakban kell keresni<br />
y'(x) + g(x) * y = 0 --> homogen linearis DE --> innen szeparabilis, megoldhato<br />
+
y'(x) + g(x) * y = 0 --> homogén lineáris DE --> innen szeparábilis, megoldható<br />
y = K * h(x) --> az inhomogen altalanoshoz kell K(x) is<br />
+
y = K * h(x) --> az inhomogén általánoshoz kell K(x) is<br />
 
K(x) = ʃ f(x) / h(x) dx<br />
 
K(x) = ʃ f(x) / h(x) dx<br />
//inhomogen altalanos megoldasa<br />
+
//inhomogén általános megoldása<br />
y(ia) = K * h(x) + K(x) * h(x) // homogen + inhomogen partikularis megoldas<br />
+
y<sub>ia</sub> = K * h(x) + K(x) * h(x) // homogén + inhomogén partikuláris megoldás<br />
Kezdeti ertek problema: behelyettesitesz, kijon: K = valami<br />
+
Kezdeti érték probléma: behelyettesítesz, kijön: K = valami<br />
K-t visszahelyettesited y(ia)-ba --> megkapod: y(konkret)<br />
+
K-t visszahelyettesíted y<sub>ia</sub>-ba --> megkapod: y<sub>konkrét</sub><br />
 +
<br />
 +
=== DE helyettesítéssel ===
 +
'''Példán keresztül bemutatva:'''<br />
 +
y' = 1 / (x + y)<br />
 +
ezt nehéz lenne bármelyik kategóriába besorolni (lineáris, szeparábilis), így valami helyettesítést kell alkalmazni. <br />
 +
Simán megadták, hogy mik lehetnek a helyettesítések, azokból kellett az egyiket alkalmazni.<br />
 +
Lehetséges helyettesítések: <br />
 +
u = x + y<br />
 +
u = y / x<br />
 +
<br />
 +
Ehhez a feladathoz az elsőt választjuk. A célunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapú változó. Tehát:<br />
 +
u = x + y<br />
 +
kifejezzük y-t:<br />
 +
y = u - x<br />
 +
lederiváljuk:<br />
 +
y' = u' - 1<br />
 +
Tehát most már minden változó y', x+y megvan, behelyettesítünk:<br />
 +
u' - 1 = 1 / u<br />
 +
kicsit rendezzük:<br />
 +
u' = 1 + 1 / u = (u + 1) / u<br />
 +
Ez tehát szeparábilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelképezni.<br />
 +
Megnézzük a 0-re vonatkozó megoldást:<br />
 +
g(u) = (u + 1) / u = 0<br />
 +
u = -1<br />
 +
Tehát visszahelyettesítve: y = -1 - x egy megoldása lesz a DE-nek.<br />
 +
Tovább haladunk a megoldással:<br />
 +
ʃ u / (u + 1) du = ʃ 1 dx<br />
 +
A második fele: x + C<br />
 +
Az első fele:<br />
 +
ʃ u / (u + 1) du = ʃ (u + 1 - 1) / (u + 1) du = ʃ 1 - ( 1 / (u + 1) ) du = u - ln| u + 1 | + C<br />
 +
<br />
 +
Ezekből:<br />
 +
u - ln| u + 1 | = x + C --> visszahelyettesítünk<br />
 +
x + y - ln| x + y + 1 | = x + c<br />
 +
<br />
 +
=== Magasabbrendű DE-k ===
 +
=== Homogén lineáris, állandó együtthatós DE ===
 +
Megoldás: C * e<sup>λ*x</sup> alakban kell keresni. De néha bejön cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszerű.<br />
 +
'''Példa:'''<br />
 +
y<sup>(3)</sup> + 2 * y<sup>(2)</sup> + y' = 0<br />
 +
λ<sup>3</sup> + 2 * λ<sup>2</sup> + λ = 0<br />
 +
λ * ( λ<sup>2</sup> + 2 * λ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatványa (itt 1)<br />
 +
λ * ( λ + 1 )<sup>2</sup> = 0<br />
 +
első feléből λ<sub>1</sub> = 0<br />
 +
második feléből λ<sub>2</sub> = -1 <br />
 +
DE 3 megoldás kell!!!<br />
 +
ilyenkor a homogén megoldáshoz hozzárakunk meg x-el beszorzott tagokat<br />
 +
<br />
 +
y<sub>h</sub> = C1 * e<sup>0 * x</sup> + C2 * e<sup>-1 * x</sup> + C3 * x * e<sup>-1 * x</sup><br />
 +
<br />
 +
'''Példa 2:'''<br />
 +
y<sup>(3)</sup> + 4 * y<sup>(2)</sup> + 13 * y' = 0<br />
 +
λ<sup>3</sup> + 4 * λ<sup>2</sup> + 13 * λ = 0 // kiemelsz λ-t<br />
 +
λ( λ<sup>2</sup> + 4 * λ + 13 ) = 0<br />
 +
λ( (λ + 2)<sup>2</sup> + 9 ) = 0<br />
 +
első feléből λ<sub>1</sub> = 0<br />
 +
második feléből:<br />
 +
-9 = (λ + 2)<sup>2</sup><br />
 +
-9<sup>1/2</sup> = λ + 2<br />
 +
-9<sup>1/2</sup> - 2 = λ<br />
 +
3*i - 2 = λ // két darab komplex megoldás lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldásba<br />
 +
-3*i - 2 = λ<br />
 +
<br />
 +
y<sub>h</sub> = C1 * e<sup>0 * x</sup> + C2 * e<sup>-2 * x</sup> * cos(3 * x) + C3 * e<sup>-2 * x</sup> * sin(3 * x)<br />
 +
tehát a valós rész lesz a λ, a képzetes rész pedig a cos/sin (pozitív/negatív) belseje<br />
 +
<br />
 +
'''Példa 3:'''<br />
 +
adott egy megoldás: 2 * e<sup>5 * x</sup> - e<sup>-3 * x</sup><br />
 +
ebből kell a DE-et felírni.<br />
 +
ebből rögtön latjuk is, hogy λ<sub>1</sub> = 5<br />
 +
λ<sub>2</sub> = -3<br />
 +
tehát ebből következtethetünk a karakterisztikus egyenletre:<br />
 +
(λ - 5) * (λ + 3) = 0<br />
 +
innentől 'csak' át kell rendezni, és megoldani<br />
 +
λ<sup>2</sup> + 3 * λ - 5 * λ - 15 = 0<br />
 +
λ<sup>2</sup> - 2 * λ - 15 = 0<br />
 +
y<sup>(2)</sup> - 2 * y - 15 = 0<br />
 +
<br />
 +
 
