Analízis (MSc) típusfeladatok
Tartalomjegyzék
Integrál trafók témakör
Laplace trafó diff-egyenlet
1) [2015ZH1] Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha
[math]\dot{x}(t) = 2y(t) - x(t) + 1[/math]
[math]\dot{y}(t) = 3y(t) - 2x(t)[/math]
[math]x(0) = 0,~y(0) = 1[/math]
- Vegyük mindkét egyenlet Laplace trafóját ([math]X := \mathcal{L}(x),~ Y := \mathcal{L}(y)[/math]):
[math]sX - x(0) = 2Y - X + \frac{1}{s}[/math]
[math]sY - y(0) = 3Y - 2X[/math]
- Az egyenleteket átrendezve, és x(0), y(0)-t behelyettesítve:
[math](s+1)X + (-2)Y = \frac{1}{s}[/math]
[math](2)X + (s-3)Y = 1[/math]
- Mátrixos alakra hozva:
[math]\begin{bmatrix}s+1 & -2 \\ 2 & s-3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{s} \\ 1\end{bmatrix}[/math]
- Megoldás X-re (a számlálóban a mátrix első oszlopa le lett cserélve az egyenlet jobb oldalára. Ha y-t számolnánk, akkor a második oszlopot kéne lecserélni):
[math]X = \frac{det\left(\begin{bmatrix}\frac{1}{s} & -2 \\ 1 & s-3\end{bmatrix}\right)}{det\left(\begin{bmatrix}s+1 & -2 \\ 2 & s-3\end{bmatrix}\right)} = \frac{\frac{s-3}{s} + 2}{(s+1)(s-3)+4} = \frac{3 (s-1)}{s(s^2 - 2s + 1)} = \frac{3 (s-1)}{s(s-1)^2} = \frac{3}{s(s-1)}[/math]
- Az inverz laplacehoz bontsuk parciális törtekre:
[math]\frac{A}{s} + \frac{B}{s-1} = \frac{A(s-1) + Bs}{s(s-1)} = \frac{3}{s(s-1)}[/math]
- Együtthatókat összehasonlítva:
[math] A + B = 0, -A = 3[/math]
- Ahonnan:
[math] A = -3,~B = 3[/math]
- Vagyis [math]X(s) = \frac{-3}{s} + \frac{3}{s-1}[/math]
- Tehát a táblázat alapján [math]x(t) = -3 + 3e^t[/math]
2) [2016ZH1] Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha
[math]\ddot{x}(t) = 2x(t) - 3y(t)[/math]
[math]\ddot{y}(t) = x(t) - 2y(t)[/math]
[math]x(0) = \dot{x}(0) = 0,~y(0) = 0,~\dot{y}(0) = 1[/math]
- Vegyük mindkét egyenlet Laplace trafóját:
[math]s^2X - sx(0) - \dot{x}(0) = 2X - 3Y[/math]
[math]s^2Y - sy(0) - \dot{y}(0) = X - 2Y[/math]
- Átrendezve és mátrixos alakra hozva:
[math]\begin{bmatrix}s^2-2 & 3 \\ -1 & s^2+2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}[/math]
- Megoldás X-re:
[math]X = \frac{det\left(\begin{bmatrix}0 & 3 \\ 1 & s^2+2\end{bmatrix}\right)}{det\left(\begin{bmatrix}s^2-2 & 3 \\ -1 & s^2+2\end{bmatrix}\right)} = \frac{-3}{(s^2-2)(s^2+2)+3} = \frac{-3}{s^4-1} = \frac{-3}{(s^2-1)(s^2+1)}[/math]
- Parc törtek:
[math]\frac{A}{s^2-1} + \frac{B}{s^2+1} = \frac{(A+B)s^2 + (A-B)}{s^4-1} = \frac{-3}{s^4-1}[/math]
- Ahonnan:
[math] A = -\frac{3}{2},~B = \frac{3}{2}[/math]
- Inverz Laplace után: [math]x(t) = -\frac{3}{2}sht + \frac{3}{2}sint[/math]
3) [2016ZH1] Transzformáljuk elsőrendűvé a [math]y'' + xy' = x[/math] differenciálegyenlet Laplace transzformációval (Nem kell megoldani!)!
