Anal2-magic forrásának megtekintése

== Fontos ==
Ezek a 2 felevnyi analizis2 (sima/kereszt) alatt gyultek ossze, tobbnyire tipuspeldakra mennek ra, 2-est (elvileg) siman ossze lehet vele szedni.<br />
A gyakorlast NEM helyettesiti. Tehat ezt bemagolod, es utana megoldasz sok zh-t / vizsgat, ugy mar jo (elvileg :D ).<br />
Keresztet nem ajanlom :D ua. az anyag, de mashogy kerdezik.<br />
Ha nem mesz at ezzel, az a TE hibad :P<br />
A pontositasoknak termeszetesen mindenki orul<br />
Derivalttabla nem art :P<br />
Vegyel nekem egy sort/pizzat:
[https://www.paypal.com/cgi-bin/webscr?cmd=_s-xclick&hosted_button_id=9DMAM7NPBRY2W https://www.paypalobjects.com/en_US/i/btn/btn_donate_SM.gif]
<br />
== Alapok ==
=== Azonossagok, amiket jo ha tudsz ===
sin<sup>2</sup>(x) + cos<sup>2</sup>(x) = 1<br />
cosh<sup>2</sup>(x) - sinh<sup>2</sup>(x) = 1<br />
sinh(a+b) = sinh(a) * cosh(b) + cosh(a) * sinh(b) // sincos-cossin (h)<br />
cosh(a+b) = cosh(a) * cosh(b) + sinh(a) * sinh(b) // coscos-sinsin (h)<br />
lim<sub>x->0</sub> sin(x) / x = 1 // ezek talan meg anal1-rol :P<br />
lim<sub>x->0</sub> x / sin(x) = 1<br />
f'(x0) = lim<sub>x->0</sub> ( f(x) - f(x0) ) / (x - x0)<br />
f'(x0) = lim<sub>deltax->0</sub> ( f(x0 + deltax) - f(x0) ) / deltax<br />
cosh(x) = ( e<sup>x</sup> + e<sup>-x</sup> ) / 2<br />
sinh(x) = ( e<sup>x</sup> - e<sup>-x</sup> ) / 2<br />
<br />
=== Derivalas ===
f'(c * x) = c * f'(x) // konstanssal szorzas<br />
(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) // osszeadas<br />
(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + g'(x) * f(x) // szorzas<br />
(f / g)'(x) = ( f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x) ) / g<sup>2</sup>(x) // osztas<br />
f'( g(x) ) = f'( g(x) ) * g'(x) // osszetett fv<br />
(f<sup>-1</sup>)'(x) = 1 / ( f'( f<sup>-1</sup>(x) ) ) // inverz fv<br />
<br />
Erinto egyenes egyenlete: f(x) = f(x0) + f'(x0) * (x - x0)<br />
<br />
=== Integralas ===
ʃ f(x) dx = F(x) + C
ʃ f( fi(x) ) * fi'(x) dx = F( fi(x) ) + C<br />
ʃ f<sup>a</sup>(x) * f'(x) dx = ( f(x)<sup>a + 1</sup> ) / (a + 1) + C // a != -1<br />
ʃ e<sup>f(x)</sup> * f'(x) dx = e<sup>f(x)</sup> + C<br />
ʃ f'(x) / f(x) dx = ln| f(x) | + C<br />
ʃ f' * g dx = f * g - ʃ f*g' // parcialis integralas<br />
ʃ (a * x + b) dx = F(a * x + b) / a + C // a != 0<br />
<br />
'''Helyettesiteses integral:'''<br />
ʃ f(x) dx // ez vmi bonyolult integralt akar lenni :P<br />
u = f(x) // ez lesz a helyettesites<br />
du = f'(x) //lederivalod f(x)-et, mert le kell vele osztani<br />