 +
=== Inhomogén lineáris, állandó együtthatós DE ===
 +
'''absztrakt példa:'''<br />
 +
a(x) * y<sup>(2)</sup> + b(x) * y' + c(x) * y = f(x)<br />
 +
Ebből kell a homogén DE megoldása.<br />
 +
a(x) * y<sup>(2)</sup> + b(x) * y' + c(x) * y = 0<br />
 +
y<sub>h</sub> = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az e<sup>λ*x</sup> -os alak<br />
 +
Az inhomogén partikuláris megoldása ebből az alábbi alakban lesz:<br />
 +
itt C1 és C2 ismeretlenek, y1, és (opcionálisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-ből 'generálódnak' (lásd alább)<br />
 +
c * | y<sub>ip</sub> = C1 * y1(x) + C2 * y2(x)<br />
 +
b * | y'<sub>ip</sub> = C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) + C1' * y1(x) + C2 * y2'(x)<br />
 +
// note: C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) = 0<br />
 +
a * | y<sup>(2)</sup><sub>ip</sub> = C1' * y1'(x) + C1 * y1<sup>(2)</sup>(x) + C2' * y2'(x) + C2 * y2<sup>(2)</sup>(x)<br />
 +
ezt C1, C2-re kell megoldani.<br />
 +
ezután az inhomogén általános megoldás = homogén megoldás + inhomogén partikuláris megoldás
 +
<br />
 +
'''Speciális f(x) esetek:'''<br />
 +
itt A, B<sub>i</sub> ismeretlenek<br />
 +
f(x) = K * e<sup>a * x</sup> --> y<sub>ip</sub> = A * e<sup>a * x</sup><br />
 +
f(x) = a<sub>m</sub>x<sup>m</sup>+ ... + a<sub>0</sub> --> y<sub>ip</sub> = B<sub>m</sub>x<sup>m</sup>+ ... + B<sub>0</sub><br />
 +
f(x) = K<sub>1</sub> * sin(a * x) --> y<sub>ip</sub> = A * sin(a * x) + B * cos(a * x) // tehát bejön egy cos(a * x) is!<br />
 +
f(x) = K<sub>2</sub> * cos(b * x) --> y<sub>ip</sub> = A * cos(b * x) + B * sin(b * x) // tehát bejön egy sin(b * x) is!<br />
 +
<br />
 +
'''Konkrét példa:'''<br />
 +
y<sup>(2)</sup> - 5 * y' + 6 * y = 2 * sin(2 * x)<br />
 +
λ<sup>2</sup> - 5 * λ + 6 = 0<br />
 +
λ<sub>1</sub> = 2<br />
 +
λ<sub>2</sub> = 3<br />
 +
y<sub>h</sub> = C1 * e<sup>2 * x</sup> + C2 * e<sup>3 * x</sup><br />
 +
y<sub>ip</sub> = A * f(x) + B * f'(x)<br />
 +
<br />
 +
// annyiszor kell deriválni y<sub>ip</sub>-t, amennyi fokú az eredeti DE is (itt 2)<br />
 +
// ha a homogének között szerepel az y<sub>ip</sub>, akkor külső rezonancia van!<br />
 +
// tehát y<sub>ip</sub> *= x, és utána már lehet deriválni --> ezt kell gyakorolni<br />
 +
// magic: be kell szorozni a deriváltakat az együtthatókkal<br />
 +
6 * | y<sub>ip</sub> = A * sin(2 * x) + B * cos(2 * x)<br />
 +
-5 * | y'<sub>ip</sub> = 2 * A * cos(2 * x) - 2 * B * sin(2 * x)<br />
 +
1 * | y<sup>(2)</sup><sub>ip</sub> = -4 * A * sin(2 * x) - 4 * B * cos(2 * x)<br />
 +
// magic: Ha megnézed, akkor beszoroztam az elején levő számokkal ott ahol kellett.<br />
 +
sin(2 * x)-ből 2 volt az eredeti DE-ben, tehát:<br />
 +
2 = 6 * A + 5 * 2 * B - 4 * A<br />
 +
cos(2 * x)-ből 0 volt az eredeti DE-ben, tehat:<br />
 +
0 = 6 * B - 5 * 2 * A - 4 * B<br />
 +
ezekből:<br />
 +
A = 1 / 26<br />
 +
B = 5 / 26<br />
 +
y<sub>ia</sub> = C1 * e<sup>2 * x</sup> + C2 * e<sup>3 * x</sup> + (1 / 26) * sin(2 * x) + (5 / 26) * cos(2 * x)<br />
 +
<br />
 +
 
 +
== Izoklinák ==
 +
'''példa:'''<br />
 +
y' = e<sup>y + 2</sup> - x<br />
 +
ebből magic: K = e<sup>y + 2</sup> - x<br />
 +
kifejezzük y-t:<br />
 +
y = ln( x + K ) - 2<br />
 +
Ha kérdeznek lokális szélsőértéket, akkor y'-at kell megvizsgálni helyettesítéssel<br />
 +
Az inflexiós ponthoz y<sup>(2)</sup>-at kell megnézni:<br />
 +
y<sup>(2)</sup> > 0 --> lokális minimum<br />
 +
y<sup>(2)</sup> < 0 --> lokális maximum<br />
 +
Ha párhuzamosságot kérdeznek, akkor a meredekség = K-val.<br />
 +
Ezekhez ajánlott megnézni par feladatot, és azon értelmezni :D<br />
 +
<br />
 +
== Lineáris rekurzió ==
 +
(ez nagyon magic)<br />
 +
megoldás alakja: f(n) = q<sup>n</sup> // q != 0<br />
 +
'''pelda:'''<br />
 +
f(n) = 4 * f * (n - 1) - 3 * f * (n - 2)<br />
 +
ebből:<br />
 +
q<sup>n</sup> = 4 * q<sup>n - 1</sup> - 3 * q<sup>n - 2</sup><br />
 +
a legalacsonyabb hatványú q-val osztunk.<br />
 +
q<sup>2</sup> = 4 * q - 3 --> másodfokú<br />
 +
q<sub>1</sub> = 1<br />
 +
q<sub>2</sub> = 3<br />
 +
ebből:
 +
f(n) = C1 * 1<sup>n</sup> + C2 * 3<sup>n</sup><br />
 +
Ha O(1) típusú megoldások kellenek:<br />
 +
f(n) = O(1): létezik olyan K, hogy |f(n)| <= K * 1, n > N (veges sok kivétel)<br />
 +
tehát: f(n)-nek korlatosnak kell lenni:<br />
 +
C2 = 0<br />
 +
<br />
 +
== Taylor sorok ==
 +
// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I<br />
 +
A Taylor sorok arra jók, hogy egy függvényt közelítsünk a deriváltjai segítségével. <br />
 +
Fun fact: ezt régebben arra is használták, hogy a 'drága' sin/cos és hasonló fv-eket helyettesítsek egy 'olcsó' változattal.<br />
 +
f(x) függvény x0 bázispontú n-ed fokú Taylor polinomja:<br />
 +
<math> \sum_{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(x0)} { k!} * (x - x0)^k </math> <br />
 +
 
 +
tehát ahhoz, hogy felírjuk a T-sorát egy függvénynek n db deriváltra lesz szükség.<br />
 +
Analitikus függvény: egy intervallumon analitikus egy függvény, ha ott előállítja a T-sora<br />
 +
=== Nevezetes függvények T-sorai ===
 +
<math>\frac {x^m} {1-x} = \sum_{k=m}^{\infty} x^k  \rightarrow Konvergencia tartomány: |x| < 1 </math> <br />
 +
<math>e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {x^k} { k!} \rightarrow KT: x \in R </math> <br />
 +
<math>ln(1+x) = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{x^{k}}{k} \rightarrow KT :|x| < 1 </math> <br />
 +
<math>(1 + x)^a = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{a}{k}* x^k  \rightarrow |x| < 1, a \in C </math> <br />
 +
<math>\sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 * k + 1)!} * x^{2 * k + 1}  \rightarrow KT: x \in R</math><br />
 +
<math>\cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 * k)!} * x^{2 * k }  \rightarrow KT: x \in R </math><br />
 +
<math>\sinh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 * k+1)!} * x^{2 * k + 1}  \rightarrow KT: x \in R </math><br />
 +
<math>\cosh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 * k)!} * x^{2 * k }  \rightarrow KT: x \in R </math><br />
 +
 
 +
=== Lagrange-hiba becsles ===
 +
Tehát a hibát meg lehet becsülni az n+1-ik T-sor taggal.<br />
 +
xi eleme lesz az [x ; x0] tartománynak, érdemes úgy választani, hogy egyszerű legyen számolni (pl x0 általában jó)<br />
 +
Lagrange-hiba: ( f<sup>n + 1</sup>(xi) / (n + 1)! ) * (x - xi)<sup>n + 1</sup><br />
 +
'''Példa (keresztről):'''<br />
 +
y' = sin( y ) + 2 + x<br />
 +
y( x = π ) = 1<br />
 +
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell)<br />
 +
felső becsles a hibára?<br />
 +
y'( x = π ) = sin( 1 ) + 2 + π // itt az 1 elvileg radiánban van --> számológép!<br />
 +
y<sup>(2)</sup>( x = π ) = cos( y ) * y' + 1 = cos( 1 ) * ( sin( 1 ) + 2 + π ) + 1<br />
 +
T( x0 = π ) = y( π ) + y'( π ) * (x - π) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + π ) * (x - π)<br />
 +
y(3) ~= T( x0 = π, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + π ) * (3 - π) ~= -0.2 // ezt a tanár nagyon becsülte!<br />
 +
létezik olyan xi, hogy [3 ; π] tartományban van, mivel felső becslest csinálunk, ezert π-t választjuk xi-nek.<br />
 +
hiba = | y(3) - T( x0 = π, x = 3 ) | = Lagrange = ( f<sup>(2)</sup>(xi) / 2! ) * (3 - π)<sup>2</sup> ~= 0.1 // meg ezt is!<br />
 +
tehát a megoldás: -0.2 +- 0.1<br />
 +
<br />
 +
 
