„Algoritmuselmélet - ZH, 2013.04.03.” változatai közötti eltérés

A VIK Wikiből
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
9. sor: 9. sor:
 
}}
 
}}
  
===2. Feladat===
+
===2. Feladat (Van megoldás)===
Egy <math> A[i,j] </math>   <math>n</math> x <math>n</math>-es táblázat minden mezőjében egy egész szám van írva (nem feltétlenül csak pozitívak). Adjon <math> O(n^2) </math> lépésszámú algoritmust, ami eldönti, hogy melyik az a téglalap alakú része a táblázatnak, melynek bal felső sarka egybe esik a nagy táblázat bal felső sarkával és benne az elemek összege az egyik legnagyobb.  
+
Egy <math> A[i,j] </math> <math>n</math> x <math>n</math>-es táblázat minden mezőjében egy egész szám van írva (nem feltétlenül csak pozitívak). Adjon <math> O(n^2) </math> lépésszámú algoritmust, ami eldönti, hogy melyik az a téglalap alakú része a táblázatnak, melynek bal felső sarka egybe esik a nagy táblázat bal felső sarkával és benne az elemek összege az egyik legnagyobb.  
  
 
(Vagyis olyan <math>k, l</math>-t keresünk, amire <math> \sum_{i \leq k, j \leq l}A[i,j] </math> maximális.)
 
(Vagyis olyan <math>k, l</math>-t keresünk, amire <math> \sum_{i \leq k, j \leq l}A[i,j] </math> maximális.)
17. sor: 17. sor:
 
|szöveg=
 
|szöveg=
  
<math> T </math>
+
{{Rejtett
 +
|mutatott=<big>''Megjegyzések a feladathoz''</big>
 +
|szöveg=
 +
 
 +
*Ahogy az többször is segít, úgy most is, hogy felrajzolunk magunknak egy 3x3, vagy 4x4-es táblázatot, és nézegetjük, hogyan kéne dolgozni...
 +
*A feladatban 1-1 lépésnek vettem:
 +
**1 művelet (<math> +,- </math>) elvégzését ''(vagyis a <math> B[i,j]=B[i-1,j]+B[i,j-1]+A[i,j]-B[i-1,j-1] </math> 3 lépés).''
 +
**1 értéke beírása a cellába.
 +
**1 összehasonlítás (és esetleges cserék).
  
 +
}}
 +
*Adott az <math> A </math> mátrix.
 +
*Létrehozunk egy <math> B </math> mátrixot (szintén <math>n</math> x <math>n</math>-es).''(ez <math>\Rightarrow O(n^2)</math> lépés)''
 +
*<math> B[1,1]:= A[1,1]</math>. ''(ez <math>\Rightarrow 1 </math> lépés)''
 +
*<math> k=l=1 </math> és <math> aktmax=B[1,1] </math>.
 +
*Először kitöltjük az 1. sort <math> \rightarrow  B[i,1]:=B[i-1,1]+A[i,1], i=2 \dots n  </math>. ''(ez <math>\Rightarrow 2(n-1)=O(n)</math> lépés)''
 +
*Majd kitöltjük az 1. oszlopot <math> \rightarrow  B[1,i]:=B[1,i-1]+A[1,i], i=2 \dots n  </math>. ''(ez <math>\Rightarrow 2(n-1)=O(n)</math> lépés)''
 +
*Minden további cellában pedig <math> B[i,j]=B[i-1,j]+B[i,j-1]+A[i,j]-B[i-1,j-1] </math>. ''(ez <math>\Rightarrow 4(n-1)(n-1)=O(n^2)</math> lépés)''
 +
*A keresett <math> k,l </math> párost pedig folyamat nyilván tartjuk: ha <math>  B[i,j] \geq aktmax \Rightarrow k=i, l=j </math> és <math> aktmax = B[i,j] </math>. ''(ez <math>\Rightarrow n^2-1=O(n^2)</math> lépés)''
 +
*<math> 1+2O(n)+ 3O(n^2)=O(n^2)</math> lépésszámú algoritmusunk van, tehát jók vagyunk.
 +
:::::::::::::::::[[File:A_B_matrix.PNG|400px]]
  
 
}}
 
}}

A lap 2013. június 13., 17:35-kori változata

2013.04.03. ZH megoldásai

1. Feladat

TODO

Megoldás
TODO

2. Feladat (Van megoldás)

Egy [math] A[i,j] [/math] [math]n[/math] x [math]n[/math]-es táblázat minden mezőjében egy egész szám van írva (nem feltétlenül csak pozitívak). Adjon [math] O(n^2) [/math] lépésszámú algoritmust, ami eldönti, hogy melyik az a téglalap alakú része a táblázatnak, melynek bal felső sarka egybe esik a nagy táblázat bal felső sarkával és benne az elemek összege az egyik legnagyobb.

(Vagyis olyan [math]k, l[/math]-t keresünk, amire [math] \sum_{i \leq k, j \leq l}A[i,j] [/math] maximális.)