ʃ u / f'(x) du = kijon vmi --> visszahelyettesitesz<br />
<br />
'''Parcialis tortekre bontas integralas'''<br />
'''EZT VKI LEIRHATNA IDE'''<br />
<br />
== Diffegyenletek (DE) ==
=== Elsorendu DE-k ===
=== Szeparabilis DE ===
y'(x) = g(y) * f(x) // ilyen alakban kell keresni. Ha nincs f(x), akkor beszorzol 1-el, az lesz az f(x) !!!<br />
Meg kell nezni, hogy g(y) mikor lesz 0<br />
g(y) = 0<br />
Megoldod, ha van megoldas, akkor az egy megoldas lesz!<br />
<br />
ʃ 1 / g(y) dy = ʃ f(x) dx<br />
ebbol kijon: y = K * h(x) // itt a K = e<sup>C</sup> ; C az integralas soran keletkezik<br />
neha nem kell pont ilyen alakra hozni, azt jelzik.<br />
<br />
=== Linearis DE ===
y'(x) + g(x) * y = f(x) // ilyen alakban kell keresni<br />
y'(x) + g(x) * y = 0 --> homogen linearis DE --> innen szeparabilis, megoldhato<br />
y = K * h(x) --> az inhomogen altalanoshoz kell K(x) is<br />
K(x) = ʃ f(x) / h(x) dx<br />
//inhomogen altalanos megoldasa<br />
y<sub>ia</sub> = K * h(x) + K(x) * h(x) // homogen + inhomogen partikularis megoldas<br />
Kezdeti ertek problema: behelyettesitesz, kijon: K = valami<br />
K-t visszahelyettesited y<sub>ia</sub>-ba --> megkapod: y<sub>konkret</sub><br />
<br />
=== DE helyettesitessel ===
'''Peldan keresztul bemutatva:'''<br />
y' = 1 / (x + y)<br />
ezt nehez lenne barmelyik kategoriaba besorolni (linearis, szeparabilis), igy valami helyettesitest kell alkalmazni. <br />
Siman megadtak, hogy mik lehetnek a helyettesitesek, azokbol kellett az egyiket alkalmazni.<br />
Lehetseges helyettesitesek: <br />
u = x + y<br />
u = y / x<br />
<br />
Ehhez a feladathoz az elsot valasztjuk. A celunk az, hogy az egyenletben ne legyen csak u alapu valtozo. Tehat:<br />
u = x + y<br />
kifejezzuk y-t:<br />
y = u - x<br />
lederivaljuk:<br />
y' = u' - 1<br />
Tehat mostmar minden valtozo y', x+y megvan, behelyettesitunk:<br />
u' - 1 = 1 / u<br />
kicsit rendezzuk:<br />
u' = 1 + 1 / u = (u + 1) / u<br />
Ez tehat szeparabilis, g(y) helyett g(u) van, f(x)-et pedig 1 fogja jelkepezni.<br />
Megnezzuk a 0-re vonatkozo megoldast:<br />
g(u) = (u + 1) / u = 0<br />
u = -1<br />
Tehat visszahelyettesitve: y = -1 - x egy megoldasa lesz a DE-nek.<br />
Tovabb haladunk a megoldassal:<br />
ʃ u / (u + 1) du = ʃ 1 dx<br />
A masodik fele: x + C<br />
Az elso fele:<br />
ʃ u / (u + 1) du = ʃ (u + 1 - 1) / (u + 1) du = ʃ 1 - ( 1 / (u + 1) ) du = u - ln| u + 1 | + C<br />
<br />
Ezekbol:<br />
u - ln| u + 1 | = x + C --> visszahelyettesitunk<br />
x + y - ln| x + y + 1 | = x + c<br />
<br />