 +
=== Konvergencia tartomány (KT) ===
 +
Általában meg van adva vmi T-sor, szummás alakban. Erre alkalmazzuk a hányados / gyökkritériumot.<br />
 +
|a<sub>n</sub>|<sup>1/n</sup> vagy | (a<sub>n</sub> + 1) / a<sub>n</sub> |<br />
 +
ezután kijön vmi, ami egyenlő 1 / R-el, kifejezzük R-t.<br />
 +
az (x - x0) = 0 egyenletből megkapjuk x-et, ez lesz a KT középpontja.<br />
 +
tehát KT = (x - R, x + R)<br />
 +
végpontokban külön meg kell nézni: <br />
 +
ha divergens --> (<br />
 +
ha konvergens --> [ <br />
 +
kell.<br />
 +
Ha x<sup>2</sup> van (már nem tudom hol, nézz rá feladatot :D ), akkor u = x<sup>2</sup> (helyettesítünk)<br />
 +
a végén meg kell nézni, hogy a KT jó-e.<br />
 +
a <= u=x<sup>2</sup> <= b<br />
 +
ez minden x-re teljesül --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) )<br />
 +
<br />
 +
 
 +
== Fourier-sorok ==
 +
Megoldás lepései:<br />
 +
* fel kell rajzolni a függvényt
 +
* ha a függvény páros --> b<sub>k</sub> = 0
 +
* ha a függvény páratlan --> a<sub>k</sub> = 0, a0 = 0
 +
* Φ(x) = a0 / 2 + sum( a<sub>k</sub><sup>cos(k * x) + sin(k * x)</sup> )
 +
* a<sub>k</sub> = 1 / π * ʃ<sup>π</sup><sub>-π</sub> f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
 +
* b<sub>k</sub> = 1 / π * ʃ<sup>π</sup><sub>-π</sub> f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
 +
* páratlan * páratlan = páros // ezt már nem tudom miért volt a lapon :D --> nézzél feladatot
 +
* ha [-π ; 0] és [0 ; π] között ugyanaz a függvény, akkor ez páros függvény lesz
 +
* ekkor elég [0 ; π] -ig integrálni. A 0 értékű tartományokat ezután ki lehet venni.
 +
* ki kell integrálni a függvényt
 +
* vissza kell helyettesíteni Φ(x)-be
 +
* Φ(x) = f(x) --> be kell helyettesíteni, a szakadási helyeknél: ( f(x+) + f(x-) ) / 2
 +
<br />
 +
 
 +
== Gradiens (aka többváltozós fv-ek deriválása) ==
 +
Általában adott P0 = (a, b) vektor.<br />
 +
gradf(P0) = f '<sub>x</sub>(P0) * i + f '<sub>y</sub>(P0) * j = (f '<sub>x</sub>, f '<sub>y</sub>) // itt i, j egységvektorok<br />
 +
f '<sub>x</sub> illetve f '<sub>y</sub> úgy jön ki, hogy x illetve y szerint deriválsz. <br />
 +
Pl ha x szerint deriválsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni.<br />
 +
df/de|P0 = gradf(P0) * e // itt e az egységvektor, amit általában megadnak, néha normalizálni kell, a szorzás a két vektor komponensek szerinti szorzása (tehát nem skalár vagy vektor szorzás)<br />
 +
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f '<sub>x</sub>)<sup>2</sup> + (f '<sub>y</sub>)<sup>2</sup>) // azaz a vektor hossza<br />
 +
a maximum iránya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizálod<br />
 +
Miért létezik gradf? mert a parciális deriváltak f 'x és f 'y léteznek és f(x,y) folytonos P0-ban<br />
 +
Akkor totálisan differenciálható, ha a parciális deriváltak folytonosak P0 pontban, tehát létezik a határértékük // vagy mi :D<br />
 +
<br />
 +
f(x,y) P<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>) érintősík egyenlete: f '<sub>x</sub>(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>) * (x - x<sub>0</sub>) + f '<sub>y</sub>(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>) * (y - y<sub>0</sub>) +  f(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>) = z<br />
 +
<br />
 +
 
 +
Megoldási menet kétváltozós szélsőértékszámítás:<br />
 +
<br />
 +
1) <br />
 +
Adott f( x,y) kétváltozós függvény <br />
 +
 +
f '<sub>x</sub> = ....... = 0<br />
 +
f '<sub>y</sub> = ....... = 0<br />
 +
lehetséges szélsőérték <br />
 +
<br />
 +
p<sub>1</sub>(..,..)<br />
 +
p<sub>2</sub>(..,..)<br />
 +
p<sub>3</sub>(..,..)<br />
 +
<br />
 +
2)<br />
 +
<br />
 +
f ′′xx = ...<br />
 +
f ′′xy = ...<br />
 +
f ′′yy = ...<br />
 +
<br />
 +
3) <br />
 +
<math>
 +
D=
 +
\left (\begin{matrix}
 +
f'' _{xx} & f'' _{xy} \\
 +
f'' _{yx} & f'' _{yy}
 +
\end{matrix} \right)
 +
= ...
 +
</math>
 +
<br />
 +
Ha D(p1) =......> 0 akkor szélsőérték <br />
 +
Ha D(p1) =......< 0 akkor nem szélsőérték! <br />
 +
<br />
 +
Vagy <br />
 +
D = f ′′xx f ′′yy − (f ′′xy)<sup>2</sup> = ... <br />
 +
<br /> 
 +
4) <br />
 +
f ''<sub>xx</sub>(p1) =.... ha > 0 akkor min vagy ha < 0 akkor max<br />
 +
<br />
 +
 
