Algoritmuselmélet - Vizsga, 2013.05.30.
Tartalomjegyzék
2013.06.06. vizsga megoldásai
1. Feladat
TODO
2. Feladat
TODO
3. Feladat
TODO
4. Feladat
TODO
5. Feladat (Van megoldás)
Egy algoritmus lépésszámáról tudjuk, hogy [math] T(n) = T\left(\left \lfloor \frac{n}{4} \right \rfloor\right) + Ο(n^2)[/math] és tudjuk azt is, hogy [math] T(1)=T(2)=T(3)=1[/math]. Bizonyítsa be, hogy [math] T(n)=O(n^2)[/math].
[math] T(n) = T\left(\left \lfloor \frac{n}{4} \right \rfloor\right) + O(n^2)=T(n) = T\left(\left \lfloor \frac{n}{16} \right \rfloor\right) + O\left(\frac{n^2}{4} \right) + O(n^2)=...=1 + O(n^2)*\left(\sum_{i=0}^{\left \lfloor log_4n \right \rfloor} \left (\frac{1}{4} \right )^i\right)[/math]
Azt kell észrevennünk, hogy ez tulajdonképpen egy mértani sor, amire van képletünk:
[math]\sum_{i=0}^{k} r^i = \frac{1-r^{k+1}} {1-r} [/math] ahol [math] k = \left \lfloor log_4n \right \rfloor, r = 0.25[/math], vagyis [math]\frac{1-0.25^{\left \lfloor log_4n \right \rfloor+1}} {1-0.25}[/math]
[math] \lim_{n \to \infty}\frac{1-0.25^{\left \lfloor log_4n \right \rfloor+1}} {1-0.25} = \frac{1}{0.75}[/math]
6. Feladat
TODO
7. Feladat
TODO
8. Feladat
TODO
