Anal2-magic

Fontos

Ezek a 2 felevnyi analizis2 (sima/kereszt) alatt gyultek ossze, tobbnyire tipuspeldakra mennek ra, 2-est (elvileg) siman ossze lehet vele szedni.
A gyakorlast NEM helyettesiti. Tehat ezt bemagolod, es utana megoldasz sok zh-t / vizsgat, ugy mar jo (elvileg :D ).
Keresztet nem ajanlom :D ua. az anyag, de mashogy kerdezik.
Ha nem mesz at ezzel, az a TE hibad :P
A pontositasoknak termeszetesen mindenki orul
Derivalttabla nem art :P
Vegyel nekem egy sort/pizzat:

Alapok

Azonossagok, amiket jo ha tudsz

sin²(x) + cos²(x) = 1
cosh²(x) - sinh²(x) = 1
sinh(a+b) = sinh(a) * cosh(b) + cosh(a) * sinh(b) // sincos-cossin (h)
cosh(a+b) = cosh(a) * cosh(b) + sinh(a) * sinh(b) // coscos-sinsin (h)
lim_x->0 sin(x) / x = 1 // ezek talan meg anal1-rol :P
lim_x->0 x / sin(x) = 1
f'(x0) = lim_x->0 ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0)
f'(x0) = lim_deltax->0 ( f(x0 + deltax) - f(x0) ) / deltax
cosh(x) = ( e^x + e^-x ) / 2
sinh(x) = ( e^x - e^-x ) / 2

Derivalas

f'(c * x) = c * f'(x) // konstanssal szorzas
(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) // osszeadas
(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x) // szorzas
(f / g)'(x) = ( f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x) ) / g²(x) // osztas
f'( g(x) ) = f'( g(x) ) * g'(x) // osszetett fv
(f^-1)'(x) = 1 / ( f'( f^-1(x) ) ) // inverz fv

Erinto egyenes egyenlete: f(x) = f(x0) + f'(x0) * (x - x0)

Integralas

ʃ f(x) dx = F(x) + C
ʃ f( fi(x) ) * fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C
ʃ f^a(x) * f'(x) dx = ( f(x)^{a + 1} ) / (a + 1) + C // a != -1
ʃ e^f(x) * f'(x) dx = e^f(x) + C
ʃ f'(x) / f(x) dx = ln| f(x) | + C
ʃ f' * g dx = f * g - ʃ f*g' // parcialis integralas
ʃ (a * x + b) dx = F(a * x + b) / a + C // a != 0

Helyettesiteses integral:
ʃ f(x) dx // ez vmi bonyolult integralt akar lenni :P
u = f(x) // ez lesz a helyettesites
du = f'(x) //lederivalod f(x)-et, mert le kell vele osztani
ʃ u / f'(x) du = kijon vmi --> visszahelyettesitesz

Parcialis tortekre bontas integralas
EZT VKI LEIRHATNA IDE

Diffegyenletek (DE)

Szeparabilis DE

y'(x) = g(y) * f(x) // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) !!!
Meg kell nezni, hogy g(y) mikor lesz 0
g(y) = 0
Megoldod, ha van megoldas, akkor az egy megoldas lesz!

ʃ 1 / g(y) dy = ʃ f(x) dx
ebbol kijon: y = K * h(x) // itt a K = e^C ; C az integralas soran keletkezik
neha nem kell pont ilyen alakra hozni, azt jelzik.

Linearis DE

y'(x) + g(x) * y = f(x) // ilyen alakban kell keresni
y'(x) + g(x) * y = 0 --> homogen linearis DE --> innen szeparabilis, megoldhato
y = K * h(x) --> az inhomogen altalanoshoz kell K(x) is
K(x) = ʃ f(x) / h(x) dx
//inhomogen altalanos megoldasa
y_ia = K * h(x) + K(x) * h(x) // homogen + inhomogen partikularis megoldas
Kezdeti ertek problema: behelyettesitesz, kijon: K = valami
K-t visszahelyettesited y_ia-ba --> megkapod: y_konkret