- Számítsuk ki a tagok Laplace trafóját (x szerint):
- [math]\mathcal{L}_x(y'') = s^2 Y - s y(0) - y'(0)[/math]
- [math]\mathcal{L}_x(xy') = -(\mathcal{L}_x(y'))' = -(sY - y(0))' = -(s'Y + sY') = -Y - sY' [/math]
- [math]\mathcal{L}_x(x) = \frac{1}{s^2}[/math]
- Tehát az egyenlet Laplace transzformáltja (elsőrendű Y-ban):
Laplace trafó szabályok alkalmazása
1) [2016PZH] Számítsuk ki az alábbi jobboldali határétrékeket:
[math]\lim_{x \to 0+}f'(x) = ?, ~ \lim_{x \to 0+}f''(x) = ?, ha ~\mathcal{L}(f) = \frac{s^2-3s+1}{5s^4-4s^3+8}[/math]
- Számoljuk ki [math]\mathcal{L}'(f)[/math]-et!
[math]\mathcal{L}'(f) = s\mathcal{L}(f) + \lim_{x \to 0+}f(x)[/math]
- Vegyük ennek az egyenletnek a végtelenben vett határértékét:
- Egy Laplace trafó, és annak bármelyik deriváltja nullázhoz tart a végtelenben: [math]lim_{s \to \infty}\mathcal{L}'(f)=0[/math]
- [math]lim_{s \to \infty}s\mathcal{L}(f) = lim_{s \to \infty}\frac{s(s^2-3s+1)}{5s^4-4s^3+8} = 0[/math]
- Tehát:
[math]0 = 0 + f(0+)[/math]
- Amiből:
[math]f(0+) = 0[/math]
- Csináljuk meg ugyanezt [math]\mathcal{L}''(f)[/math]-re!
[math]\mathcal{L}''(f) = s^2\mathcal{L}(f) + sf(0+) + f'(0+)[/math]
- Vagyis:
[math]0 = \frac{1}{5} + 0 + f'(0+)[/math]
- Amiből:
[math]f'(0+) = -\frac{1}{5}[/math]
- Végül csináljuk meg ugyanezt [math]\mathcal{L}'''(f)[/math]-re!
[math]\mathcal{L}'''(f) = s^3\mathcal{L}(f) + s^2f(0+) + sf'(0+) + f''(0+)[/math]
- Itt a határérték picit bonyolultabb:
[math]0 = lim_{s \to \infty}(\frac{s}{5} + 0 - \frac{s}{5} + f''(0+))[/math]
- Amiből:
Fourier diff-egyenlet
1) [2015ZH1] Oldjuk meg Fourier transzformáció segítségével! [math]y'(x) - 4y(x) = 8[/math]
- Vegyük az egyenlet Fourier trafóját (a táblázatban a Fourier trafó y függvénye, de az y itt mást jelent, a táblázatbeli y-ok helyére írjuk s-t, illetve vezessük be az alábbi jelölést: [math]Y = \mathcal{F}(y)[/math])!:
[math]isY - 4Y = 8\sqrt{2\pi}\delta(s)[/math]
- Átrendezve:
[math]-i(s+4i)Y = 8\sqrt{2\pi}\delta(s)[/math]
- Aminek a disztribúció értelemben vett megoldás Y-ra:
- Ha [math]s+4i \neq 0[/math], akkor leoszthatunk vele.
- Ha [math]s+4i = 0[/math], akkor [math]0 \cdot Y(-4i) = 0[/math], vagyis [math]Y(-4i)[/math] bármilyen konstans lehet, ezt jelöljük pl c-vel.