Megoldás
Megjegyzések a feladathoz
  • Ahogy az többször is segít, úgy most is, hogy felrajzolunk magunknak egy 3x3, vagy 4x4-es táblázatot, és nézegetjük, hogyan kéne dolgozni...
  • A feladatban 1-1 lépésnek vettem:
    • 1 művelet ([math] +,- [/math]) elvégzését (vagyis a [math] B[i,j]=B[i-1,j]+B[i,j-1]+A[i,j]-B[i-1,j-1] [/math] 3 lépés).
    • 1 értéke beírása a cellába.
    • 1 összehasonlítás (és esetleges cserék).
  • Adott az [math] A [/math] mátrix.
  • Létrehozunk egy [math] B [/math] mátrixot (szintén [math]n[/math] x [math]n[/math]-es).(ez [math]\Rightarrow O(n^2)[/math] lépés)
  • [math] B[1,1]:= A[1,1][/math]. (ez [math]\Rightarrow 1 [/math] lépés)
  • [math] k=l=1 [/math] és [math] aktmax=B[1,1] [/math].
  • Először kitöltjük az 1. sort [math] \rightarrow B[i,1]:=B[i-1,1]+A[i,1], i=2 \dots n [/math]. (ez [math]\Rightarrow 2(n-1)=O(n)[/math] lépés)
  • Majd kitöltjük az 1. oszlopot [math] \rightarrow B[1,i]:=B[1,i-1]+A[1,i], i=2 \dots n [/math]. (ez [math]\Rightarrow 2(n-1)=O(n)[/math] lépés)
  • Minden további cellában pedig [math] B[i,j]=B[i-1,j]+B[i,j-1]+A[i,j]-B[i-1,j-1] [/math]. (ez [math]\Rightarrow 4(n-1)(n-1)=O(n^2)[/math] lépés)
  • A keresett [math] k,l [/math] párost pedig folyamat nyilván tartjuk: ha [math] B[i,j] \geq aktmax \Rightarrow k=i, l=j [/math] és [math] aktmax = B[i,j] [/math]. (ez [math]\Rightarrow n^2-1=O(n^2)[/math] lépés)
  • [math] 1+2O(n)+ 3O(n^2)=O(n^2)[/math] lépésszámú algoritmusunk van, tehát jók vagyunk.
  • 400px

    3. Feladat (Van megoldás)

    Kaphatjuk-e az 1,7,3,6,11,15,22,17,14,12,9 számsorozatot úgy, hogy egy (a szokásos rendezést használó) bináris keresőfában tárolt elemeket posztorder sorrendben kiolvasunk?

    Megoldás
    Megjegyzés a feladathoz
    • Szokásos rendezést használó bináris keresőfa: [math]bal(x) \lt x \lt jobb(x)[/math]
    • Postorder:
      • Rekurzívan [math] bal(x) \rightarrow jobb(x) \rightarrow x [/math]. Magyarul előbb meglátogatja a gyökérnél kisebbeket, utána a nagyobbakat, és ezután jön csak a gyökér.
      • Egyik fontos tulajdonsága, hogy a gyökér az mindig a (figyelt) lista végén van.
  • Első lépésnek írjuk fel egy táblázatba a számokat (az oszlopszámot tudjuk, ez esetben 11, sorok száma meg majd alakul...).
  • A továbbiakban az i. sorban jelöljük, hogy melyik elem a gyökér (=), és hogy melyek a nála kisebbek (<), avagy nagyobbak (>) (a képen keretezéssel jelzem, hogy melyik az éppen figyelt lista). Ez azért hasznos, mert a posztorder bejárás során, ezzel a technikával mindig olyan sorrendet kell kapjunk, hogy [math] \lt \lt \lt ... \lt \lt \gt \gt ... \gt \gt = [/math], vagyis nem állhat fel olyan helyzet, hogy [math] ... \lt \gt \lt ...=[/math] vagy [math] ... \gt \lt \gt ...=[/math].
    • Az 1. sorban a 9 lesz a gyökér. Felrajzoljuk a 9-t gyökérnek. (Bal oldalt lesz a hiba, de gyakorlásképp nézzük inkább a jobb oldalt.)
    • A 2. sorban a 12 lesz a gyökér, így a 12-est felrajzoljuk a 9-es jobb fiának. Nála csak a 11 a kisebb (a vizsgált listában), így a 11-t berajzoljuk a 12 bal fiának.
    • A 3. sorban 14 lesz a gyökér, így a 14-est felrajzoljuk a 12-es jobb fiának.
    • A 4. sorban a 17 lesz a gyökér, így ez a 14-es jobb fia lesz. A 15 és 22 pedig értelemszerűen a bal, és jobb fia lesz 17-nek.
    • Az 5. sorban a gyökér a 6 lesz, így azt berajzoljuk a 9-es bal fiának. És itt látszik is, hogy hiba van, hiszen [math] \lt \gt \lt [/math] sorrend van, ebből következik, hogy ilyen fa nem létezhet.
  • 400px 300px

    4. Feladat

    TODO

    Megoldás
    TODO

    5. Feladat

    TODO

    Megoldás
    TODO

    6. Feladat

    TODO

    Megoldás
    TODO

    7. Feladat

    TODO

    Megoldás
    TODO

    8. Feladat

    TODO

    Megoldás
    TODO