„Alkalmazott algebra - Előadások 2012” változatai közötti eltérés

A VIK Wikiből
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
(Új oldal, tartalma: „{{GlobalTemplate|Infoszak|AlkAlg2012Eloadasok}} %INCLUDE{"AlkAlg2012Ea1"}% %INCLUDE{"AlkAlg2012Ea2"}% %INCLUDE{"AlkAlg2012Ea3"}% %INCLUDE{"AlkAlg2012Ea4"}% %INCLUD…”)
 
(egy helyre összegyűjtve)
1. sor: 1. sor:
−
{{GlobalTemplate|Infoszak|AlkAlg2012Eloadasok}}
+
=1. előadás (szeptember 3.)=
 +
'''Testek, polinomok, vektorterek. Altér, generátorrendszer, függetlenség, bázis, dimenzió. Lineáris leképezések és transzformációk, dimenziótétel. Egy alkalmazás: polinominterpoláció.'''
 +
==Tárgymutató==
 +
* Testek, polinomok, vektorterek: D6-10, J1-2
 +
* Altér, generátorrendszer, függetlenség, bázis, dimenzió: D11-16, J2-3
 +
* Lineáris leképezések és transzformációk, dimenziótétel: D17-20, J3-5
 +
* Egy alkalmazás: polinominterpoláció: D22, "interpoláció".
  
−
%INCLUDE{"AlkAlg2012Ea1"}%
+
=2. előadás (szeptember 7.)=
−
%INCLUDE{"AlkAlg2012Ea2"}%
+
'''Lagrange- és Newton-féle interpolációs polinomok. A Shamir-féle titokmegosztás. Polinomok és polinomfüggvények kapcsolata véges, illetve végtelen test fölött. Műveletek lineáris leképezésekkel. Mátrixok, mátrixműveletek, mátrixhoz tartozó lineáris leképezés. Speciális mátrixok, blokkmátrixok. Lineáris leképezés mátrixa adott bázispárban.'''
−
%INCLUDE{"AlkAlg2012Ea3"}%
 
−
%INCLUDE{"AlkAlg2012Ea4"}%
 
−
%INCLUDE{"AlkAlg2012Ea5"}%
 
−
%INCLUDE{"AlkAlg2012Ea6"}%
 
−
%INCLUDE{"AlkAlg2012Ea7"}%
 
−
%INCLUDE{"AlkAlg2012Ea8"}%
 
−
%INCLUDE{"AlkAlg2012Ea9"}%
 
−
%INCLUDE{"AlkAlg2012Ea10"}%
 
−
%INCLUDE{"AlkAlg2012Ea11"}%
 
  
 +
==Tárgymutató==
 +
* Lagrange-féle interpolációs polinom: D21-22, J5
 +
* Newton-féle interpolációs polinom: -
 +
* Shamir-féle titokmegosztás: D23-25, J6
 +
* Polinomok és polinomfüggvények kapcsolata véges, illetve végtelen test fölött: -
 +
* Műveletek lineáris leképezésekkel: D17-18, J4, J6
 +
* Mátrixok, mátrixműveletek, mátrixhoz tartozó lineáris leképezés: D27-31, D37-38, J7-8
 +
* Speciális mátrixok, blokkmátrixok: D31
 +
* Lineáris leképezés mátrixa adott bázispárban: D35
  
−
[[Category:Infoszak]]
+
==Eltérések==
 +
'''Polinomok és polinomfüggvények kapcsolata véges, illetve végtelen test fölött'''
 +
 
 +
'''Newton-féle interpolációs polinom:'''
 +
 
 +
<math> f_0, \dots, f_{n-1}: \deg f_i = i </math>
 +
 
 +
<math> f_i(x) = f_{i-1}(x) + A(x - a_1)\dots(x-a_i) </math>
 +
 
 +
<math> f(a_{i+1}) = b_{i+1} </math>
 +
 
 +
??
 +
 
 +
Newton-féle interpolációs formula  ([http://hu.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6rbeilleszt%C3%A9s_(matematika) innen]):
 +
 
 +
<math>y=y_0 + A_0(x-x_0)+ A_1(x-x_0)(x-x_1)+\dots +A_m(x-x_0)(x-x_1) \dots(x-x_m), </math>
 +
 +
ahol az <math>A_i</math> kifejezések a Newton-féle interpolációs együtthatók:
 +
 