DE helyettesitessel

Peldan keresztul bemutatva:
y' = 1 / (x + y)
ezt nehez lenne barmelyik kategoriaba besorolni (linearis, szeparabilis), igy valami helyettesitest kell alkalmazni.
Siman megadtak, hogy mik lehetnek a helyettesitesek, azokbol kellett az egyiket alkalmazni.
Lehetseges helyettesitesek:
u = x + y
u = y / x

Ehhez a feladathoz az elsot valasztjuk. A celunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapu valtozo. Tehat:
u = x + y
kifejezzuk y-t:
y = u - x
lederivaljuk:
y' = u' - 1
Tehat mostmar minden valtozo y', x+y megvan, behelyettesitunk:
u' - 1 = 1 / u
kicsit rendezzuk:
u' = 1 + 1 / u = (u + 1) / u
Ez tehat szeparabilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelkepezni.
Megnezzuk a 0-re vonatkozo megoldast:
g(u) = (u + 1) / u = 0
u = -1
Tehat visszahelyettesitve: y = -1 - x egy megoldasa lesz a DE-nek.
Tovabb haladunk a megoldassal:
ʃ u / (u + 1) du = ʃ 1 dx
A masodik fele: x + C
Az elso fele:
ʃ u / (u + 1) du = ʃ (u + 1 - 1) / (u + 1) du = ʃ 1 - ( 1 / (u + 1) ) du = u - ln| u + 1 | + C

Ezekbol:
u - ln| u + 1 | = x + C --> visszahelyettesitunk
x + y - ln| x + y + 1 | = x + c

Homogen linearis, allando egyutthatos DE

Megoldas: C * e^ʎ*x alakban kell keresni. De neha bejon cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszeru.
Pelda:
y⁽³⁾ + 2 * y⁽²⁾ + y' = 0
ʎ³ + 2 * ʎ² + ʎ = 0 // nem talaltam half-life jelet :(
ʎ * ( ʎ² + 2 * ʎ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1)
ʎ * ( ʎ + 1 )² = 0
elso felebol ʎ₁ = 0
masodik felebol ʎ₂ = -1
DE 3 megoldas kell!!!
ilyenkor a homogen megoldashoz hozzarakunk meg x-el beszorzott tagokat

y_h = C1 * e^{0 * x} + C2 * e^{-1 * x} + C3 * x * e^{-1 * x}

Pelda2:
y⁽³⁾ + 4 * y⁽²⁾ + 13 * y' = 0
ʎ³ + 4 * ʎ² + 13 * ʎ = 0 // kiemelsz ʎ-et
ʎ( ʎ² + 4 * ʎ + 13 ) = 0
ʎ( (ʎ + 2)² + 9 ) = 0
elso felebol ʎ₁ = 0
masodik felebol:
-9 = (ʎ + 2)²
-9^1/2 = ʎ + 2
-9^1/2 - 2 = ʎ
3*i - 2 = ʎ //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba
-3*i - 2 = ʎ

y_h = C1 * e^{0 * x} + C2 * e^{-2 * x} * cos(3 * x) + C3 * e^{-2 * x} * sin(3 * x)
tehat a valos resz lesz a ʎ, a kepzetes resz pedig a cos/sin (pozitiv/negativ) belseje

Pelda3:
adott egy megoldas: 2 * e^{5 * x} - e^{-3 * x}
ebbol kell a DE-et felirni.
ebbol rogton latjuk is, hogy ʎ₁ = 5
ʎ₂ = -3
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre:
(ʎ - 5) * (ʎ + 3) = 0
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani
ʎ² + 3 * ʎ - 5 * ʎ - 15 = 0
ʎ² - 2 * ʎ - 15 = 0
y⁽²⁾ - 2 * y - 15 = 0

