Analízis (MSc) típusfeladatok

Integrál trafók témakör

Laplace trafó diff-egyenlet

1) [2015ZH1] Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha

[math]\dot{x}(t) = 2y(t) - x(t) + 1[/math]

[math]\dot{y}(t) = 3y(t) - 2x(t)[/math]

[math]x(0) = 0,~y(0) = 1[/math]

Megoldás:

• Vegyük mindkét egyenlet Laplace trafóját ([math]X := \mathcal{L}(x),~ Y := \mathcal{L}(y)[/math]):

[math]sX - x(0) = 2Y - X + \frac{1}{s}[/math]

[math]sY - y(0) = 3Y - 2X[/math]

• Az egyenleteket átrendezve, és x(0), y(0)-t behelyettesítve:

[math](s+1)X + (-2)Y = \frac{1}{s}[/math]

[math](2)X + (s-3)Y = 1[/math]

• Mátrixos alakra hozva:

[math]\begin{bmatrix}s+1 & -2 \\ 2 & s-3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{s} \\ 1\end{bmatrix}[/math]

• Megoldás X-re (a számlálóban a mátrix első oszlopa le lett cserélve az egyenlet jobb oldalára. Ha y-t számolnánk, akkor a második oszlopot kéne lecserélni):

[math]X = \frac{det\left(\begin{bmatrix}\frac{1}{s} & -2 \\ 1 & s-3\end{bmatrix}\right)}{det\left(\begin{bmatrix}s+1 & -2 \\ 2 & s-3\end{bmatrix}\right)} = \frac{\frac{s-3}{s} + 2}{(s+1)(s-3)+4} = \frac{3 (s-1)}{s(s^2 - 2s + 1)} = \frac{3 (s-1)}{s(s-1)^2} = \frac{3}{s(s-1)}[/math]

• Az inverz laplacehoz bontsuk parciális törtekre:

[math]\frac{A}{s} + \frac{B}{s-1} = \frac{A(s-1) + Bs}{s(s-1)} = \frac{3}{s(s-1)}[/math]

• Együtthatókat összehasonlítva:

[math] A + B = 0, -A = 3, \to B = 3[/math]

• Vagyis [math]X(s) = \frac{-3}{s} + \frac{3}{s-1}[/math]

• Tehát a táblázat alapján [math]x(t) = -3 + 3e^t[/math]

---

2) [2016ZH1] Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha

[math]\ddot{x}(t) = 2x(t) - 3y(t)[/math]

[math]\ddot{y}(t) = x(t) - 2y(t)[/math]

[math]x(0) = \dot{x}(0) = 0,~y(0) = 0,~\dot{y}(0) = 1[/math]

Megoldás:

• Vegyük mindkét egyenlet Laplace trafóját:

[math]s^2X - sx(0) - \dot{x}(0) = 2X - 3Y[/math]

[math]s^2Y - sy(0) - \dot{y}(0) = X - 2Y[/math]

• Átrendezve és mátrixos alakra hozva:

[math]\begin{bmatrix}s^2-2 & 3 \\ -1 & s^2+2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}[/math]

• Megoldás X-re:

[math]X = \frac{det\left(\begin{bmatrix}0 & 3 \\ 1 & s^2+2\end{bmatrix}\right)}{det\left(\begin{bmatrix}s^2-2 & 3 \\ -1 & s^2+2\end{bmatrix}\right)} = \frac{-3}{(s^2-2)(s^2+2)+3} = \frac{-3}{s^4-1} = \frac{-3}{(s^2-1)(s^2+1)}[/math]

• Parc törtek:

[math]\frac{A}{s^2-1} + \frac{B}{s^2+1} = \frac{(A+B)s^2 + (A-B)}{s^4-1} = \frac{-3}{s^4-1}[/math]

• Ahonnan:

[math] A = -\frac{3}{2},~B = \frac{3}{2}[/math]

• Inverz Laplace után: [math]x(t) = -\frac{3}{2}sht + \frac{3}{2}sint[/math]

---

3) [2016ZH1] Transzformáljuk elsőrendűvé a [math]y'' + xy' = x[/math] differenciálegyenlet Laplace transzformációval (Nem kell megoldani!)!