=== Magasabbrendu DE-k ===
=== Homogen linearis, allando egyutthatos DE ===
Megoldas: C * e<sup>ʎ*x</sup> alakban kell keresni. De neha bejon cos/sin is melle, hogy ne legyen egyszeru.<br />
'''Pelda:'''<br />
y<sup>(3)</sup> + 2 * y<sup>(2)</sup> + y' = 0<br />
ʎ<sup>3</sup> + 2 * ʎ<sup>2</sup> + ʎ = 0 // nem talaltam half-life jelet :(<br />
ʎ * ( ʎ<sup>2</sup> + 2 * ʎ + 1 ) = 0 // annyit emelsz ki amennyi a legkisebb lambda hatvanya (itt 1)<br />
ʎ * ( ʎ + 1 )<sup>2</sup> = 0<br />
elso felebol ʎ<sub>1</sub> = 0<br />
masodik felebol ʎ<sub>2</sub> = -1 <br />
DE 3 megoldas kell!!!<br />
ilyenkor a homogen megoldashoz hozzarakunk meg x-el beszorzott tagokat<br />
<br />
y<sub>h</sub> = C1 * e<sup>0 * x</sup> + C2 * e<sup>-1 * x</sup> + C3 * x * e<sup>-1 * x</sup><br />
<br />
'''Pelda2:'''<br />
y<sup>(3)</sup> + 4 * y<sup>(2)</sup> + 13 * y' = 0<br />
ʎ<sup>3</sup> + 4 * ʎ<sup>2</sup> + 13 * ʎ = 0 // kiemelsz ʎ-et<br />
ʎ( ʎ<sup>2</sup> + 4 * ʎ + 13 ) = 0<br />
ʎ( (ʎ + 2)<sup>2</sup> + 9 ) = 0<br />
elso felebol ʎ<sub>1</sub> = 0<br />
masodik felebol:<br />
-9 = (ʎ + 2)<sup>2</sup><br />
-9<sup>1/2</sup> = ʎ + 2<br />
-9<sup>1/2</sup> - 2 = ʎ<br />
3*i - 2 = ʎ //ket darab komplex megoldas lesz, ezek miatt be kell rakni sin/cos-t is a megoldasba<br />
-3*i - 2 = ʎ<br />
<br />
y<sub>h</sub> = C1 * e<sup>0 * x</sup> + C2 * e<sup>-2 * x</sup> * cos(3 * x) + C3 * e<sup>-2 * x</sup> * sin(3 * x)<br />
tehat a valos resz lesz a ʎ, a kepzetes resz pedig a cos/sin (pozitiv/negativ) belseje<br />
<br />
'''Pelda3:'''<br />
adott egy megoldas: 2 * e<sup>5 * x</sup> - e<sup>-3 * x</sup><br />
ebbol kell a DE-et felirni.<br />
ebbol rogton latjuk is, hogy ʎ<sub>1</sub> = 5<br />
ʎ<sub>2</sub> = -3<br />
tehat ebbol kovetkeztethetunk a karakterisztikus egyenletre:<br />
(ʎ - 5) * (ʎ + 3) = 0<br />
innentol 'csak' at kell rendezni, es megoldani<br />
ʎ<sup>2</sup> + 3 * ʎ - 5 * ʎ - 15 = 0<br />
ʎ<sup>2</sup> - 2 * ʎ - 15 = 0<br />
y<sup>(2)</sup> - 2 * y - 15 = 0<br />
<br />

=== Inhomogen linearis, allando egyutthatos DE ===
'''absztrakt pelda:'''<br />
a(x) * y<sup>(2)</sup> + b(x) * y' + c(x) * y = f(x)<br />
Ebbol kell a homogen DE megoldasa.<br />
a(x) * y<sup>(2)</sup> + b(x) * y' + c(x) * y = 0<br />
y<sub>h</sub> = C1 * y1(x) + C2 * y2(x) // ez ugye az e<sup>ʎ*x</sup> -os alak<br />
Az inhomogen partikularis megoldasa ebbol az alabbi alakban lesz:<br />
itt C1 es C2 ismeretlenek, y1, es (opcionalisan, ha kell) y2, y3 stb. pedig f(x)-bol 'generalodnak' (lasd alabb)
c * | y<sub>ip</sub> = C1 * y1(x) + C2 * y2(x)<br />