Inhomogen linearis, allando egyutthatos DE

absztrakt pelda:
a(x) * y⁽²⁾ + b(x) * y' + c(x) * y = f(x)
Ebbol kell a homogen DE megoldasa.
a(x) * y⁽²⁾ + b(x) * y' + c(x) * y = 0
y_h = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az e^ʎ*x -os alak
Az inhomogen partikularis megoldasa ebbol az alabbi alakban lesz:
itt C1 es C2 ismeretlenek, y1, es (opcionalisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-bol 'generalodnak' (lasd alabb)
c * | y_ip = C1 * y1(x) + C2 * y2(x)
b * | y'_ip = C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) + C1' * y1(x) + C2 * y2'(x)
// note: C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) = 0
a * | y⁽²⁾_ip = C1' * y1'(x) + C1 * y1⁽²⁾(x) + C2' * y2'(x) + C2 * y2⁽²⁾(x)
ezt C1, C2-re kell megoldani.
ezutan az inhomogen altalanos megoldas = homogen megoldas + inhomogen partikularis megoldas
Specialis f(x) esetek:
itt A, B_i ismeretlenek
f(x) = K * e^{a * x} --> y_ip = A * e^{a * x}
f(x) = a_mx^m+ ... + a₀ --> y_ip = B_mx^m+ ... + B₀
f(x) = K₁ * sin(a * x) --> y_ip = A * sin(a * x) + B * cos(a * x) // tehat bejon egy cos(a * x) is!
f(x) = K₂ * cos(b * x) --> y_ip = A * cos(b * x) + B * sin(b * x) // tehat bejon egy sin(b * x) is!

Konkret pelda:
y⁽²⁾ - 5 * y' + 6 * y = 2 * sin(2 * x)
ʎ² - 5 * ʎ + 6 = 0
ʎ₁ = 2
ʎ₂ = 3
y_h = C1 * e^{2 * x} + C2 * e^{3 * x}
y_ip = A * f(x) + B * f'(x)

// annyiszor kell derivalni y_ip-t, amennyi foku az eredeti DE is (itt 2)
// ha a homogenek kozott szerepel az y_ip, akkor kulso rezonancia van!
// tehat y_ip *= x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni
// magic: be kell szorozni a derivaltakat az egyutthatokkal
6 * | y_ip = A * sin(2 * x) + B * cos(2 * x)
-5 * | y'_ip = 2 * A * cos(2 * x) - 2 * B * sin(2 * x)
1 * | y⁽²⁾_ip = -4 * A * sin(2 * x) - 4 * B * cos(2 * x)
// magic: Ha megnezed, akkor beszoroztam az elejen levo szamokkal ott ahol kellett.
sin(2 * x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat:
2 = 6 * A + 5 * 2 * B - 4 * A
cos(2 * x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat:
0 = 6 * B - 5 * 2 * A - 4 * B
ezekbol:
A = 1 / 26
B = 5 / 26
y_ia = C1 * e^{2 * x} + C2 * e^{3 * x} + (1 / 26) * sin(2 * x) + (5 / 26) * cos(2 * x)

Izoklinak

pelda:
y' = e^{y + 2} - x
ebbol magic: K = e^{y + 2} - x
kifejezzuk y-t:
y = ln( x + K ) - 2
Ha kerdeznek lokalis szelso erteket, akkor y'-at kell megvizsgalni helyettesitessel
Az inflexios ponthoz y⁽²⁾-at kell megnezni:
y⁽²⁾ > 0 --> lokalis minimum
y⁽²⁾ < 0 --> lokalis maximum
Ha parhuzamossagot kerdeznek, akkor a meredekseg = K-val.
Ezekhez ajanlott megnezni par feladatot, es azon ertelmezni :D

Linearis rekurzio

(ez nagyon magic)
megoldas alakja: f(n) = qⁿ // q != 0
pelda:
f(n) = 4 * f * (n - 1) - 3 * f * (n - 2)
ebbol:
qⁿ = 4 * q^{n - 1} - 3 * q^{n - 2}
a legalacsonyabb hatvanyu q-val osztunk.
q² = 4 * q - 3 --> masodfoku
q₁ = 1
q₂ = 3
ebbol: f(n) = C1 * 1ⁿ + C2 * 3ⁿ
Ha O(1) tipusu megoldasok kellenek:
f(n) = O(1): letezik olyan K, hogy |f(n)| <= K * 1, n > N (veges sok kivetel)
tehat: f(n)-nek korlatosnak kell lenni:
C2 = 0

