Alkalmazott algebra - Előadások 2012
Tartalomjegyzék
1. előadás (szeptember 3.)
Testek, polinomok, vektorterek. Altér, generátorrendszer, függetlenség, bázis, dimenzió. Lineáris leképezések és transzformációk, dimenziótétel. Egy alkalmazás: polinominterpoláció.
Tárgymutató
- Testek, polinomok, vektorterek: D6-10, J1-2
- Altér, generátorrendszer, függetlenség, bázis, dimenzió: D11-16, J2-3
- Lineáris leképezések és transzformációk, dimenziótétel: D17-20, J3-5
- Egy alkalmazás: polinominterpoláció: D22, "interpoláció".
2. előadás (szeptember 7.)
Lagrange- és Newton-féle interpolációs polinomok. A Shamir-féle titokmegosztás. Polinomok és polinomfüggvények kapcsolata véges, illetve végtelen test fölött. Műveletek lineáris leképezésekkel. Mátrixok, mátrixműveletek, mátrixhoz tartozó lineáris leképezés. Speciális mátrixok, blokkmátrixok. Lineáris leképezés mátrixa adott bázispárban.
Tárgymutató
- Lagrange-féle interpolációs polinom: D21-22, J5
- Newton-féle interpolációs polinom: -
- Shamir-féle titokmegosztás: D23-25, J6
- Polinomok és polinomfüggvények kapcsolata véges, illetve végtelen test fölött: -
- Műveletek lineáris leképezésekkel: D17-18, J4, J6
- Mátrixok, mátrixműveletek, mátrixhoz tartozó lineáris leképezés: D27-31, D37-38, J7-8
- Speciális mátrixok, blokkmátrixok: D31
- Lineáris leképezés mátrixa adott bázispárban: D35
Eltérések
Polinomok és polinomfüggvények kapcsolata véges, illetve végtelen test fölött
Newton-féle interpolációs polinom:
[math] f_0, \dots, f_{n-1}: \deg f_i = i [/math]
[math] f_i(x) = f_{i-1}(x) + A(x - a_1)\dots(x-a_i) [/math]
[math] f(a_{i+1}) = b_{i+1} [/math]
??
Newton-féle interpolációs formula (innen):
[math]y=y_0 + A_0(x-x_0)+ A_1(x-x_0)(x-x_1)+\dots +A_m(x-x_0)(x-x_1) \dots(x-x_m), [/math]
ahol az [math]A_i[/math] kifejezések a Newton-féle interpolációs együtthatók:
[math]A_0=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0};\quad A_1=\frac{y_1-y_0-A_0(x_2-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)};\quad\dots [/math]
3. előadás (szeptember 14.)
Báziscsere. Elemi sorműveletek és elemi mátrixok. Az invertálhatóság ekvivalensei. Lineáris leképezés és mátrix rangja. A rang ekvivalensei és tulajdonságai. Egy alkalmazás: a Fischer-egyenlőtlenség.
Tárgymutató
- Báziscsere: D40, J9
- Elemi sorműveletek és elemi mátrixok: ??
- Az invertálhatóság ekvivalensei: ??
- Lineáris leképezés és mátrix rangja: ??
- A rang ekvivalensei és tulajdonságai: D49, J15
- Egy alkalmazás: a Fischer-egyenlőtlenség: -
Eltérések
Fischer-egyenlőtlenség: hiányzik a jegyzetből/diasorból.
Rang alkalmazása: Fischer-egyenlőtlenség
[math]n, \lambda \in \mathbb{N}^+[/math]. Legyen [math] |S| = n [/math] halmaz, [math] \mathcal{H}: S [/math] néhány részhalmazának halmaza (halmazrendszer) úgy, hogy
[math] h_1, h_2 \in \mathcal{H} (h_1 \neq h_2) [/math]
[math] \lambda [/math]-elemű részhalmazban metszik egymást ([math]|h_1 \cap h_2| = \lambda[/math]). Ekkor [math] |\mathcal{H}| \leq n [/math]
4. előadás (szeptember 17.)
Determináns definíciója, tulajdonságai, kiszámítási módjai. Cauchy-Binet-formula. Inverz mátrix előjeles aldeterminánsokkal. Lineáris egyenletrendszerek megoldása és megoldásszáma. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér. Vektorterek direkt összege, és ennek dimenziója. A különböző sajátértékekhez tartozó sajátalterek generátuma a sajátalterek direkt összege.
Tárgymutató
- Determináns definíciója, tulajdonságai, kiszámítási módjai: D43-48, J10-12
- Cauchy-Binet-formula: -
- Inverz mátrix előjeles aldeterminánsokkal: D48, J13
- Lineáris egyenletrendszerek megoldása és megoldásszáma: D52-63, J13-14. Megoldásszám: ??
- Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér: D64-68, J15-16
- Vektorterek direkt összege, és ennek dimenziója: J18
- A különböző sajátértékekhez tartozó sajátalterek generátuma a sajátalterek direkt összege: ??
Eltérések
Determináns: [math]A = [\sigma_1, \dots, \sigma_n][/math] esetén [math]\det A[/math] a [math]\sigma_1, \dots, \sigma_n[/math] egy csúcsból kiinduló oldalak által határolt [math]n[/math]-dimenziós paralelepipedon előjeles térfogata.
Szerepelt a determináns korábban ismert definíciója is (D43, J10).
Cauchy-Binet-formula: hiányzik a jegyzetből/diasorból.
[math]A \in \mathbb{R}[/math], [math]B \in \mathbb{R}^{n \times k}[/math], [math]k \leq n[/math] esetén az [math]AB[/math] [math]k \times k[/math]-as négyzetes mátrix determinánsa: [math] \det(AB) = \sum_i \det A_i \cdot \det B_i [/math]
Az összegbe az összes lehetséges kiválasztással kapott [math]k \times k[/math]-as részmátrixok kerülnek.
Formálisan (innen): [math] \sum_{F \subseteq \left\{1,\ldots,n\right\}, |F| = k} \det A[F] \cdot \det B[F] [/math]
[math]n = m[/math]-re a tétel megegyezik a determinánsok szorzástételével (az összeg egy tagból áll).
5. előadás (szeptember 21.)
Mátrix magterének és képterének bázisa. Mátrixok hasonlósága. Diagonalizálhatóság és ekvivalensei. Karakterisztikus és minimálpolinom. Cayley-Hamilton-tétel. Jordan-féle normálalak.
Tárgymutató
- Mátrix magterének és képterének bázisa: ??
- Mátrixok hasonlósága: D40-42, J10
- Diagonalizálhatóság és ekvivalensei: -
- Karakterisztikus és minimálpolinom: D73 és J16, D77 és J22
- Cayley-Hamilton-tétel: D76 (Hamilton-Cayley-tétel) J21
- Jordan-féle normálalak: részletes leírás a tárgy honlapján