[math]Y = c \cdot \delta(s+4i) + \frac{8\sqrt{2\pi}\delta(s)}{is-4}[/math]
- Az összeg jobboldali tagja egyszerűsíthető, ha kihasználjuk, hogy az egy disztribúció (a [math]\delta(s)[/math] a nevezőben lévő s-be is nullát helyettesít):
[math]\frac{8\sqrt{2\pi}\delta(s)}{is-4}(\varphi) = \delta(s)\frac{8\sqrt{2\pi}}{is-4}(\varphi) = \delta(s)(\frac{8\sqrt{2\pi}}{is-4}\varphi) = \frac{8\sqrt{2\pi}}{i0-4}\varphi(0) = -2\sqrt{2\pi}\delta(s)[/math]
- Vagyis:
[math]Y = c \cdot \delta(s+4i) + -2\sqrt{2\pi}\delta(s)[/math]
- Aminek vegyük az inverz Fourier transzformáltját:
- Megjegyzés: A táblázatban szerepel [math]\mathcal{F}(f(t)+a) = e^{ias}\mathcal{F}(f(t))[/math], de nekünk inverz trafó kell
- [math]\mathcal{F}^{-1}(F(s) + a) = \mathcal{F}(F(s) + a)|_{t=-s} = e^{ia(-t)}(\mathcal{F}(F(s))|_{t=-s}) = e^{ia(-t)}\mathcal{F}^{-1}(F(s))[/math]
2) [2016ZH1] Transzformáljuk elsőrendűvé a [math]y'' + xy' = x[/math] differenciálegyenlet Fourier transzformációval (Nem kell megoldani!)!
- Számítsuk ki az egyenlet tagjainak Fourier trafóját (x szerint):
- [math]\mathcal{F}_x(y'') = i^2 s^2 \hat{y} = -s^2 \hat{y}[/math]
- [math]\mathcal{F}_x(xy') = \frac{\mathcal{F}_x(y')'}{-i} = i\mathcal{F}_x(y')' = i(is\hat{y})'= -(s\hat{y})' = -\hat{y} - s\hat{y}'[/math]
- [math]\mathcal{F}_x(x) = \sqrt{2\pi}i\delta'(s)[/math]
- Vagyis az egyenlet Fourier trafója (elsőrendű diff-egyenlet [math]\hat{y}[/math]-ra):
Fourier trafó szabályok alkalmazása
1) [2015ZH1] Számítsuk ki az [math]f(x) = 3xe^{-x}H(x)[/math] Fourier transzformáltját, ha tudjuk, hogy [math]\mathcal{F}(e^{-x}H(x)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{1+iy}[/math]
Vezessük be a [math]g(x) = e^{-x}H(x)[/math] jelölést!
[math]\mathcal{F}(f(x)) = 3 \mathcal{F}(x \cdot g(x)) = 3 \cdot \frac{\mathcal{F}(g(x))'}{-i} = 3i \cdot (\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{1+iy})' = 3i \cdot (-1) \cdot i \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{(1+iy)^2} = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{(1+iy)^2}[/math]Disztribúciók
1) [2015ZH1] Adjuk meg [math]\delta[/math] és [math]\delta'[/math] lineáris kombinációjaként az [math]e^{3x-2}\delta'(x)[/math] disztribúciót!
- Nézzük meg, hogy egy [math]\varphi[/math] függvényre hogyan viselkedik a feladatban szereplő disztribúció!
[math](e^{3x-2}\delta'(x))(\varphi) = \delta'(x)(e^{3x-2} \varphi) = -\delta(x)(e^{3x-2} \varphi)' = -\delta(x)(3 \cdot e^{3x-2} \varphi + e^{3x-2} \varphi') = -3e^{-2} \varphi(0) - e^{-2} \varphi'(0) = (-3e^{-2}\delta(x) + e^{-2}\delta'(x))(\varphi)[/math]
- Vagyis:
2) [2016ZH1] Számítsuk ki a [math]T = e^{-x^2}[/math] reguláris disztribúcuó és a [math]\delta'[/math] disztribúció konvolúciójának hatását a [math]\psi(x) = x^2[/math] függvényre: [math](T * \delta')x^2 = ?[/math]
- Elődáson volt, hogy [math](T * \delta') = T'[/math]
- [math](T * \delta')\varphi(x+y) = T_x (-\delta'_y(\varphi(x+y))) = T_x(-\delta_y(\varphi'(x+y))) = T_x(-\varphi'(x)) = T_x'(\varphi(x))[/math]
- Ezt felasználva alkalmazzuk a [math]T'[/math] disztribúciót a [math]\psi[/math] függvényre:
3) [2016ZH1] Mi az [math](x-3)f = 0[/math] disztribúció értelemben vett egyenelet összes megoldása? (+1 miért?)