 +
== Körintegrál ==
 +
Ebből en két fajtával találkoztam:<br />
 +
* amikor az alakzat egy kor
 +
* amikor az alakzat egy ellipszis
 +
Az integrál alakja általában:<br />
 +
ʃ f(z) / (z - z0)<sup>n + 1</sup> dz<br />
 +
A tartomány alakja: <br />
 +
* |z - a| = x // x sugarú, a középpontú kor
 +
* |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis
 +
Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nézz utána!)<br />
 +
Itt négy eset jöhet szoba:<br />
 +
* ha z0 a koron kívülre esik, akkor a függvény reguláris, ʃ f(z) ds = 0
 +
* ha z0 pont a körön van --> nem értelmezett az integrál
 +
* ha z0 a körben van --> ʃ f(z) / (z - z0)<sup>n + 1</sup> dz = (2 * π * i) / n! * f<sup>(n)</sup>(z0)
 +
* ha több z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor kettő integrál összegére kell bontani, majd mind a kettőre |z|-t úgy kell választani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nézz feladatot!), természetesen ilyenkor előbb meg kell nézni az előző három pontot, hogy esetleg nem értelmezzük, kívül esik-e stb. mert akkor nem kell integrálni...
 +
<br />
 +
'''Példa:'''<br />
 +
ʃ ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz<br />
 +
tartomány: |z - 2 * i| = 2<br />
 +
tehát a középpont = 2 * i<br />
 +
z0 = -8<br />
 +
r = 2<br />
 +
ebből felrajzoljuk a kort, és akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehát ʃ f(z) dz = 0<br />
 +
<br />
 +
'''Példa 2:'''<br />
 +
ʃ cos( z ) / ( z<sup>4</sup> + 8 * z<sup>2</sup> + 16 ) dz<br />
 +
tartomány: |z + 2| + |z - 2| = 5<br />
 +
tehát ez egy ellipszis lesz, több z0 is van.<br />
 +
r = 5<br />
 +
A z0-ok kiszámolása:<br />
 +
z<sup>4</sup> + 8 * z<sup>2</sup> + 16 = (z<sup>2</sup> + 4) * (z<sup>2</sup> + 4)<br />
 +
sqrt(z<sup>2</sup>) = -4<br />
 +
z<sub>1</sub> = 2 * i<br />
 +
z<sub>2</sub> = -2 * i<br />
 +
felrajzoljuk:<br />
 +
http://i.imgur.com/oon9cwS.png<br />
 +
Ki kell kiszámolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak.<br />
 +
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2.<br />
 +
Tehát (Pitagorasz-tétel, huh?):
 +
b = sqrt( (R / 2)<sup>2</sup> - 2<sup>2</sup> ) = 1.5 // a 2 az A-ból jött, R = 5 ugye<br />
 +
tehát a két z0 kívül esik, emiatt ʃ f(z) dz = 0<br />
 +
<br />
 +
'''Érdemes a többi típusra is nézni feladatot!'''<br />
 +
<br />
 +
== Alternatív koordinátarendszerek ==
 +
=== Polárkoordináták ===
 +
Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y)<br />
 +
polárban: v = (r, φ)<br />
 +
Átváltás:<br />
 +
x = r * cos( φ )<br />
 +
y = r * sin( φ )<br />
 +
itt r a vektor hossza, φ az x tengellyel bezárt szög<br />
 +
r = sqrt( x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> )<br />
 +
φ eleme [0 ; 2 * π]<br />
 +
Jakobi determináns |J|:<br />
 +
|matrix| = r // azaz az alábbi matrix determinánsa<br />
 +
A matrix első oszlopa az r szerinti deriváltakból áll, a második pedig a φ szerintiekből. // HF: számold ki ;)<br />
 +
Ha pl egy integrálnál at kell váltani a koordinátarendszert, akkor a függvényt az átváltás után be kell szorozni |J|-vel.<br />
 +
ez a típus hasznos x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> esetben (amikor ilyesmi van az integrálban)<br />
 +
<br />
 +
=== Hengerkoordináták ===
 +
ugyanaz mint a polar csak térben, hozzájön z = z is (nem változik)<br />
 +
ez a típus hasznos x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> + z<sup>2</sup> esetben<br />
 +
|J| ugyanaz mint a polárnal.<br />
 +
<br />
 +
=== Gömbkoordináták ===
 +
ugyanaz mint a henger, csak itt egy gömb felületen van az egész.<br />
 +
átváltás:<br />
 +
x = r * sin( β ) * cos( φ )<br />
 +
y = r * sin( β ) * sin( φ )<br />
 +
z = r * cos( β )<br />
 +
r = sqrt( x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> + z<sup>2</sup> )<br />
 +
φ eleme [0 ; 2 * π]<br />
 +
β eleme [0 ; π]<br />
 +
|J| = r<sup>2</sup> * sin( β )<br />
 +
A matrix első oszlopa az r szerinti deriváltak (már 3 elem), a második a φ szerinti deriváltak, a harmadik a β szerintiek. // HF: számold ki ;)<br />
 +
<br />
 +
'''Példa:'''<br />
 +
ʃʃ (2 * x<sup>2</sup> + 2 * y<sup>2</sup> + 4)<sup>7</sup> dT = ?<br />
 +
T: x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> <= 9, x <= 0, y >= 0<br />
 +
Itt kérdés a tartomány amin integrálni kéne.<br />
 +
Jah és van amikor két alakzat által bezárt területet/térfogatot kérdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nézni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldás)<br />
 +
T első részéből megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3<br />
 +
A második, harmadik részből megtudjuk, hogy ennek a körnek a második negyedének a területe kell.<br />
 +
Tehát φ eleme [π / 2 ; π] tartománynak (itt kell majd integrálni)<br />
 +
x = r * cos( φ ) = 3 * cos( φ )<br />
 +
y = r * sin( φ ) = 3 * sin( φ )<br />
 +
Ne felejts el beszorozni |J|-vel!<br />
 +
átváltás után:<br />
 +
ʃʃ r * ( 2 * r<sup>2</sup> + 4 )<sup>7</sup> dφ dr // tartomány: r: [0 ; 3], φ: [π / 2 ; π]<br />
 +
ezt már ki tudjuk integrálni, a megoldás: π / 64 * ( 22<sup>8</sup> - 4<sup>8</sup> )<br />
 +
<br />
 +
'''Példa 2:'''<br />
 +
Térfogatszámítasos integrál. <br />
 +
T: sqrt( x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> ) <= z <= 6 - ( x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> )<br />
 +
Ilyenkor az integrált ʃʃ 1 dT-nek kell tekinteni, és itt ki kell találni, hogy hol integráljunk, illetve, hogy mit ( |J| )<br />
 +
T bal és jobb oldalából, ha felrajzoljuk, akkor latszik, hogy ez egy két görbe közötti terület lesz.<br />
 +
Mivel x<sup>2</sup> és y<sup>2</sup> illetve z van, ezert hengerkoordinátákat fogunk használni. (azért nem gömbit, mert az bonyolultabb)<br />
 +
T polárral: R <= z <= 6 - R<sup>2</sup><br />
 +
amint az előző példánál említettem, itt meg kell nézni, hogy hol találkozik a két görbe.<br />
 +
R = 6 - R<sup>2</sup> --> másodfokú, R<sub>1</sub> = -3, R<sub>2</sub> = 2, ebből a -3 nem valószínű, hogy jó.<br />
 +
Tehát az integrál a következő lesz:<br />
 +
ʃʃʃ r dz dr dφ, a tartomány:<br />
 +
z: [r ; 6 - r<sup>2</sup> // ezzel nem tudunk mit csinálni, viszont meg így is számolható lesz.<br />
 +
r: [0 ; 2]<br />
 +
φ: [0 ; 2 * π] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapértelmezett tartományt használjuk.<br />
 +
Innen ez már simán kiintegrálható, nekem 33.51 jött ki.<br />
 +
<br />
 +
'''Példa 3:'''<br />
 +
Tartománycserés integrál.<br />
 +
ʃʃ (1 + x<sup>3</sup>)<sup>1 / 5</sup> dx dy<br />
 +
T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16]<br />
 +
Ha felrajzoljuk a tartományt, akkor láthatjuk, hogy ez valami vitorla alakú izé lesz. <br />
 +
Mikmakról tanult GTK-s (elfordítod a koordinátarendszert, mert az milyen jó...) módszerrel a tartomány első felénél:<br />
 +
kifejezzük y-t: y = (2 * x)<sup>2</sup><br />
 +
Tehát ami történt az az, hogy x(y)-ból áttranszformáltuk y(x)-re (tehát GTK-s ból a normálisra)<br />
 +
Ha ránézünk a rajzra, akkor láthatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz.<br />
 +
Tehát az integrál a következő lesz:<br />
 +
ʃʃ (1 + x<sup>3</sup>)<sup>1 / 5</sup> dy dx<br />
 +
T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 * x)<sup>2</sup>]<br />
 +
Innen ez is simán kiintegrálható.<br />
 +
<br />
 +
 