 +
<math>A_0=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0};\quad A_1=\frac{y_1-y_0-A_0(x_2-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)};\quad\dots </math>
 +
 
 +
=3. előadás (szeptember 14.)=
 +
'''Báziscsere. Elemi sorműveletek és elemi mátrixok. Az invertálhatóság ekvivalensei. Lineáris leképezés és mátrix rangja. A rang ekvivalensei és tulajdonságai. Egy alkalmazás: a Fischer-egyenlőtlenség.'''
 +
 
 +
==Tárgymutató==
 +
* Báziscsere: D40, J9
 +
* Elemi sorműveletek és elemi mátrixok: ??
 +
* Az invertálhatóság ekvivalensei: ??
 +
* Lineáris leképezés és mátrix rangja: ??
 +
* A rang ekvivalensei és tulajdonságai: D49, J15
 +
* Egy alkalmazás: a Fischer-egyenlőtlenség: -
 +
 
 +
==Eltérések==
 +
'''Fischer-egyenlőtlenség:''' hiányzik a jegyzetből/diasorból.
 +
 
 +
Rang alkalmazása: Fischer-egyenlőtlenség
 +
 
 +
<math>n, \lambda \in \mathbb{N}^+</math>. Legyen <math> |S| = n </math> halmaz, <math> \mathcal{H}: S </math> néhány részhalmazának halmaza (halmazrendszer) úgy, hogy
 +
 
 +
<math> h_1, h_2 \in \mathcal{H} (h_1 \neq h_2) </math>
 +
 
 +
<math> \lambda </math>-elemű részhalmazban metszik egymást (<math>|h_1 \cap h_2| = \lambda</math>). Ekkor <math> |\mathcal{H}| \leq n </math>
 +
 
 +
=4. előadás (szeptember 17.)=
 +
'''Determináns definíciója, tulajdonságai, kiszámítási módjai. Cauchy-Binet-formula. Inverz mátrix előjeles aldeterminánsokkal. Lineáris egyenletrendszerek megoldása és megoldásszáma. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér. Vektorterek direkt összege, és ennek dimenziója. A különböző sajátértékekhez tartozó sajátalterek generátuma a sajátalterek direkt összege.'''
 +
 
 +
==Tárgymutató==
 +
* Determináns definíciója, tulajdonságai, kiszámítási módjai: D43-48, J10-12
 +
* Cauchy-Binet-formula: -
 +
* Inverz mátrix előjeles aldeterminánsokkal: D48, J13
 +
* Lineáris egyenletrendszerek megoldása és megoldásszáma: D52-63, J13-14. Megoldásszám: ??
 +
* Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér: D64-68, J15-16
 +
* Vektorterek direkt összege, és ennek dimenziója: J18
 +
* A különböző sajátértékekhez tartozó sajátalterek generátuma a sajátalterek direkt összege: ??
 +
 
 +
==Eltérések==
 +
'''Determináns:''' <math>A = [\sigma_1, \dots, \sigma_n]</math> esetén <math>\det A</math> a <math>\sigma_1, \dots, \sigma_n</math> egy csúcsból kiinduló oldalak által határolt <math>n</math>-dimenziós paralelepipedon előjeles térfogata.
 +
 
 +
Szerepelt a determináns korábban ismert definíciója is (D43, J10).
 +
 
 +
'''Cauchy-Binet-formula:''' hiányzik a jegyzetből/diasorból.
 +
 
 +
<math>A \in \mathbb{R}</math>, <math>B \in \mathbb{R}^{n \times k}</math>, <math>k \leq n</math> esetén az <math>AB</math> <math>k \times k</math>-as négyzetes mátrix determinánsa:
 +
<math> \det(AB) = \sum_i \det A_i \cdot \det B_i </math>
 +
 
 +
Az összegbe az összes lehetséges kiválasztással kapott <math>k \times k</math>-as részmátrixok kerülnek.
 +
 