Taylor sorok

// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I
A Taylor sorok arra jok, hogy egy fuggvenyt kozelitsunk a derivaltjai segitsegevel.
Fun fact: ezt regebben arra is hasznaltak, hogy a 'draga' sin/cos es hasonlo fv-eket helyettesitsek egy 'olcso' valtozattal.
f(x) fuggveny x0 bazispontu n-ed foku Taylor polinomja:
sumⁿ_k=0( ( f^(k)(x0) / k! ) * (x - x0)^k )
tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg.
Analitikus fuggveny: egy intervallumon ananlitikus egy fuggveny, ha ott eloallitja a T-sora

Nevezetes fuggvenyek T-sorai

x^m / (1 - x) = sumⁿ_k=m( x^k ) --> Konvergencia tartomany: |x| < 1
e^x = sumⁿ_k=0( x^k / k! ) --> KT: x eleme R-nek
ln(1 + x) = sumⁿ_k=0( ( -1^k / (k + 1)! ) * x^{k + 1} ) --> KT: |x| < 1
(1 + x)^a = sumⁿ_k=0( (a choose k) * x^k ) --> |x| < 1, a eleme C-nek
sin(x) = sumⁿ_k=0( ( -1^k / (2 * k + 1)! ) * x^{2 * k + 1} ) --> KT: x eleme R-nek
cos(x) = sumⁿ_k=0( ( -1^k / (2 * k)! ) * x^{2 * k} ) --> KT: x eleme R-nek
sinh(x) = sumⁿ_k=0( ( 1 / (2 * k + 1)! ) * x^{2 * k + 1} ) --> KT: x eleme R-nek
cosh(x) = sumⁿ_k=0( ( 1 / (2 * k)! ) * x^{2 * k} ) --> KT: x eleme R-nek

Lagrange-hiba becsles

Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal.
xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo)
Lagrange-hiba: ( f^{n + 1}(xi) / (n + 1)! ) * (x - xi)^{n + 1}
Pelda (keresztrol):
y' = sin( y ) + 2 + x
y( x = pi ) = 1
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell)
felso becsles a hibara?
y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep!
y⁽²⁾( x = pi ) = cos( y ) * y' + 1 = cos( 1 ) * ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1
T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) * (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (x - pi)
y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte!
letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek.
hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f⁽²⁾(xi) / 2! ) * (3 - pi)² ~= 0.1 // meg ezt is!
tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1

Konvergencia tartomany (KT)

Altalaban meg van adva vmi T-sor, szummas alakban. Erre alkalmazzuk a hanyados / gyokkriteriumot.
|a_n|^1/n vagy | (a_n + 1) / a_n |
ezutan kijon vmi, ami egyenlo 1 / R-el, kifejezzuk R-t.
az (x - x0) = 0 egyenletbol megkapjuk x-et, ez lesz a KT kozeppontja.
tehat KT = (x - R, x + R)
vegpontokban kulon meg kell nezni:
ha divergens --> (
ha konvergens --> [
kell.
Ha x² van (mar nem tudom hol, nezz ra feladatot :D ), akkor u = x² (helyettesitunk)
a vegen meg kell nezni, hogy a KT jo-e.
a <= u=x² <= b
ez minden x-re teljesul --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) )

Fourier-sorok

Megoldas lepesei:

• fel kell rajzolni a fuggvenyt
• ha a fuggveny paros --> b_k = 0
• ha a fuggveny paratlan --> a_k = 0, a0 = 0
• fi(x) = a0 / 2 + sum( a_k^{cos(k * x) + sin(k * x)} )
• a_k = 1 / pi * ʃ^pi_-pi f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
• b_k = 1 / pi * ʃ^pi_-pi f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
• paratlan * paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot
• ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz
• ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni.
• ki kell integralni a fuggvenyt
• vissza kell helyettesiteni fi(x)-be
• fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2

Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa)

Altalaban adott P0 = (a, b) vektor.
gradf(P0) = f'_x(P0) * i + f'_y(P0) * j = (f'_x, f'_y) // itt i, j egysegvektorok
f'_x illetve f'_y ugy jon ki, hogy x illetve y szerint derivalsz.
Pl ha x szerint derivalsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni.
df/de|P0 = gradf(P0) * e // itt e az egysegvektor, amit P0 normalizalasaval kapsz meg, a szorzas a ket vektor komponensek szerinti szorzasa (tehat nem skalar vagy vektor szorzas)
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f'_x)² + (f'_y)²) // azaz a vektor hossza
a maximum iranya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizalod
Miert letezik gradf? mert a parcialis derivaltak f'x es f'y leteznek es f(x,y) folytonos P0-ban
Akkor totalisan differencialhato, ha a parcialis derivaltak folytonosak P0 pontban, tehat letezik a hatarertekuk // vagy mi :D