b * | y'<sub>ip</sub> = C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) + C1' * y1(x) + C2 * y2'(x)<br />
// note: C1' * y1(x) + C2 * y2'(x) = 0<br />
a * | y<sup>(2)</sup><sub>ip</sub> = C1' * y1'(x) + C1 * y1<sup>(2)</sup>(x) + C2' * y2'(x) + C2 * y2<sup>(2)</sup>(x)<br />
ezt C1, C2-re kell megoldani.<br />
ezutan az inhomogen altalanos megoldas = homogen megoldas + inhomogen partikularis megoldas
<br />
'''Specialis f(x) esetek:'''<br />
itt A, B<sub>i</sub> ismeretlenek<br />
f(x) = K * e<sup>a * x</sup> --> y<sub>ip</sub> = A * e<sup>a * x</sup><br />
f(x) = a<sub>m</sub>x<sup>m</sup>+ ... + a<sub>0</sub> --> y<sub>ip</sub> = B<sub>m</sub>x<sup>m</sup>+ ... + B<sub>0</sub><br />
f(x) = K<sub>1</sub> * sin(a * x) --> y<sub>ip</sub> = A * sin(a * x) + B * cos(a * x) // tehat bejon egy cos(a * x) is!<br />
f(x) = K<sub>2</sub> * cos(b * x) --> y<sub>ip</sub> = A * cos(b * x) + B * sin(b * x) // tehat bejon egy sin(b * x) is!<br />
<br />
'''Konkret pelda:'''<br />
y<sup>(2)</sup> - 5 * y' + 6 * y = 2 * sin(2 * x)<br />
ʎ<sup>2</sup> - 5 * ʎ + 6 = 0<br />
ʎ<sub>1</sub> = 2<br />
ʎ<sub>2</sub> = 3<br />
y<sub>h</sub> = C1 * e<sup>2 * x</sup> + C2 * e<sup>3 * x</sup><br />
y<sub>ip</sub> = A * f(x) + B * f'(x)<br />
<br />
// annyiszor kell derivalni y<sub>ip</sub>-t, amennyi foku az eredeti DE is (itt 2)<br />
// ha a homogenek kozott szerepel az y<sub>ip</sub>, akkor kulso rezonancia van!<br />
// tehat y<sub>ip</sub> *= x, es utana mar lehet derivalni --> ezt kell gyakorolni<br />
// magic: be kell szorozni a derivaltakat az egyutthatokkal<br />
6 * | y<sub>ip</sub> = A * sin(2 * x) + B * cos(2 * x)<br />
-5 * | y'<sub>ip</sub> = 2 * A * cos(2 * x) - 2 * B * sin(2 * x)<br />
1 * | y<sup>(2)</sup><sub>ip</sub> = -4 * A * sin(2 * x) - 4 * B * cos(2 * x)<br />
// magic: Ha megnezed, akkor beszoroztam az elejen levo szamokkal ott ahol kellett.<br />
sin(2 * x)-bol 2 volt az eredeti DE-ben, tehat:<br />
2 = 6 * A + 5 * 2 * B - 4 * A<br />
cos(2 * x)-bol 0 volt az eredeti DE-ben, tehat:<br />
0 = 6 * B - 5 * 2 * A - 4 * B<br />
ezekbol:<br />
A = 1 / 26<br />
B = 5 / 26<br />
y<sub>ia</sub> = C1 * e<sup>2 * x</sup> + C2 * e<sup>3 * x</sup> + (1 / 26) * sin(2 * x) + (5 / 26) * cos(2 * x)<br />
<br />
== Izoklinak ==
'''pelda:'''<br />
y' = e<sup>y + 2</sup> - x<br />
ebbol magic: K = e<sup>y + 2</sup> - x<br />
kifejezzuk y-t:<br />
y = ln( x + K ) - 2<br />
Ha kerdeznek lokalis szelso erteket, akkor y'-at kell megvizsgalni helyettesitessel<br />