[math]f = c \cdot \delta(x-3)[/math]
- Ha [math]x-3 \neq 0[/math], akkor leoszthatunk vele, és azt kapjuk, hogy [math]f = 0,~ha~x-3 \neq 0[/math].
- Ha [math]x-3 = 0[/math], akkor [math]0 \cdot f(3) = 0[/math], vagyis [math]f(3)[/math] bármilyen konstans értéket felvehet, ezt jelöljük pl c-vel.
- Tehát ha [math]x \neq 3[/math], akkor [math]f = 0[/math], ha [math]x = 3[/math], akkor tetszőleges [math]c[/math] értékű, ez röviden: [math]f = c \cdot \delta(x-3)[/math]
4) [2016ZH1] Adjuk meg az [math]e^{3x}\delta''(x-2)[/math] disztribúciót a [math]\delta[/math] eltolt deriváltjainak lineáris kombinációjaként!
[math]e^{3x}\delta''(x-2)(\varphi) = \delta''(x-2)(e^{3x}\varphi) = \delta(x-2)((e^{3x}\varphi)'') = \delta(x-2)((3e^{3x}\varphi + e^{3x}\varphi')') = [/math]
[math]= \delta(x-2)(9e^{3x}\varphi + 6e^{3x}\varphi' + e^{3x}\varphi'') = 9e^{6}\varphi(2) + 6e^{6}\varphi'(2) + e^{6}\varphi''(2) = (9e^{6}\delta(x-2) - 6e^{6}\delta'(x-2) + e^{6}\delta''(x-2))(\varphi)[/math]5) [2016PZH] Legyen u az [math]f(x) = x - 3[/math] által generált reguláris disztribúció, [math]\psi(x) = e^{-x^2}[/math]. Számítsuk ki [math](\sigma_2\tau_3\delta' * u)\psi[/math]-t!
- Először szabaduljunk meg a konvulúciótól:
[math](\sigma_2\tau_3\delta' * u) = (u * \sigma_2\tau_3\delta')\varphi(x+y) = u_x (\sigma_2\tau_3\delta'_y(\varphi(x+y))) = u_x(-\sigma_2\tau_3\delta_y(\varphi'(x+y))) = u_x(-\delta_y(\varphi'(2(x+y-3)))) = u_x(-\varphi'(2(x-3))) = u_x'(\sigma_2\tau_3(\varphi(x))) = 1[/math]
- Majd értékeljük ki a disztribúciót (ez egy közismert integrál, de viszonylag nehéz kiszámolni):
Wavelet trafók
Megjegyzés: a kitevőbe írt törtek (pl: [math]e^{-\frac{x^2}{2}}[/math]) sok böngészőben hibásan jelennek meg, ezért ezekben az esetekben törtek helyett osztás jelet fogok használni.
1) [2015ZH1] Legyen [math]\psi(x) = (1 - x^2)e^{-x^2 / 2}[/math], a mexikói kalap wavelet.