 +
== Komplex függvénytan ==
 +
=== Komplex számok ===
 +
z = x + i * y // itt x a valós rész, y a képzetes, i = sqrt(-1)<br />
 +
f komplex differenciálható mindenhol --> u,v harmonikus fv-ek --> Δ u = u ' '<sub>xx</sub> + u ' '<sub>yy</sub> = 0<br />
 +
<br />
 +
'''Azonosságok:'''<br />
 +
|z| = sqrt( x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> )<br />
 +
/z = x - i * y // konjugált<br />
 +
|z1 * z2| = |z1| * |z2|<br />
 +
|z1 / z2| = |z1| / |z2|<br />
 +
|z|<sup>2</sup> = z * /z<br />
 +
|z| = |/z|<br />
 +
arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezárt szög, trigonometrikusnál φ<br />
 +
/(z1 + z2) = /z1 + /z2<br />
 +
<br />
 +
'''Trigonometrikus alak:'''<br />
 +
z = r * ( cos(φ) + i * sin(φ) ) // itt r a vektor hossza, φ az x tengellyel bezárt szög<br />
 +
r = |z|<br />
 +
φ = arg(z) // φ: [-π ; π]<br />
 +
<br />
 +
'''Exponenciális alak:'''<br />
 +
z = r * e<sup>φ * i</sup> // úgy lehet megjegyezni, hogy Réffy J. (már akit tanított)<br />
 +
<br />
 +
'''Komplex szorzás:'''<br />
 +
z1 * z2 = r1 * r2 * ( cos(φ + b) + i * sin(φ + b) ) = r1 * r2 * e<sup>(φ + b) * i</sup><br />
 +
<br />
 +
'''Osztás:'''<br />
 +
z1 / z2 = r1 / r2 * ( cos(φ - b) + i * sin(φ - b) ) = r1 / r2 * e<sup>(φ - b) * i</sup><br />
 +
<br />
 +
'''Hatványozás:'''<br />
 +
z<sup>n</sup> = r<sup>n</sup> * ( cos(φ * n) + i * sin(φ * n) )<br />
 +
<br />
 +
'''Gyökvonás:'''<br />
 +
z<sup>1 / n</sup> = r<sup>1 / n</sup> * e<sup>( (φ + 2 * k * π) / n ) * i</sup> = r<sup>1 / n</sup> * ( cos( (φ + 2 * k * π) / n ) + i * sin( (φ + 2 * k * π) / n ) )<br />
 +
<br />
 +
'''Euler-formula:'''<br />
 +
e<sup>i * φ</sup> = cos(φ) + i * sin(φ) // erre nézz feladatot!<br />
 +
<br />
 +
 
 +
=== Harmonikus függvények ===
 +
f(z) = u(x, y) + i * v(x, y) //azaz u a valós rész, v a képzetes rész (függvény)<br />
 +
Azonosságok:<br />
 +
u'x = v'y<br />
 +
u'y = -v'x<br />
 +
u<sup>(2)</sup>xx = v<sup>(2)</sup>yx<br />
 +
u<sup>(2)</sup>yy = -v<sup>(2)</sup>xy<br />
 +
u<sup>(2)</sup>xy = v<sup>(2)</sup>yy<br />
 +
u<sup>(2)</sup>yx = -v<sup>(2)</sup>xx<br />
 +
Young tétel: ha egy pont környékén a >= 2 fokú parciális deriváltak léteznek és folytonosak, akkor függetlenek a deriválás sorrendjétől. Tehát xy és yx ugyanaz lesz.<br />
 +
Δu = u<sup>(2)</sup>xx + u<sup>(2)</sup>yy<br />
 +
'''Lokális szélsőértékek:'''<br />
 +
van, ha f'x = f'y = 0, és // szükséges feltétel<br />
 +
|f<sup>(2)</sup>xx  f<sup>(2)</sup>xy|<br />
 +
|f<sup>(2)</sup>yx  f<sup>(2)</sup>yy|<br />
 +
|det| > 0 <br />
 +
Ha f<sup>(2)</sup>xx > 0 --> lokális minimum<br />
 +
Ha f<sup>(2)</sup>xx < 0 --> lokális maximum<br />
 +
// note: néha a valós részből kell a képzetest kiszámolni. Ilyenkor kiszámolod az elsőfokú deriváltakat, abból ugye megkapod a képzetes elsőfokú deriváltjait, ezt viszont vissza lehet integrálni. --> erre nézz feladatot<br />
 +
<br />
 +
 
 +
{{Vissza|Analízis II.}}
  
=== Magasabbrendu DE-k ===
+
[[Category:Infoalap]]
=== Homogen linearis, allando egyutthatos DE ===
 
Megoldas: e<sup>y*x</sup> alakban kell keresni. De neha bejon cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszeru.<br />
 
'''Pelda:'''<br />
 
y''' + 2 * y'' + y' = 0<br />
 

A lap jelenlegi, 2019. május 21., 18:14-kori változata

← Vissza az előző oldalra – Analízis II.

Fontos

Ezek a 2 félévnyi Analízis 2 (sima/kereszt) alatt gyűltek össze, többnyire típuspéldákra mennek rá, 2-est (elvileg) simán össze lehet vele szedni.

BTW, a kereszt nem azért jött össze, mert a sima nem ment, hanem mert már nem volt időm tanulni a vizsgára. A gyakorlást NEM helyettesíti. Tehát ezt bemagolod, és utána megoldasz sok zh-t / vizsgát, úgy már jó (elvileg :D ).

Keresztet nem ajánlom :D ua. az anyag, de máshogy kérdezik.

Ha nem mész át ezzel, az a TE hibád :P

A pontosításoknak természetesen mindenki örül

Deriválttábla, számológép nem art :P


Alapok

Azonosságok, amiket jó, ha tudsz

sin2(x) + cos2(x) = 1
cosh2(x) - sinh2(x) = 1
sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x)
sin(x + y) = sin(x) * cos(y) + cos(x) * sin(y)
sin(x ‒ y) = sin(x) * cos(y) ‒ cos(x) * sin(y)
cos(x ‒ y) = cos(x) * cos(y) + sin(x) * sin(y)
cos(x + y) = cos(x) * cos(y) ‒ sin(x) * sin(y)
sinh(a+b) = sinh(a) * cosh(b) + cosh(a) * sinh(b) // sincos-cossin (h)
cosh(a+b) = cosh(a) * cosh(b) + sinh(a) * sinh(b) // coscos-sinsin (h)
limx->0 sin(x) / x = 1 // ezek talán meg anal1-ről :P
limx->0 x / sin(x) = 1
f'(x0) = limx->0 ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0)
f'(x0) = limΔx->0 ( f(x0 + Δx) - f(x0) ) / Δx
cosh(x) = ( ex + e-x ) / 2
sinh(x) = ( ex - e-x ) / 2

Deriválás

f'(c * x) = c * f'(x) // konstanssal szorzás
(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) // összeadás
(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x) // szorzás
(f / g)'(x) = ( f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x) ) / g2(x) // osztás
f'( g(x) ) = f'( g(x) ) * g'(x) // összetett fv
(f-1)'(x) = 1 / ( f'( f-1(x) ) ) // inverz fv

Érintő egyenes egyenlete: f(x) = f(x0) + f'(x0) * (x - x0)

Integrálás

ʃ f(x) dx = F(x) + C
ʃ f( φ(x) ) * φ'(x) dx = F( φ(x) ) + C
ʃ fa(x) * f'(x) dx = ( f(x)a + 1 ) / (a + 1) + C // a != -1
ʃ ef(x) * f'(x) dx = ef(x) + C
ʃ f'(x) / f(x) dx = ln| f(x) | + C
ʃ f' * g dx = f * g - ʃ f*g' // parciális integrálás
ʃ (a * x + b) dx = F(a * x + b) / a + C // a != 0

Helyettesítéses integrál:
ʃ f(x) dx // ez vmi bonyolult integrált akar lenni :P
u = f(x) // ez lesz a helyettesítés
du = f'(x) //lederiválod f(x)-et, mert le kell vele osztani
ʃ u / f'(x) du = kijön vmi --> visszahelyettesítesz

Parciális törtekre bontás integrálás
EZT VKI LEÍRHATNÁ IDE

Diffegyenletek (DE)

Elsőrendű DE-k

Szeparábilis DE

y'(x) = g(y) * f(x) // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) !!!
Meg kell nézni, hogy g(y) mikor lesz 0
g(y) = 0
Megoldod, ha van megoldás, akkor az egy megoldás lesz!

ʃ 1 / g(y) dy = ʃ f(x) dx
ebből kijön: y = K * h(x) // itt a K = eC ; C az integrálás során keletkezik
néha nem kell pont ilyen alakra hozni, azt jelzik.