Az inflexios ponthoz y<sup>(2)</sup>-at kell megnezni:<br />
y<sup>(2)</sup> > 0 --> lokalis minimum<br />
y<sup>(2)</sup> < 0 --> lokalis maximum<br />
Ha parhuzamossagot kerdeznek, akkor a meredekseg = K-val.<br />
Ezekhez ajanlott megnezni par feladatot, es azon ertelmezni :D<br />
<br />
== Linearis rekurzio ==
(ez nagyon magic)<br />
megoldas alakja: f(n) = q<sup>n</sup> // q != 0<br />
'''pelda:'''<br />
f(n) = 4 * f * (n - 1) - 3 * f * (n - 2)<br />
ebbol:<br />
q<sup>n</sup> = 4 * q<sup>n - 1</sup> - 3 * q<sup>n - 2</sup><br />
a legalacsonyabb hatvanyu q-val osztunk.<br />
q<sup>2</sup> = 4 * q - 3 --> masodfoku<br />
q<sub>1</sub> = 1<br />
q<sub>2</sub> = 3<br />
ebbol:
f(n) = C1 * 1<sup>n</sup> + C2 * 3<sup>n</sup><br />
Ha O(1) tipusu megoldasok kellenek:<br />
f(n) = O(1): letezik olyan K, hogy |f(n)| <= K * 1, n > N (veges sok kivetel)<br />
tehat: f(n)-nek korlatosnak kell lenni:<br />
C2 = 0<br />
<br />
== Taylor sorok ==
// easter egg :D, t.g.o.d.: JrVt10PTD8I<br />
A Taylor sorok arra jok, hogy egy fuggvenyt kozelitsunk a derivaltjai segitsegevel. <br />
Fun fact: ezt regebben arra is hasznaltak, hogy a 'draga' sin/cos es hasonlo fv-eket helyettesitsek egy 'olcso' valtozattal.<br />
f(x) fuggveny x0 bazispontu n-ed foku Taylor polinomja:<br />
sum<sup>n</sup><sub>k=0</sub>( ( f<sup>(k)</sup>(x0) / k! ) * (x - x0)<sup>k</sup> )<br />
tehat ahhoz, hogy felirjuk a T-sorat egy fuggvenynek n db derivaltra lesz szukseg.<br />
=== Nevezetes fuggvenyek T-sorai ===
x<sup>m</sup> / (1 - x) = sum<sup>n</sup><sub>k=m</sub>( x<sup>k</sup> ) --> Konvergencia tartomany: |x| < 1<br />
e<sup>x</sup> = sum<sup>n</sup><sub>k=0</sub>( x<sup>k</sup> / k! ) --> KT: x eleme R-nek<br />
ln(1 + x) = sum<sup>n</sup><sub>k=0</sub>( ( -1<sup>k</sup> / (k + 1)! ) * x<sup>k + 1</sup> ) --> KT: |x| < 1<br />
(1 + x)<sup>a</sup> = sum<sup>n</sup><sub>k=0</sub>( (a choose k) * x<sup>k</sup> ) --> |x| < 1, a eleme C-nek<br />
sin(x) = sum<sup>n</sup><sub>k=0</sub>( ( -1<sup>k</sup> / (2 * k + 1)! ) * x<sup>2 * k + 1</sup> ) --> KT: x eleme R-nek<br />
cos(x) = sum<sup>n</sup><sub>k=0</sub>( ( -1<sup>k</sup> / (2 * k)! ) * x<sup>2 * k</sup> ) --> KT: x eleme R-nek<br />
sinh(x) = sum<sup>n</sup><sub>k=0</sub>( ( 1 / (2 * k + 1)! ) * x<sup>2 * k + 1</sup> ) --> KT: x eleme R-nek<br />
cosh(x) = sum<sup>n</sup><sub>k=0</sub>( ( 1 / (2 * k)! ) * x<sup>2 * k</sup> ) --> KT: x eleme R-nek<br />
=== Lagrange-hiba becsles ===
Tehat a hibat meg lehet becsulni az n+1-ik T-sor taggal.<br />