a) Legyen [math]f(x) = e^{-|x|}[/math]. [math]\mathcal{F}(W_{\psi}f_a(b)) = ?[/math]
b) Legyen [math]g(x) = x^2[/math]. Tudjuk, hogy [math]\int_{R}e^{-x^2 / 2}dx=\sqrt{2\pi}.~W_{\psi}g_a(b) = ?[/math]
a) A wavelet Fourier trafóját közvetlenül megkaphatjuk a wavelet kiértékelése nélkül: [math]\mathcal{F}(W_{\psi}f_a(b)) = \sqrt{|a|} \cdot \sqrt{2\pi} \hat{f}(y) \cdot \overline{\hat{\psi}(ay)}[/math]
[math]\hat{f}(y) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{1 + y^2}[/math]
[math]\hat{\psi}(y) = \mathcal{F}(e^{-x^2 / 2}) - \mathcal{F}(x^2 \cdot e^{-x^2 / 2}) = \mathcal{F}(e^{-x^2 / 2}) - \frac{\mathcal{F}(e^{-x^2 / 2})''}{(-i)^2} = \mathcal{F}(e^{-x^2 / 2}) + \mathcal{F}(e^{-x^2 / 2})''[/math]
A táblázatban nincs benne, de közismert, hogy [math]\mathcal{F}(e^{-x^2 / 2}) = e^{-y^2 / 2}[/math]
[math]\hat{\psi}(y) = e^{-y^2 / 2} + (e^{-y^2 / 2})'' = e^{-y^2 / 2} + (-y(e^{-y^2 / 2}))' = e^{-y^2 / 2} -e^{-y^2 / 2} + y^2(e^{-y^2 / 2}) = y^2(e^{-y^2 / 2})[/math]
A táblázatból kiolvasott képletbe behelyettesítve:
[math]\mathcal{F}(W_{\psi}f_a(b)) = \sqrt{|a|} \cdot \sqrt{2\pi} \left(\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{1 + y^2}\right) \cdot \left((ay)^2(e^{-(ay)^2 / 2})\right)[/math]
b) [math]W_{\psi}g_a(b) = \lt \psi_{a, b}, g\gt = \int_{-\infty}^{\infty} (1 - \frac{x-b}{a}^2)e^{-((x-b)/a)^2 / 2} x^2 dx[/math]
Helyettesítésel integrállal tegyük egyszerűbbé a fenti képletet: [math] u = \frac{x-b}{a},~x = au + b,~ dx = a \cdot du[/math]
[math]W_{\psi}g_a(b) = \int_{-\infty}^{\infty} (1 -u^2)e^{-u^2 / 2} (au + b)^2 a \cdot du[/math]
Használjuk ki, hogy korábban már kiszámoltuk, hogy [math](e^{-u^2 / 2})'' = -(1 -u^2)e^{-u^2 / 2}[/math]
[math]W_{\psi}g_a(b) = -a \int_{-\infty}^{\infty}(e^{-u^2 / 2})'' (au + b)^2 du[/math]
Amit kétszer parciálisan integrálva meg is kapjuk az eredményt:
[math]W_{\psi}g_a(b) = -a \left( \left[(e^{-u^2 / 2})' (au + b)^2\right]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty}(e^{-u^2 / 2})' 2a \cdot (au + b) du \right) = 2a^2 \int_{-\infty}^{\infty}(e^{-u^2 / 2})' \cdot (au + b) du = 2a^2 \left( \left[e^{-u^2 / 2} (au + b) \right]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2 / 2} \cdot a du \right) = -2a^3 \sqrt{2\pi}[/math]2) [2016ZH1] A Poisson wavelet a következő: [math]\psi_n(x) = H(x) \frac{x-n}{n!} x^{n-1} e^{-x}[/math]
a) Mutassuk meg, hogy [math]\psi(x) = -(\frac{x^n}{n!} e^{-x})'[/math], ha [math]x \geq 0[/math]
b) Mutassuk meg, hogy [math]\int_R \psi_n(x)dx = 0[/math]
c) [math]C_{\psi_n} = ?[/math]
3) [2016PZH] Legyen [math]\psi(x) = xe^{-|x|}, f(x) = e^{-x^2/2}[/math]. Adjuk meg f [math] \psi[/math] által generált wavelet transzformáltjának Fourier transzformáltját!
Numerikus módszerek témakör
Parcdiff egyenletek (Fourier)
1) [2015ZH2] Oldjuk meg Fourier módszerrel az alábbi parciális differenciálegyenletet!