 +
Formálisan ([http://www.math.u-szeged.hu/~hajnal/courses/MSc_Diszkret/MSc_kombi10/ea02.pdf innen]):
 +
<math> \sum_{F \subseteq \left\{1,\ldots,n\right\}, |F| = k} \det A[F] \cdot \det B[F] </math>
 +
 
 +
<math>n = m</math>-re a tétel megegyezik a determinánsok szorzástételével (az összeg egy tagból áll).
 +
 
 +
=5. előadás (szeptember 21.)=
 +
'''Mátrix magterének és képterének bázisa. Mátrixok hasonlósága. Diagonalizálhatóság és ekvivalensei. Karakterisztikus és minimálpolinom. Cayley-Hamilton-tétel. Jordan-féle normálalak.'''
 +
 
 +
==Tárgymutató==
 +
* Mátrix magterének és képterének bázisa: ??
 +
* Mátrixok hasonlósága: D40-42, J10
 +
* Diagonalizálhatóság és ekvivalensei: -
 +
* Karakterisztikus és minimálpolinom: D73 és J16, D77 és J22
 +
* Cayley-Hamilton-tétel: D76 (Hamilton-Cayley-tétel) J21
 +
* Jordan-féle normálalak: részletes leírás a tárgy [http://www.math.bme.hu/~lukacs/bboard/linalg/comp_jordan.pdf honlapján]
 +
 
 +
[[Category:InfoMsc]]

A lap 2013. október 2., 13:26-kori változata

1. előadás (szeptember 3.)

Testek, polinomok, vektorterek. Altér, generátorrendszer, függetlenség, bázis, dimenzió. Lineáris leképezések és transzformációk, dimenziótétel. Egy alkalmazás: polinominterpoláció.

Tárgymutató

  • Testek, polinomok, vektorterek: D6-10, J1-2
  • Altér, generátorrendszer, függetlenség, bázis, dimenzió: D11-16, J2-3
  • Lineáris leképezések és transzformációk, dimenziótétel: D17-20, J3-5
  • Egy alkalmazás: polinominterpoláció: D22, "interpoláció".

2. előadás (szeptember 7.)

Lagrange- és Newton-féle interpolációs polinomok. A Shamir-féle titokmegosztás. Polinomok és polinomfüggvények kapcsolata véges, illetve végtelen test fölött. Műveletek lineáris leképezésekkel. Mátrixok, mátrixműveletek, mátrixhoz tartozó lineáris leképezés. Speciális mátrixok, blokkmátrixok. Lineáris leképezés mátrixa adott bázispárban.

Tárgymutató

  • Lagrange-féle interpolációs polinom: D21-22, J5
  • Newton-féle interpolációs polinom: -
  • Shamir-féle titokmegosztás: D23-25, J6
  • Polinomok és polinomfüggvények kapcsolata véges, illetve végtelen test fölött: -
  • Műveletek lineáris leképezésekkel: D17-18, J4, J6
  • Mátrixok, mátrixműveletek, mátrixhoz tartozó lineáris leképezés: D27-31, D37-38, J7-8
  • Speciális mátrixok, blokkmátrixok: D31
  • Lineáris leképezés mátrixa adott bázispárban: D35

Eltérések

Polinomok és polinomfüggvények kapcsolata véges, illetve végtelen test fölött

Newton-féle interpolációs polinom:

[math] f_0, \dots, f_{n-1}: \deg f_i = i [/math]

[math] f_i(x) = f_{i-1}(x) + A(x - a_1)\dots(x-a_i) [/math]

[math] f(a_{i+1}) = b_{i+1} [/math]

??

Newton-féle interpolációs formula (innen):

[math]y=y_0 + A_0(x-x_0)+ A_1(x-x_0)(x-x_1)+\dots +A_m(x-x_0)(x-x_1) \dots(x-x_m), [/math]

ahol az [math]A_i[/math] kifejezések a Newton-féle interpolációs együtthatók:

[math]A_0=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0};\quad A_1=\frac{y_1-y_0-A_0(x_2-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)};\quad\dots [/math]

3. előadás (szeptember 14.)

Báziscsere. Elemi sorműveletek és elemi mátrixok. Az invertálhatóság ekvivalensei. Lineáris leképezés és mátrix rangja. A rang ekvivalensei és tulajdonságai. Egy alkalmazás: a Fischer-egyenlőtlenség.