Megoldás:

[math] \mathcal{L}(xy') = -(\mathcal{L}(y'))' = -(sY - y(0))' = -(s'Y + sY') = -Y - sY' [/math]

[math] s^2 Y - s y(0) - y'(0) + -Y - sY' = X[/math]

Laplace trafó szabályok alkalmazása

1) [2016PZH] Számítsuk ki az alábbi jobboldali határétrékeket:

[math]\lim_{x \to 0+}f'(x) = ?, ~ \lim_{x \to 0+}f''(x) = ?, ha ~\mathcal{L}(f) = \frac{s^2-3s+1}{5s^4-4s^3+8}[/math]

Fourier diff-egyenlet

1) [2015ZH1] Oldjuk meg Fourier transzformáció segítségével! [math]y'(x) - 4y(x) = 8[/math]

---

2) [2016ZH1] Transzformáljuk elsőrendűvé a [math]y'' + xy' = x[/math] differenciálegyenlet Fourier transzformációval (Nem kell megoldani!)!

Fourier trafó szabályok alkalmazása

1) [2015ZH1] Számítsuk ki az [math]f(x) = 3xe^{-x}H(x)[/math] Fourier transzformáltját, ha tudjuk, hogy [math]\mathcal{F}(e^{-x}H(x)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{1+iy}[/math]

Disztribúciók

1) [2015ZH1] Adjuk meg [math]\delta[/math] és [math]\delta'[/math] lineáris kombinációjaként az [math]e^{3x-2}\delta'(x)[/math] disztribúciót!

---

2) [2016ZH1] Számítsuk ki a [math]T = e^{-x^2}[/math] reguláris disztribúcuó és a [math]\delta'[/math] disztribúció konvolúciójának hatását a [math]\psi(x) = x^2[/math] függvényre: [math](T * \delta')x^2 = ?[/math]

---

3) [2016ZH1] Mi az [math](x-3)f = 0[/math] disztribúció értelemben vett egyenelet összes megoldása? (+1 miért?)

---

4) [2016ZH1] Adjuk meg az [math]e^{3x}\delta''(x-2)[/math] disztribúciót a [math]\delta[/math] eltolt deriváltjainak lineáris kombinációjaként!

---

5) [2016PZH] Legyen u az [math]f(x) = x - 3[/math] által generált reguláris disztribúció, [math]\psi(x) = e^{-x^2}[/math]. Számítsuk ki [math](\sigma_2\tau_3\delta' * u)\psi[/math]-t!

Wavelet trafók

1) [2015ZH1] Legyen [math]\psi(x) = (1 - x^2)e^{-\frac{x^2}{2}}[/math], a mexikói kalap wavelet.

a) Legyen [math]f(x) = e^{-|x|}[/math]. [math]\mathcal{F}(W_{\psi}f_a(b)) = ?[/math]

b) Legyen [math]g(x) = x^2[/math]. Tudjuk, hogy [math]\int_{R}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}[/math]. [math]W_{\psi}g_a(b) = ?[/math]

---

2) [2016ZH1] A Poisson wavelet a következő: [math]\psi_n(x) = H(x) \frac{x-n}{n!} x^{n-1} e^{-x}[/math]

a) Mutassuk meg, hogy [math]\psi(x) = -(\frac{x^n}{n!} e^{-x})'[/math], ha [math]x \geq 0[/math]

b) Mutassuk meg, hogy [math]\int_R \psi_n(x)dx = 0[/math]

c) [math]C_{\psi_n} = ?[/math]

---

3) [2016PZH] Legyen [math]\psi(x) = xe^{-|x|}, f(x) = e^{-\frac{x^2}{2}}[/math]. Adjuk meg f [math] \psi[/math] által generált wavelet transzformáltjának Fourier transzformáltját!

Numerikus módszerek témakör

Parcdiff egyenletek (Fourier)

1) [2015ZH2] Oldjuk meg Fourier módszerrel az alábbi parciális differenciálegyenletet!