Lineáris DE

y'(x) + g(x) * y = f(x) // ilyen alakban kell keresni
y'(x) + g(x) * y = 0 --> homogén lineáris DE --> innen szeparábilis, megoldható
y = K * h(x) --> az inhomogén általánoshoz kell K(x) is
K(x) = ʃ f(x) / h(x) dx
//inhomogén általános megoldása
yia = K * h(x) + K(x) * h(x) // homogén + inhomogén partikuláris megoldás
Kezdeti érték probléma: behelyettesítesz, kijön: K = valami
K-t visszahelyettesíted yia-ba --> megkapod: ykonkrét

DE helyettesítéssel

Példán keresztül bemutatva:
y' = 1 / (x + y)
ezt nehéz lenne bármelyik kategóriába besorolni (lineáris, szeparábilis), így valami helyettesítést kell alkalmazni.
Simán megadták, hogy mik lehetnek a helyettesítések, azokból kellett az egyiket alkalmazni.
Lehetséges helyettesítések:
u = x + y
u = y / x

Ehhez a feladathoz az elsőt választjuk. A célunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapú változó. Tehát:
u = x + y
kifejezzük y-t:
y = u - x
lederiváljuk:
y' = u' - 1
Tehát most már minden változó y', x+y megvan, behelyettesítünk:
u' - 1 = 1 / u
kicsit rendezzük:
u' = 1 + 1 / u = (u + 1) / u
Ez tehát szeparábilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelképezni.
Megnézzük a 0-re vonatkozó megoldást:
g(u) = (u + 1) / u = 0
u = -1
Tehát visszahelyettesítve: y = -1 - x egy megoldása lesz a DE-nek.
Tovább haladunk a megoldással:
ʃ u / (u + 1) du = ʃ 1 dx
A második fele: x + C
Az első fele:
ʃ u / (u + 1) du = ʃ (u + 1 - 1) / (u + 1) du = ʃ 1 - ( 1 / (u + 1) ) du = u - ln| u + 1 | + C

Ezekből:
u - ln| u + 1 | = x + C --> visszahelyettesítünk
x + y - ln| x + y + 1 | = x + c

Magasabbrendű DE-k

Homogén lineáris, állandó együtthatós DE

Megoldás: C * eλ*x alakban kell keresni. De néha bejön cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszerű.
Példa:
y(3) + 2 * y(2) + y' = 0
λ3 + 2 * λ2 + λ = 0
λ * ( λ2 + 2 * λ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatványa (itt 1)
λ * ( λ + 1 )2 = 0
első feléből λ1 = 0
második feléből λ2 = -1
DE 3 megoldás kell!!!
ilyenkor a homogén megoldáshoz hozzárakunk meg x-el beszorzott tagokat

yh = C1 * e0 * x + C2 * e-1 * x + C3 * x * e-1 * x

Példa 2:
y(3) + 4 * y(2) + 13 * y' = 0
λ3 + 4 * λ2 + 13 * λ = 0 // kiemelsz λ-t
λ( λ2 + 4 * λ + 13 ) = 0
λ( (λ + 2)2 + 9 ) = 0
első feléből λ1 = 0
második feléből:
-9 = (λ + 2)2
-91/2 = λ + 2
-91/2 - 2 = λ
3*i - 2 = λ // két darab komplex megoldás lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldásba
-3*i - 2 = λ

yh = C1 * e0 * x + C2 * e-2 * x * cos(3 * x) + C3 * e-2 * x * sin(3 * x)
tehát a valós rész lesz a λ, a képzetes rész pedig a cos/sin (pozitív/negatív) belseje

Példa 3:
adott egy megoldás: 2 * e5 * x - e-3 * x
ebből kell a DE-et felírni.
ebből rögtön latjuk is, hogy λ1 = 5
λ2 = -3
tehát ebből következtethetünk a karakterisztikus egyenletre:
(λ - 5) * (λ + 3) = 0
innentől 'csak' át kell rendezni, és megoldani
λ2 + 3 * λ - 5 * λ - 15 = 0
λ2 - 2 * λ - 15 = 0
y(2) - 2 * y - 15 = 0

Inhomogén lineáris, állandó együtthatós DE

absztrakt példa:
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = f(x)
Ebből kell a homogén DE megoldása.
a(x) * y(2) + b(x) * y' + c(x) * y = 0
yh = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az eλ*x -os alak
Az inhomogén partikuláris megoldása ebből az alábbi alakban lesz:
itt C1 és C2 ismeretlenek, y1, és (opcionálisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-ből 'generálódnak' (lásd alább)
c * | yip = C1 * y1(x) + C2 * y2(x)
b * | y'ip = C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) + C1' * y1(x) + C2 * y2'(x)
// note: C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) = 0
a * | y(2)ip = C1' * y1'(x) + C1 * y1(2)(x) + C2' * y2'(x) + C2 * y2(2)(x)
ezt C1, C2-re kell megoldani.
ezután az inhomogén általános megoldás = homogén megoldás + inhomogén partikuláris megoldás
Speciális f(x) esetek:
itt A, Bi ismeretlenek
f(x) = K * ea * x --> yip = A * ea * x
f(x) = amxm+ ... + a0 --> yip = Bmxm+ ... + B0
f(x) = K1 * sin(a * x) --> yip = A * sin(a * x) + B * cos(a * x) // tehát bejön egy cos(a * x) is!
f(x) = K2 * cos(b * x) --> yip = A * cos(b * x) + B * sin(b * x) // tehát bejön egy sin(b * x) is!

Konkrét példa:
y(2) - 5 * y' + 6 * y = 2 * sin(2 * x)
λ2 - 5 * λ + 6 = 0
λ1 = 2
λ2 = 3
yh = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x
yip = A * f(x) + B * f'(x)

// annyiszor kell deriválni yip-t, amennyi fokú az eredeti DE is (itt 2)
// ha a homogének között szerepel az yip, akkor külső rezonancia van!
// tehát yip *= x, és utána már lehet deriválni --> ezt kell gyakorolni
// magic: be kell szorozni a deriváltakat az együtthatókkal
6 * | yip = A * sin(2 * x) + B * cos(2 * x)
-5 * | y'ip = 2 * A * cos(2 * x) - 2 * B * sin(2 * x)
1 * | y(2)ip = -4 * A * sin(2 * x) - 4 * B * cos(2 * x)
// magic: Ha megnézed, akkor beszoroztam az elején levő számokkal ott ahol kellett.
sin(2 * x)-ből 2 volt az eredeti DE-ben, tehát:
2 = 6 * A + 5 * 2 * B - 4 * A
cos(2 * x)-ből 0 volt az eredeti DE-ben, tehat:
0 = 6 * B - 5 * 2 * A - 4 * B
ezekből:
A = 1 / 26
B = 5 / 26
yia = C1 * e2 * x + C2 * e3 * x + (1 / 26) * sin(2 * x) + (5 / 26) * cos(2 * x)

Izoklinák

példa:
y' = ey + 2 - x
ebből magic: K = ey + 2 - x
kifejezzük y-t:
y = ln( x + K ) - 2
Ha kérdeznek lokális szélsőértéket, akkor y'-at kell megvizsgálni helyettesítéssel
Az inflexiós ponthoz y(2)-at kell megnézni:
y(2) > 0 --> lokális minimum
y(2) < 0 --> lokális maximum
Ha párhuzamosságot kérdeznek, akkor a meredekség = K-val.
Ezekhez ajánlott megnézni par feladatot, és azon értelmezni :D

Lineáris rekurzió

(ez nagyon magic)
megoldás alakja: f(n) = qn // q != 0
pelda:
f(n) = 4 * f * (n - 1) - 3 * f * (n - 2)
ebből:
qn = 4 * qn - 1 - 3 * qn - 2
a legalacsonyabb hatványú q-val osztunk.
q2 = 4 * q - 3 --> másodfokú
q1 = 1
q2 = 3
ebből: f(n) = C1 * 1n + C2 * 3n
Ha O(1) típusú megoldások kellenek:
f(n) = O(1): létezik olyan K, hogy |f(n)| <= K * 1, n > N (veges sok kivétel)
tehát: f(n)-nek korlatosnak kell lenni:
C2 = 0