[math]\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 4\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}[/math]
[math]u(0, t) = u(3, t) = 0,~u(x,0)=sin\frac{4\pi}{3}x,~\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 2\sin\frac{\pi}{3}x[/math]
- Az [math]U(x, t)[/math]-t keressük szorzat alakban: [math]U(x, t) = X(x)T(T)[/math]
- A diffegyenlet így átírva: [math]X(t)\ddot{T}(t) = 4*X''(x)T(T)[/math]
- Ez így már szeparálható (figyeljünk arra, hogy a deriváltak a számlálóban legyenek):
[math]4 \cdot \frac{X''(x)}{X(x)} = \frac{\ddot{T}(t)}{T(T)} = -b^2[/math]
- Nézzük meg, hogy melyik változóra van feltételünk, aminek a jobb oldalán konstans szerepel.
- Az első két féltétel átírva: X(0)T(t) = X(3)T(t) = 0, minden t-re, vagyis X(0) = X(3) = 0
- Tehát az X-re van a T-től nem függő feltételünk, ezért először az X-re oldjuk meg a diffegyenletet!
- Oldjuk meg a diff-egyenletet:
[math]4 \cdot \frac{X''(x)}{X(x)} = -b^2[/math]
[math]4 \cdot X''(x) + b^2 \cdot X(x) = 0[/math]
- Írjuk fel a karakterisztikus függvényt!
[math]4 \cdot \lambda^2 + b^2 = 0[/math]
[math]\lambda^2 = -\frac{b^2}{4}[/math]
[math]\lambda = \pm i \frac{b}{2}[/math]
- Vagyis a diff-egyenlet megoldása:
[math]X(x) = c_1 \cos{\frac{b}{2}x} + c_2 \sin{\frac{b}{2}x}[/math]
- Vizsgáljuk meg a kezdeti feltételeket:
[math]X(0) = c_1 \cos{0} + c_2 \sin{0} = c_1 = 0[/math]
[math]X(3) = c_2 \sin{\frac{b}{2}3} = 0[/math]
Ami csak olyan egész k értékekre teljesülhet, amikre: [math]\frac{b}{2}3 = k \pi,~b = \frac{2}{3} k \pi[/math]
- Most oldjuk meg a diff-egyenletet T(t)-re, de a b helyére az újonnan kapott képletet írjuk be.
[math]\frac{\ddot{T}(t)}{T(t)} = -(\frac{2}{3} k \pi)^2[/math]
[math]\lambda^2 = -(\frac{2}{3} k \pi)^2[/math]
[math]\lambda = \pm \frac{2}{3} i k \pi[/math]
- A T-re vonatkozó (k-tól függő) diff-egynelet:
[math]T_k(t) = a_k \cos{\frac{2}{3} k \pi t} + b_k \sin{\frac{2}{3} k \pi t}[/math]
- Az [math]U(x, t)[/math]-re vonatkozó k-tól függő egyenlet tehát:
[math]U_k(x, t) = c_2 \sin{\frac{k}{3} \pi x} (a_k \cos{\frac{2k}{3} \pi t} + b_k \sin{\frac{2k}{3} \pi t})[/math]
- Vezessük be az [math]A_k = c_2 \cdot a_k[/math] és [math]B_k = c_2 \cdot b_k[/math] konstansokat!
[math]U_k(x, t) = A_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \cos{\frac{2k}{3} \pi t} + B_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \sin{\frac{2k}{3} \pi t}[/math]
- Az [math]U(x, t)[/math] pedig felírható az [math]U_k(x, t)[/math]-k összegeként az összes k-ra.
[math]U(x, t) = \sum_0^\infty U_k(x, t)[/math]
- A maradék két feltétel segítségével számoljuk ki az [math]A_k[/math] és [math]B_k[/math] konstansok értékeit.
[math]U(x,0)=\sum_0^\infty A_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \cos{0} + B_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \sin{0} = \sum_0^\infty A_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} = sin\frac{4\pi}{3}x[/math]
Amiből az együtthatók összehasonlításával megkapjuk, hogy [math]A_4 = 1[/math], minden más [math]A_i = 0[/math], ha [math]i \neq 4[/math]2) [2016ZH2] Oldjuk meg Fourier módszerrel az alábbi parciális differenciálegyenletet!