xi eleme lesz az [x ; x0] tartomanynak, erdemes ugy valasztani, hogy egyszeru legyen szamolni (pl x0 altalaban jo)<br />
Lagrange-hiba: ( f<sup>n + 1</sup>(xi) / (n + 1)! ) * (x - x0)<sup>n + 1</sup><br />
'''Pelda (keresztrol):'''<br />
y' = sin( y ) + 2 + x<br />
y( x = pi ) = 1<br />
y( x = 3 ) = kb mennyi ? (becsles kell)<br />
felso becsles a hibara?<br />
y'( x = pi ) = sin( 1 ) + 2 + pi // itt az 1 elvileg radianban van --> szamologep!<br />
y<sup>(2)</sup>( x = pi ) = cos( y ) * y' + 1 = cos( 1 ) * ( sin( 1 ) + 2 + pi ) + 1<br />
T( x0 = pi ) = y( pi ) + y'( pi ) * (x - pi) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (x - pi)<br />
y(3) ~= T( x0 = pi, x = 3 ) = 1 + ( sin( 1 ) + 2 + pi ) * (3 - pi) ~= -0.2 // ezt a tanar nagyon becsulte!<br />
letezik olyan xi, hogy [3 ; pi] tartomanyban van, mivel felso becslest csinalunk, ezert pi-t valaszjuk xi-nek.<br />
hiba = | y(3) - T( x0 = pi, x = 3 ) | = Lagrange = ( f<sup>(2)</sup>(xi) / 2! ) * (3 - pi)<sup>2</sup> ~= 0.1 // meg ezt is!<br />
tehat a megoldas: -0.2 +- 0.1<br />
<br />
=== Konvergencia tartomany (KT) ===
Altalaban meg van adva vmi T-sor, szummas alakban. Erre alkalmazzuk a hanyados / gyokkriteriumot.<br />
|a<sub>n</sub>|<sup>1/n</sup> vagy | (a<sub>n</sub> + 1) / a<sub>n</sub> |<br />
ezutan kijon vmi, ami egyenlo 1 / R-el, kifejezzuk R-t.<br />
az (x - x0) = 0 egyenletbol megkapjuk x-et, ez lesz a KT kozeppontja.<br />
tehat KT = (x - R, x + R)<br />
vegpontokban kulon meg kell nezni: <br />
ha divergens --> (<br />
ha konvergens --> [ <br />
kell.<br />
Ha x<sup>2</sup> van (mar nem tudom hol, nezz ra feladatot :D ), akkor u = x<sup>2</sup> (helyettesitunk)<br />
a vegen meg kell nezni, hogy a KT jo-e.<br />
a <= u=x<sup>2</sup> <= b<br />
ez minden x-re teljesul --> |x| < sqrt(a) --> KT: ( -sqrt(a), sqrt(a) )<br />
<br />
== Fourier-sorok ==
Megoldas lepesei:<br />
* fel kell rajzolni a fuggvenyt
* ha a fuggveny paros --> b<sub>k</sub> = 0
* ha a fuggveny paratlan --> a<sub>k</sub> = 0, a0 = 0
* fi(x) = a0 / 2 + sum( a<sub>k</sub><sup>cos(k * x) + sin(k * x)</sup> )
* a<sub>k</sub> = 1 / pi * ʃ<sup>pi</sup><sub>pi</sub> f(x) * cos(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* b<sub>k</sub> = 1 / pi * ʃ<sup>pi</sup><sub>pi</sub> f(x) * sin(k * x) dx // itt k = 0, 1, 2, ...
* paratlan * paratlan = paros // ezt mar nem tudom miert volt a lapon :D --> nezzel feladatot
* ha [-pi ; 0] es [0 ; pi] kozott ugyanaz a fuggveny, akkor ez paros fuggveny lesz
* ekkor eleg [0 ; pi] -ig integralni. A 0 erteku tartomanyokat ezutan ki lehet venni.