Taylor sorok

// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I
A Taylor sorok arra jók, hogy egy függvényt közelítsünk a deriváltjai segítségével.
Fun fact: ezt régebben arra is használták, hogy a 'drága' sin/cos és hasonló fv-eket helyettesítsek egy 'olcsó' változattal.
f(x) függvény x0 bázispontú n-ed fokú Taylor polinomja:
[math] \sum_{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(x0)} { k!} * (x - x0)^k [/math]

tehát ahhoz, hogy felírjuk a T-sorát egy függvénynek n db deriváltra lesz szükség.
Analitikus függvény: egy intervallumon analitikus egy függvény, ha ott előállítja a T-sora

Nevezetes függvények T-sorai

[math]\frac {x^m} {1-x} = \sum_{k=m}^{\infty} x^k \rightarrow Konvergencia tartomány: |x| \lt 1 [/math]
[math]e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {x^k} { k!} \rightarrow KT: x \in R [/math]
[math]ln(1+x) = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{x^{k}}{k} \rightarrow KT :|x| \lt 1 [/math]
[math](1 + x)^a = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{a}{k}* x^k \rightarrow |x| \lt 1, a \in C [/math]
[math]\sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 * k + 1)!} * x^{2 * k + 1} \rightarrow KT: x \in R[/math]
[math]\cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {-1^k} {(2 * k)!} * x^{2 * k } \rightarrow KT: x \in R [/math]
[math]\sinh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 * k+1)!} * x^{2 * k + 1} \rightarrow KT: x \in R [/math]
[math]\cosh(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {1} {(2 * k)!} * x^{2 * k } \rightarrow KT: x \in R [/math]

Lagrange-hiba becsles

Tehát a hibát meg lehet becsülni az n+1-ik T-sor taggal.
xi eleme lesz az [x ; x0] tartománynak, érdemes úgy választani, hogy egyszerű legyen számolni (pl x0 általában jó)
Lagrange-hiba: ( fn + 1(xi) / (n + 1)! ) * (x - xi)n + 1
Példa (keresztről):
y' = sin( y ) + 2 + x
y( x = π ) = 1
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell)
felső becsles a hibára?
y'( x = π ) = sin( 1 ) + 2 + π // itt az 1 elvileg radiánban van --> számológép!
y(2)( x = π ) = cos( y ) * y' + 1 = cos( 1 ) * ( sin( 1 ) + 2 + π ) + 1
T( x0 = π ) = y( π ) + y'( π ) * (x - π) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + π ) * (x - π)
y(3) ~= T( x0 = π, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + π ) * (3 - π) ~= -0.2 // ezt a tanár nagyon becsülte!
létezik olyan xi, hogy [3 ; π] tartományban van, mivel felső becslest csinálunk, ezert π-t választjuk xi-nek.
hiba = | y(3) - T( x0 = π, x = 3 ) | = Lagrange = ( f(2)(xi) / 2! ) * (3 - π)2 ~= 0.1 // meg ezt is!
tehát a megoldás: -0.2 +- 0.1

Konvergencia tartomány (KT)

Általában meg van adva vmi T-sor, szummás alakban. Erre alkalmazzuk a hányados / gyökkritériumot.
|an|1/n vagy | (an + 1) / an |
ezután kijön vmi, ami egyenlő 1 / R-el, kifejezzük R-t.
az (x - x0) = 0 egyenletből megkapjuk x-et, ez lesz a KT középpontja.
tehát KT = (x - R, x + R)
végpontokban külön meg kell nézni:
ha divergens --> (
ha konvergens --> [
kell.
Ha x2 van (már nem tudom hol, nézz rá feladatot :D ), akkor u = x2 (helyettesítünk)
a végén meg kell nézni, hogy a KT jó-e.
a <= u=x2 <= b
ez minden x-re teljesül --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) )

Fourier-sorok

Megoldás lepései:

  • fel kell rajzolni a függvényt
  • ha a függvény páros --> bk = 0
  • ha a függvény páratlan --> ak = 0, a0 = 0
  • Φ(x) = a0 / 2 + sum( akcos(k * x) + sin(k * x) )
  • ak = 1 / π * ʃπ f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
  • bk = 1 / π * ʃπ f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
  • páratlan * páratlan = páros // ezt már nem tudom miért volt a lapon :D --> nézzél feladatot
  • ha [-π ; 0] és [0 ; π] között ugyanaz a függvény, akkor ez páros függvény lesz
  • ekkor elég [0 ; π] -ig integrálni. A 0 értékű tartományokat ezután ki lehet venni.
  • ki kell integrálni a függvényt
  • vissza kell helyettesíteni Φ(x)-be
  • Φ(x) = f(x) --> be kell helyettesíteni, a szakadási helyeknél: ( f(x+) + f(x-) ) / 2


Gradiens (aka többváltozós fv-ek deriválása)

Általában adott P0 = (a, b) vektor.
gradf(P0) = f 'x(P0) * i + f 'y(P0) * j = (f 'x, f 'y) // itt i, j egységvektorok
f 'x illetve f 'y úgy jön ki, hogy x illetve y szerint deriválsz.
Pl ha x szerint deriválsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni.
df/de|P0 = gradf(P0) * e // itt e az egységvektor, amit általában megadnak, néha normalizálni kell, a szorzás a két vektor komponensek szerinti szorzása (tehát nem skalár vagy vektor szorzás)
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f 'x)2 + (f 'y)2) // azaz a vektor hossza
a maximum iránya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizálod
Miért létezik gradf? mert a parciális deriváltak f 'x és f 'y léteznek és f(x,y) folytonos P0-ban
Akkor totálisan differenciálható, ha a parciális deriváltak folytonosak P0 pontban, tehát létezik a határértékük // vagy mi :D

f(x,y) P0(x0,y0) érintősík egyenlete: f 'x(x0,y0) * (x - x0) + f 'y(x0,y0) * (y - y0) + f(x0,y0) = z

Megoldási menet kétváltozós szélsőértékszámítás:

1)
Adott f( x,y) kétváltozós függvény

f 'x = ....... = 0
f 'y = ....... = 0
lehetséges szélsőérték

p1(..,..)
p2(..,..)
p3(..,..)

2)

f ′′xx = ...
f ′′xy = ...
f ′′yy = ...

3)
[math] D= \left (\begin{matrix} f'' _{xx} & f'' _{xy} \\ f'' _{yx} & f'' _{yy} \end{matrix} \right) = ... [/math]
Ha D(p1) =......> 0 akkor szélsőérték
Ha D(p1) =......< 0 akkor nem szélsőérték!

Vagy
D = f ′′xx f ′′yy − (f ′′xy)2 = ...

4)
f xx(p1) =.... ha > 0 akkor min vagy ha < 0 akkor max

Körintegrál

Ebből en két fajtával találkoztam:

  • amikor az alakzat egy kor
  • amikor az alakzat egy ellipszis

Az integrál alakja általában:
ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz
A tartomány alakja:

  • |z - a| = x // x sugarú, a középpontú kor
  • |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis

Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nézz utána!)
Itt négy eset jöhet szoba:

  • ha z0 a koron kívülre esik, akkor a függvény reguláris, ʃ f(z) ds = 0
  • ha z0 pont a körön van --> nem értelmezett az integrál
  • ha z0 a körben van --> ʃ f(z) / (z - z0)n + 1 dz = (2 * π * i) / n! * f(n)(z0)
  • ha több z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor kettő integrál összegére kell bontani, majd mind a kettőre |z|-t úgy kell választani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nézz feladatot!), természetesen ilyenkor előbb meg kell nézni az előző három pontot, hogy esetleg nem értelmezzük, kívül esik-e stb. mert akkor nem kell integrálni...


Példa:
ʃ ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz
tartomány: |z - 2 * i| = 2
tehát a középpont = 2 * i
z0 = -8
r = 2
ebből felrajzoljuk a kort, és akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehát ʃ f(z) dz = 0

Példa 2:
ʃ cos( z ) / ( z4 + 8 * z2 + 16 ) dz
tartomány: |z + 2| + |z - 2| = 5
tehát ez egy ellipszis lesz, több z0 is van.
r = 5
A z0-ok kiszámolása:
z4 + 8 * z2 + 16 = (z2 + 4) * (z2 + 4)
sqrt(z2) = -4
z1 = 2 * i
z2 = -2 * i
felrajzoljuk:
oon9cwS.png
Ki kell kiszámolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak.
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2.
Tehát (Pitagorasz-tétel, huh?): b = sqrt( (R / 2)2 - 22 ) = 1.5 // a 2 az A-ból jött, R = 5 ugye
tehát a két z0 kívül esik, emiatt ʃ f(z) dz = 0

Érdemes a többi típusra is nézni feladatot!