Tárgymutató

  • Báziscsere: D40, J9
  • Elemi sorműveletek és elemi mátrixok: ??
  • Az invertálhatóság ekvivalensei: ??
  • Lineáris leképezés és mátrix rangja: ??
  • A rang ekvivalensei és tulajdonságai: D49, J15
  • Egy alkalmazás: a Fischer-egyenlőtlenség: -

Eltérések

Fischer-egyenlőtlenség: hiányzik a jegyzetből/diasorból.

Rang alkalmazása: Fischer-egyenlőtlenség

[math]n, \lambda \in \mathbb{N}^+[/math]. Legyen [math] |S| = n [/math] halmaz, [math] \mathcal{H}: S [/math] néhány részhalmazának halmaza (halmazrendszer) úgy, hogy

[math] h_1, h_2 \in \mathcal{H} (h_1 \neq h_2) [/math]

[math] \lambda [/math]-elemű részhalmazban metszik egymást ([math]|h_1 \cap h_2| = \lambda[/math]). Ekkor [math] |\mathcal{H}| \leq n [/math]

4. előadás (szeptember 17.)

Determináns definíciója, tulajdonságai, kiszámítási módjai. Cauchy-Binet-formula. Inverz mátrix előjeles aldeterminánsokkal. Lineáris egyenletrendszerek megoldása és megoldásszáma. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér. Vektorterek direkt összege, és ennek dimenziója. A különböző sajátértékekhez tartozó sajátalterek generátuma a sajátalterek direkt összege.

Tárgymutató

  • Determináns definíciója, tulajdonságai, kiszámítási módjai: D43-48, J10-12
  • Cauchy-Binet-formula: -
  • Inverz mátrix előjeles aldeterminánsokkal: D48, J13
  • Lineáris egyenletrendszerek megoldása és megoldásszáma: D52-63, J13-14. Megoldásszám: ??
  • Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér: D64-68, J15-16
  • Vektorterek direkt összege, és ennek dimenziója: J18
  • A különböző sajátértékekhez tartozó sajátalterek generátuma a sajátalterek direkt összege: ??

Eltérések

Determináns: [math]A = [\sigma_1, \dots, \sigma_n][/math] esetén [math]\det A[/math] a [math]\sigma_1, \dots, \sigma_n[/math] egy csúcsból kiinduló oldalak által határolt [math]n[/math]-dimenziós paralelepipedon előjeles térfogata.

Szerepelt a determináns korábban ismert definíciója is (D43, J10).

Cauchy-Binet-formula: hiányzik a jegyzetből/diasorból.

[math]A \in \mathbb{R}[/math], [math]B \in \mathbb{R}^{n \times k}[/math], [math]k \leq n[/math] esetén az [math]AB[/math] [math]k \times k[/math]-as négyzetes mátrix determinánsa: [math] \det(AB) = \sum_i \det A_i \cdot \det B_i [/math]

Az összegbe az összes lehetséges kiválasztással kapott [math]k \times k[/math]-as részmátrixok kerülnek.

Formálisan (innen): [math] \sum_{F \subseteq \left\{1,\ldots,n\right\}, |F| = k} \det A[F] \cdot \det B[F] [/math]

[math]n = m[/math]-re a tétel megegyezik a determinánsok szorzástételével (az összeg egy tagból áll).

5. előadás (szeptember 21.)

Mátrix magterének és képterének bázisa. Mátrixok hasonlósága. Diagonalizálhatóság és ekvivalensei. Karakterisztikus és minimálpolinom. Cayley-Hamilton-tétel. Jordan-féle normálalak.

Tárgymutató

  • Mátrix magterének és képterének bázisa: ??
  • Mátrixok hasonlósága: D40-42, J10
  • Diagonalizálhatóság és ekvivalensei: -
  • Karakterisztikus és minimálpolinom: D73 és J16, D77 és J22
  • Cayley-Hamilton-tétel: D76 (Hamilton-Cayley-tétel) J21
  • Jordan-féle normálalak: részletes leírás a tárgy honlapján
A lap eredeti címe: „https://wiki.sch.bme.hu/index.php?title=Alkalmazott_algebra_-_Előadások_2012&oldid=171328”