[math]\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 9\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}[/math]
[math]u(x, 0) = 12\cos\frac{3\pi}{5}x,~\frac{\partial u}{\partial x}(0, t) = ~\frac{\partial u}{\partial x}(5, t) = 0[/math]
Parcdiff egyenletek (véges differenciák)
1) [2015ZH2] Véges differenciák segítségével, [math]h=\frac{1}{2}[/math] felosztás mellett adjuk meg az [math]u_{1,2}[/math] értékét, ha
[math]\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}[/math]
[math]u(0, t) = 3,~ u(3, t) = 0,~u(x,0)=3-x,~\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 0[/math]
2) [2016ZH2] Vázoljuk fel az alábbi feladat megoldását véges differenciák módszerével, ha [math]x \in [0, 5], t \geq 0[/math], az x irányú távolság, h = 1. Mennyi lesz [math] u(2, \frac{1}{18})[/math]?
[math]\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 9\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}[/math]
[math]u(x, 0) = 12\cos\frac{3\pi}{5}x,~\frac{\partial u}{\partial x}(0, t) = ~\frac{\partial u}{\partial x}(5, t) = 0[/math]
Jordan normál-forma
1) [2016ZH2] Adjuk meg az [math]x = Bx + b[/math] egyenlet megoldását, ha [math]B = \frac{1}{6}\begin{bmatrix}3 & 1 & -2 \\ 0 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix},~ b = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}.[/math]
Nem lineáris egyenletek numerikus megoldása
1) [2015ZH2] Keressük a [math]\sqrt{1 + coshx} - 2 = x[/math] egyenlet megoldását. Tudjuk, hogy a gyök a [4, 5] intervallumban van.
a) A gyökhöz milyen közel kell indítani a húrmódszert, hogy az eljárás konvergáljon?
b) Használható-e a [4, 5] intervallumon az iteráció?
2) [2016ZH2] Tekintsük az [math]e^x - 2 = x[/math] egyenletet az [1, 2] intervallumon! Megoldható-e iterációval az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen? Megoldható-e húrmódszerrel az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen?
3) [2016PZH] Az [math]arsh 2x = x[/math] egyenlet esetében az intervallum felezés, vagy az iteráció a célravezetőbb az [1, 2] intervallumon? És a [2, 3]-n?
Lagrange multiplikátor módszer
1) [2015ZH2] Keressük meg az [math]f(x, y, z) = xy^2z^3(x,y,z \gt 0)[/math] szélsőértékét az [math]x + 2y + 3z = 6[/math] feltétel mellett! Vizsgáljuk meg a feltételes definitséget a kapott pontban!
2) [2016ZH2] Hol lehet feltételes szélsőértéke a [math]3x^2 + y^2 + z^2 - xy[/math] függvénynek az [math]x^2 + y^2 + z^2 = 1[/math] feltétel mellett? (+3 pontért: Az egyik lehetséges pontban nézzük meg, hogy van-e!)
3) [2016PZH] Hol lehet feltételes szélsőértéke a [math]x^2 + y^2 + z^2 - 2xy -2xz[/math] függvénynek az [math]x^2 + y^2 + z^2 = 1[/math] feltétel mellett? Állapoítsuk meg a szélsőértékek jellegét!
Variáció számítás
1) [2015ZH2] Keressük meg az [math]I(y)[/math] funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!
[math]I(y) = \int_{-1}^{2}y'^2 + x^3 - 2xydx[/math]
[math]y(-1) = \frac{1}{6},~y(2)=\frac{5}{3}[/math]
2) [2015ZH2] Keressük meg az [math]I(y)[/math] funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!
[math]I(y) = \int_{-1}^{2}y'^3 + x^3 - 2xydx[/math]
[math]y(-1) = \frac{1}{6},~y(2)=\frac{5}{3}[/math]