Alternatív koordinátarendszerek

Polárkoordináták

Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y)
polárban: v = (r, φ)
Átváltás:
x = r * cos( φ )
y = r * sin( φ )
itt r a vektor hossza, φ az x tengellyel bezárt szög
r = sqrt( x2 + y2 )
φ eleme [0 ; 2 * π]
Jakobi determináns |J|:
|matrix| = r // azaz az alábbi matrix determinánsa
A matrix első oszlopa az r szerinti deriváltakból áll, a második pedig a φ szerintiekből. // HF: számold ki ;)
Ha pl egy integrálnál at kell váltani a koordinátarendszert, akkor a függvényt az átváltás után be kell szorozni |J|-vel.
ez a típus hasznos x2 + y2 esetben (amikor ilyesmi van az integrálban)

Hengerkoordináták

ugyanaz mint a polar csak térben, hozzájön z = z is (nem változik)
ez a típus hasznos x2 + y2 + z2 esetben
|J| ugyanaz mint a polárnal.

Gömbkoordináták

ugyanaz mint a henger, csak itt egy gömb felületen van az egész.
átváltás:
x = r * sin( β ) * cos( φ )
y = r * sin( β ) * sin( φ )
z = r * cos( β )
r = sqrt( x2 + y2 + z2 )
φ eleme [0 ; 2 * π]
β eleme [0 ; π]
|J| = r2 * sin( β )
A matrix első oszlopa az r szerinti deriváltak (már 3 elem), a második a φ szerinti deriváltak, a harmadik a β szerintiek. // HF: számold ki ;)

Példa:
ʃʃ (2 * x2 + 2 * y2 + 4)7 dT = ?
T: x2 + y2 <= 9, x <= 0, y >= 0
Itt kérdés a tartomány amin integrálni kéne.
Jah és van amikor két alakzat által bezárt területet/térfogatot kérdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nézni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldás)
T első részéből megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3
A második, harmadik részből megtudjuk, hogy ennek a körnek a második negyedének a területe kell.
Tehát φ eleme [π / 2 ; π] tartománynak (itt kell majd integrálni)
x = r * cos( φ ) = 3 * cos( φ )
y = r * sin( φ ) = 3 * sin( φ )
Ne felejts el beszorozni |J|-vel!
átváltás után:
ʃʃ r * ( 2 * r2 + 4 )7 dφ dr // tartomány: r: [0 ; 3], φ: [π / 2 ; π]
ezt már ki tudjuk integrálni, a megoldás: π / 64 * ( 228 - 48 )

Példa 2:
Térfogatszámítasos integrál.
T: sqrt( x2 + y2 ) <= z <= 6 - ( x2 + y2 )
Ilyenkor az integrált ʃʃ 1 dT-nek kell tekinteni, és itt ki kell találni, hogy hol integráljunk, illetve, hogy mit ( |J| )
T bal és jobb oldalából, ha felrajzoljuk, akkor latszik, hogy ez egy két görbe közötti terület lesz.
Mivel x2 és y2 illetve z van, ezert hengerkoordinátákat fogunk használni. (azért nem gömbit, mert az bonyolultabb)
T polárral: R <= z <= 6 - R2
amint az előző példánál említettem, itt meg kell nézni, hogy hol találkozik a két görbe.
R = 6 - R2 --> másodfokú, R1 = -3, R2 = 2, ebből a -3 nem valószínű, hogy jó.
Tehát az integrál a következő lesz:
ʃʃʃ r dz dr dφ, a tartomány:
z: [r ; 6 - r2 // ezzel nem tudunk mit csinálni, viszont meg így is számolható lesz.
r: [0 ; 2]
φ: [0 ; 2 * π] // mivel nem mondtak meg, hogy ezzel mi legyen, ezert az alapértelmezett tartományt használjuk.
Innen ez már simán kiintegrálható, nekem 33.51 jött ki.

Példa 3:
Tartománycserés integrál.
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dx dy
T: x: [sqrt(y) / 2 ; 2], y: [0 ; 16]
Ha felrajzoljuk a tartományt, akkor láthatjuk, hogy ez valami vitorla alakú izé lesz.
Mikmakról tanult GTK-s (elfordítod a koordinátarendszert, mert az milyen jó...) módszerrel a tartomány első felénél:
kifejezzük y-t: y = (2 * x)2
Tehát ami történt az az, hogy x(y)-ból áttranszformáltuk y(x)-re (tehát GTK-s ból a normálisra)
Ha ránézünk a rajzra, akkor láthatjuk, hogy x: [0 ; 2] lesz.
Tehát az integrál a következő lesz:
ʃʃ (1 + x3)1 / 5 dy dx
T: x: [0 ; 2], y: [0 ; (2 * x)2]
Innen ez is simán kiintegrálható.

Komplex függvénytan

Komplex számok

z = x + i * y // itt x a valós rész, y a képzetes, i = sqrt(-1)
f komplex differenciálható mindenhol --> u,v harmonikus fv-ek --> Δ u = u ' 'xx + u ' 'yy = 0

Azonosságok:
|z| = sqrt( x2 + y2 )
/z = x - i * y // konjugált
|z1 * z2| = |z1| * |z2|
|z1 / z2| = |z1| / |z2|
|z|2 = z * /z
|z| = |/z|
arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezárt szög, trigonometrikusnál φ
/(z1 + z2) = /z1 + /z2

Trigonometrikus alak:
z = r * ( cos(φ) + i * sin(φ) ) // itt r a vektor hossza, φ az x tengellyel bezárt szög
r = |z|
φ = arg(z) // φ: [-π ; π]

Exponenciális alak:
z = r * eφ * i // úgy lehet megjegyezni, hogy Réffy J. (már akit tanított)

Komplex szorzás:
z1 * z2 = r1 * r2 * ( cos(φ + b) + i * sin(φ + b) ) = r1 * r2 * e(φ + b) * i

Osztás:
z1 / z2 = r1 / r2 * ( cos(φ - b) + i * sin(φ - b) ) = r1 / r2 * e(φ - b) * i

Hatványozás:
zn = rn * ( cos(φ * n) + i * sin(φ * n) )

Gyökvonás:
z1 / n = r1 / n * e( (φ + 2 * k * π) / n ) * i = r1 / n * ( cos( (φ + 2 * k * π) / n ) + i * sin( (φ + 2 * k * π) / n ) )

Euler-formula:
ei * φ = cos(φ) + i * sin(φ) // erre nézz feladatot!

Harmonikus függvények

f(z) = u(x, y) + i * v(x, y) //azaz u a valós rész, v a képzetes rész (függvény)
Azonosságok:
u'x = v'y
u'y = -v'x
u(2)xx = v(2)yx
u(2)yy = -v(2)xy
u(2)xy = v(2)yy
u(2)yx = -v(2)xx
Young tétel: ha egy pont környékén a >= 2 fokú parciális deriváltak léteznek és folytonosak, akkor függetlenek a deriválás sorrendjétől. Tehát xy és yx ugyanaz lesz.
Δu = u(2)xx + u(2)yy
Lokális szélsőértékek:
van, ha f'x = f'y = 0, és // szükséges feltétel
|f(2)xx f(2)xy|
|f(2)yx f(2)yy|
|det| > 0
Ha f(2)xx > 0 --> lokális minimum
Ha f(2)xx < 0 --> lokális maximum
// note: néha a valós részből kell a képzetest kiszámolni. Ilyenkor kiszámolod az elsőfokú deriváltakat, abból ugye megkapod a képzetes elsőfokú deriváltjait, ezt viszont vissza lehet integrálni. --> erre nézz feladatot

← Vissza az előző oldalra – Analízis II.