* ki kell integralni a fuggvenyt
* vissza kell helyettesiteni fi(x)-be
* fi(x) = f(x) --> be kell helyettesiteni, a szakadasi helyeknel: ( f(x+) + f(x-) ) / 2
<br />
== Gradiens (aka tobbvaltozos fv-ek derivalasa) ==
Altalaban adott P0 = (a, b) vektor.<br />
gradf(P0) = f'<sub>x</sub>(P0) * i + f'<sub>y</sub>(P0) * j = (f'<sub>x</sub>, f'<sub>y</sub>) // itt i, j egysegvektorok<br />
f'<sub>x</sub> illetve f'<sub>y</sub> ugy jon ki, hogy x illetve y szerint derivalsz. <br />
Pl ha x szerint derivalsz, akkor y csak egy konstans lesz, nem kell vele foglalkozni.<br />
df/de|P0 = gradf(P0) * e // itt e az egysegvektor, amit P0 normalizalasaval kapsz meg, a szorzas a ket vektor komponensek szerinti szorzasa (tehat nem skalar vagy vektor szorzas)<br />
max df/de|P0 = |gradf(P0)| = sqrt((f'<sub>x</sub>)<sup>2</sup> + (f'<sub>y</sub>)<sup>2</sup>) // azaz a vektor hossza<br />
a maximum iranya: v = gradf(P0) / |gradf(P0)| // normalizalod<br />
Miert letezik gradf? mert a parcialis derivaltak f'x es f'y leteznek es f(x,y) folytonos P0-ban<br />
Akkor totalisan differencialhato, ha a parcialis derivaltak folytonosak P0 pontban, tehat letezik a hatarertekuk // vagy mi :D<br />
<br />
== Korintegral ==
Ebbol en ket fajtaval talalkoztam:<br />
* amikor az alakzat egy kor
* amikor az alakzat egy ellipszis
Az integral alakja altalaban:<br />
ʃ f(z) / (z - z0)<sup>n + 1</sup> dz<br />
A tartomany alakja: <br />
* |z - a| = x // x sugaru, a kozeppontu kor
* |z - a| + |z - b| = x // ez meg egy ellipszis
Fel kell rajzolni az alakzatot (az ellipszisnek nezz utana!)<br />
Itt negy eset johet szoba:<br />
* ha z0 a koron kivulre esik, akkor a fuggveny regularis, ʃ f(z) ds = 0
* ha z0 pont a koron van --> nem ertelmezett az integral
* ha z0 a korben van --> ʃ f(z) / (z - z0)<sup>n + 1</sup> dz = (2 * pi * i) / n! * f<sup>(n)</sup>(z0)
* ha tobb z0 is van (asszem az ellipszis ilyen) akkor ketto integral osszegere kell bontani, majd mind a kettore |z|-t ugy kell valasztani, hogy egyszerre csak egy z0-t tartalmazzon a kor (nezz feladatot!), termeszetesen ilyenkor elobb meg kell nezni az elozo harom pontot, hogy esetleg nem ertelmezzuk, kivul esik-e stb. mert akkor nem kell integralni...
<br />
'''Pelda:'''<br />
ʃ ( f(z) + 1 / (z + 8) ) dz<br />
tartomany: |z - 2 * i| = 2<br />
tehat a kozeppont = 2 * i<br />
z0 = -8<br />
r = 2<br />
ebbol felrajzoljuk a kort, es akkor latjuk, hogy z0 kivul esik a koron, tehat ʃ f(z) dz = 0<br />
<br />
'''Pelda2:'''<br />
ʃ cos( z ) / ( z<sup>4</sup> + 8 * z<sup>2</sup> + 16 ) dz<br />
tartomany: |z + 2| + |z - 2| = 5<br />
tehat ez egy ellipszis lesz, tobb z0 is van.<br />
r = 5<br />
A z0-ok kiszamolasa:<br />
z<sup>4</sup> + 8 * z<sup>2</sup> + 16 = (z<sup>2</sup> + 4) * (z<sup>2</sup> + 4)<br />
sqrt(z<sup>2</sup>) = -4<br />
z<sub>1</sub> = 2 * i<br />
z<sub>2</sub> = -2 * i<br />
felrajzoljuk:<br />
http://i.imgur.com/oon9cwS.png<br />
Ki kell kiszamolni b hosszat, hogy megtudjuk, hogy a z0-ok merre vannak.<br />
Azt tudjuk, hogy A = -2, B = 2.<br />
Tehat: b = sqrt( (R / 2)<sup>2</sup> - 4 ) = 1.5<br />
tehat a ket z0 kivul esik, emiatt ʃ f(z) dz = 0<br />
<br />
'''Erdemes a tobbi tipusra is nezni feladatot!'''<br />
<br />