Korintegral

Ebbol en ket fajtaval talalkoztam:

• amikor az alakzat egy kor
• amikor az alakzat egy ellipszis

Az integral alakja altalaban:
ʃ f(z) / (z - z0)^{n + 1} dz
A tartomany alakja:

• |z - a| = x // x sugaru, a kozeppontu kor
• |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis

Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nezz utana!)
Itt negy eset johet szoba:

• ha z0 a koron kivulre esik, akkor a fuggveny regularis, ʃ f(z) ds = 0
• ha z0 pont a koron van --> nem ertelmezett az integral
• ha z0 a korben van --> ʃ f(z) / (z - z0)^{n + 1} dz = (2 * pi * i) / n! * f⁽ⁿ⁾(z0)
• ha tobb z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor ketto integral osszegere kell bontani, majd mind a kettore |z|-t ugy kell valasztani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nezz feladatot!), termeszetesen ilyenkor elobb meg kell nezni az elozo harom pontot, hogy esetleg nem ertelmezzuk, kivul esik-e stb. mert akkor nem kell integralni...

Pelda:
ʃ ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz
tartomany: |z - 2 * i| = 2
tehat a kozeppont = 2 * i
z0 = -8
r = 2
ebbol felrajzoljuk a kort, es akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehat ʃ f(z) dz = 0

Pelda2:
ʃ cos( z ) / ( z⁴ + 8 * z² + 16 ) dz
tartomany: |z + 2| + |z - 2| = 5
tehat ez egy ellipszis lesz, tobb z0 is van.
r = 5
A z0-ok kiszamolasa:
z⁴ + 8 * z² + 16 = (z² + 4) * (z² + 4)
sqrt(z²) = -4
z₁ = 2 * i
z₂ = -2 * i
felrajzoljuk:

Ki kell kiszamolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak.
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2.
Tehat (pitagorasz tetel, huh?): b = sqrt( (R / 2)² - 2² ) = 1.5 // a 2 az A-bol jott, R = 5 ugye
tehat a ket z0 kivul esik, emiatt ʃ f(z) dz = 0

Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!

Alternativ koordinatarendszerek

Polarkoordinatak

Eredetileg ugye egy 2D-s vektor: v = (x, y)
polarban: v = (r, fi)
Atvaltas:
x = r * cos( fi )
y = r * sin( fi )
itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog
r = sqrt( x² + y² )
fi eleme [0 ; 2 * pi]
Jakobi determinans |J|:
|matrix| = r // azaz az alabbi matrix determinansa
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltakbol all, a masodik pedig a fi szerintiekbol. // HF: szamold ki ;)
Ha pl egy integralnal at kell valtani a koordinatarendszert, akkor a fuggvenyt az atvaltas utan be kell szorozni |J|-vel.
ez a tipus hasznos x² + y² esetben (amikor ilyesmi van az integralban)

Hengerkoordinatak

ugyanaz mint a polar csak terben, hozzajon z = z is (nem valtozik)
ez a tipus hasznos x² + y² + z² esetben
|J| ugyanaz mint a polarnal.

Gombikoordinatak

ugyanaz mint a henger, csak itt egy gomb feluleten van az egesz.
atvaltas:
x = r * sin( b ) * cos( fi )
y = r * sin( b ) * sin( fi )
y = r * cos( b )
r = sqrt( x² + y² + z² )
fi eleme [0 ; 2 * pi]
b eleme [0 ; pi] // am a b az beta, de mind1 hogy hivod :D
|J| = r² * sin( b )
A matrix elso oszlopa az r szerinti derivaltak (mar 3 elem), a masodik a fi szerinti derivaltak, a harmadik a b szerintiek. // HF: szamold ki ;)