[math]\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 4\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}[/math]

[math]u(0, t) = u(3, t) = 0,~u(x,0)=sin\frac{4\pi}{3}x,~\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 2\sin\frac{\pi}{3}x[/math]

---

2) [2016ZH2] Oldjuk meg Fourier módszerrel az alábbi parciális differenciálegyenletet!

[math]\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 9\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}[/math]

[math]u(x, 0) = 12\cos\frac{3\pi}{5}x,~\frac{\partial u}{\partial x}(0, t) = ~\frac{\partial u}{\partial x}(5, t) = 0[/math]

Parcdiff egyenletek (véges differenciák)

1) [2015ZH2] Véges differenciák segítségével, [math]h=\frac{1}{2}[/math] felosztás mellett adjuk meg az [math]u_{1,2}[/math] értékét, ha

[math]\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}[/math]

[math]u(0, t) = 3,~ u(3, t) = 0,~u(x,0)=3-x,~\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 0[/math]

---

2) [2016ZH2] Vázoljuk fel az alábbi feladat megoldását véges differenciák módszerével, ha [math]x \in [0, 5], t \geq 0[/math], az x irányú távolság, h = 1. Mennyi lesz [math] u(2, \frac{1}{18})[/math]?

[math]\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 9\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}[/math]

[math]u(x, 0) = 12\cos\frac{3\pi}{5}x,~\frac{\partial u}{\partial x}(0, t) = ~\frac{\partial u}{\partial x}(5, t) = 0[/math]

Jordan normál-forma

1) [2016ZH2] Adjuk meg az [math]x = Bx + b[/math] egyenlet megoldását, ha [math]B = \frac{1}{6}\begin{bmatrix}3 & 1 & -2 \\ 0 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix},~ b = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}.[/math]

Nem lineáris egyenletek numerikus megoldása

1) [2015ZH2] Keressük a [math]\sqrt{1 + coshx} - 2 = x[/math] egyenlet megoldását. Tudjuk, hogy a gyök a [4, 5] intervallumban van.

a) A gyökhöz milyen közel kell indítani a húrmódszert, hogy az eljárás konvergáljon?

b) Használható-e a [4, 5] intervallumon az iteráció?

---

2) [2016ZH2] Tekintsük az [math]e^x - 2 = x[/math] egyenletet az [1, 2] intervallumon! Megoldható-e iterációval az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen? Megoldható-e húrmódszerrel az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen?

3) [2016PZH] Az [math]arsh 2x = x[/math] egyenlet esetében az intervallum felezés, vagy az iteráció a célravezetőbb az [1, 2] intervallumon? És a [2, 3]-n?

Lagrange multiplikátor módszer

1) [2015ZH2] Keressük meg az [math]f(x, y, z) = xy^2z^3(x,y,z \gt 0)[/math] szélsőértékét az [math]x + 2y + 3z = 6[/math] feltétel mellett! Vizsgáljuk meg a feltételes definitséget a kapott pontban!

---

2) [2016ZH2] Hol lehet feltételes szélsőértéke a [math]3x^2 + y^2 + z^2 - xy[/math] függvénynek az [math]x^2 + y^2 + z^2 = 1[/math] feltétel mellett? (+3 pontért: Az egyik lehetséges pontban nézzük meg, hogy van-e!)

---

3) [2016PZH] Hol lehet feltételes szélsőértéke a [math]x^2 + y^2 + z^2 - 2xy -2xz[/math] függvénynek az [math]x^2 + y^2 + z^2 = 1[/math] feltétel mellett? Állapoítsuk meg a szélsőértékek jellegét!

Variáció számítás

1) [2015ZH2] Keressük meg az [math]I(y)[/math] funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!

[math]I(y) = \int_{-1}^{2}y'^2 + x^3 - 2xydx[/math]

[math]y(-1) = \frac{1}{6},~y(2)=\frac{5}{3}[/math]

---

2) [2015ZH2] Keressük meg az [math]I(y)[/math] funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!

[math]I(y) = \int_{-1}^{2}y'^3 + x^3 - 2xydx[/math]

[math]y(-1) = \frac{1}{6},~y(2)=\frac{5}{3}[/math]