Pelda:
ʃʃ (2 * x² + 2 * y² + 4)⁷ dT = ?
T: x² + y² <= 9, x <= 0, y >= 0
Itt kerdes a tartomany amin integralni kene.
Jah es van amikor ket alakzat altal bezart teruletet/terfogatot kerdeznek, ekkor ahhoz, hogy megkapd r-t meg kell nezni, hogy hol metszenek ezek (egyenletmegoldas)
T elso reszebol megtudjuk, hogy ez egy kor lesz, illetve, hogy r = 3
A masodik, harmadik reszbol megtudjuk, hogy ennek a kornek a masodik negyedenek a terulete kell.
Tehat fi eleme [pi / 2 ; pi] tartomanynak (itt kell majd integralni)
x = r * cos( fi ) = 3 * cos( fi )
y = r * sin( fi ) = 3 * sin( fi )
Ne felejts el beszorozni |J|-vel!
atvaltas utan:
ʃʃ r * ( 2 * r² + 4 )⁷ dfidr // tartomany: r: [0 ; 3], fi: [pi / 2 ; pi]
ezt mar ki tudjuk integralni, a megoldas: pi / 64 * ( 22⁸ - 4⁸ )

Komplex fuggvenytan

Komplex szamok

z = x + i * y // itt x a valos resz, y a kepzetes

Azonossagok:
|z| = sqrt( x² + y² )
/z = x - i * y // konjugalt
|z1 * z2| = |z1| * |z2|
|z1 / z2| = |z1| / |z2|
|z|² = z * /z
|z| = |/z|
arg(z) = -arg(/z) // arg(z): az x tengellyel bezart szog, trigonometrikusnal fi
/(z1 + z2) = /z1 + /z2

Trigonometrikus alak:
z = r * ( cos(fi) + i * sin(fi) ) // itt r a vektor hossza, fi az x tengellyel bezart szog
r = |z|
fi = arg(z) // fi: [-pi ; pi]

Exponencialis alak:
z = r * e^{fi * i} // ugy lehet megjegyezni, hogy Reffy J. (mar akit tanitott)

Komplex szorzas:
z1 * z2 = r1 * r2 * ( cos(fi + b) + i * sin(fi + b) ) = r1 * r2 * e^{(fi + b) * i}

Osztas:
z1 / z2 = r1 / r2 * ( cos(fi - b) + i * sin(fi - b) ) = r1 / r2 * e^{(fi - b) * i}

Hatvanyozas:
zⁿ = rⁿ * ( cos(fi * n) + i * sin(fi * n) )

Gyokvonas:
z^{1 / n} = r^{1 / n} * e^{( (fi + 2 * k * pi) / n ) * i} = r^{1 / n} * ( cos( (fi + 2 * k * pi) / n ) + i * sin( (fi + 2 * k * pi) / n ) )

Euler-formula:
e^{i * fi} = cos(fi) + i * sin(fi) // erre nezz feladatot!

Harmonikus fuggvenyek

f(z) = u(x, y) + i * v(x, y) //azaz u a valos resz, v a kepzetes resz (fuggveny)
Azonossagok:
u'x = v'y
u'y = -v'x
u⁽²⁾xx = v⁽²⁾yx
u⁽²⁾yy = -v⁽²⁾xy
u⁽²⁾xy = v⁽²⁾yy
u⁽²⁾yx = -v⁽²⁾xx
Young tetel: ha egy pont kornyeken a >= 2 foku parcialis derivaltak leteznek es folytonosak, akkor fuggetlenek a derivalas sorrendjetol. Tehat xy es yx ugyanaz lesz.
deltau = u⁽²⁾xx + u⁽²⁾yy
Lokalis szelso ertekek:
van, ha f'x = f'y = 0, es // szukseges feltetel
|f⁽²⁾xx f⁽²⁾xy|
|f⁽²⁾yx f⁽²⁾yy|
|det| > 0
Ha f⁽²⁾xx > 0 --> lokalis minimum
Ha f⁽²⁾xx < 0 --> lokalis maximum
// note: neha a valos reszbol kell a kepzetest kiszamolni. Ilyenkor kiszamolod az elso foku derivaltakat, abbol ugye megkapod a kepzetes elso foku derivaltjait, ezt viszont vissza lehet integralni. --> erre nezz feladatot