Algoritmuselmélet - ZH, 2013.04.03.
Tartalomjegyzék
2013.04.03. ZH megoldásai
1. Feladat
TODO
2. Feladat (Van megoldás)
Egy [math] A[i,j] [/math] [math]n[/math] x [math]n[/math]-es táblázat minden mezőjében egy egész szám van írva (nem feltétlenül csak pozitívak). Adjon [math] O(n^2) [/math] lépésszámú algoritmust, ami eldönti, hogy melyik az a téglalap alakú része a táblázatnak, melynek bal felső sarka egybe esik a nagy táblázat bal felső sarkával és benne az elemek összege az egyik legnagyobb.
(Vagyis olyan [math]k, l[/math]-t keresünk, amire [math] \sum_{i \leq k, j \leq l}A[i,j] [/math] maximális.)
- Ahogy az többször is segít, úgy most is, hogy felrajzolunk magunknak egy 3x3, vagy 4x4-es táblázatot, és nézegetjük, hogyan kéne dolgozni...
- A feladatban 1-1 lépésnek vettem:
- 1 művelet ([math] +,- [/math]) elvégzését (vagyis a [math] B[i,j]=B[i-1,j]+B[i,j-1]+A[i,j]-B[i-1,j-1] [/math] 3 lépés).
- 1 értéke beírása a cellába.
- 1 összehasonlítás (és esetleges cserék).
3. Feladat (Van megoldás)
Kaphatjuk-e az 1,7,3,6,11,15,22,17,14,12,9 számsorozatot úgy, hogy egy (a szokásos rendezést használó) bináris keresőfában tárolt elemeket posztorder sorrendben kiolvasunk?
- Szokásos rendezést használó bináris keresőfa: [math]bal(x) \lt x \lt jobb(x)[/math]
- Postorder:
- Rekurzívan [math] bal(x) \rightarrow jobb(x) \rightarrow x [/math]. Magyarul előbb meglátogatja a gyökérnél kisebbeket, utána a nagyobbakat, és ezután jön csak a gyökér.
- Egyik fontos tulajdonsága, hogy a gyökér az mindig a (figyelt) lista végén van.
- Az 1. sorban a 9 lesz a gyökér. Felrajzoljuk a 9-t gyökérnek. (Bal oldalt lesz a hiba, de gyakorlásképp nézzük inkább a jobb oldalt.)
- A 2. sorban a 12 lesz a gyökér, így a 12-est felrajzoljuk a 9-es jobb fiának. Nála csak a 11 a kisebb (a vizsgált listában), így a 11-t berajzoljuk a 12 bal fiának.
- A 3. sorban 14 lesz a gyökér, így a 14-est felrajzoljuk a 12-es jobb fiának.
- A 4. sorban a 17 lesz a gyökér, így ez a 14-es jobb fia lesz. A 15 és 22 pedig értelemszerűen a bal, és jobb fia lesz 17-nek.
- Az 5. sorban a gyökér a 6 lesz, így azt berajzoljuk a 9-es bal fiának. És itt látszik is, hogy hiba van, hiszen [math] \lt \gt \lt [/math] sorrend van, ebből következik, hogy ilyen fa nem létezhet.
4. Feladat (Van megoldás)
Adjacencia-mátrixával adott [math]n[/math] csúcsú, irányított gráfként ismerjük egy város úthálózatát. El szeretnék jutni [math]A[/math] pontból [math]B[/math] pontba, de sajnos minden csomóponthoz várnunk kell a nagy hóesés miatt, a várakozás hossza minden csomópontra ismert és független attól, hogy merre akarunk továbbmenni. Adjon algoritmust, ami [math]O(n^2)[/math] lépésben eldönti, hogy merre menjünk, hogy a lehető legkevesebbet kelljen várni összességében. (A csomópontok közötti utak hosszának megtétele a várakozáshoz képest elhanyagolható időbe telik, tekintsük 0-nak. [math]A[/math]-ban és [math]B[/math]-ben nem kell várakozni.)
- A "probléma", hogy a csúcsoknak van súlya (ill. az éleknek is van, de az 0), amivel nem igen tudunk mit kezdeni. De nem hiába volt BSZ1 (vagy BSZ2?), ahol megtanultuk, hogy könnyedén csinálhatunk a csúcssúlyból élsúlyt.
- Az adott pontot (X) lecseréljük 2 pontra (X1, X2). Ami eddig X-be ment, az menjen X1-be, és ami X-ből ment, az menjen X2-ből. (Vagyis X1-ből csak X2-be megy él, és X2-be csak az X1 megy.)
- A 2 pontot összekötjük, a köztük menő élsúly pedig az X pont súlya lesz.
- Csináljuk hát ezt ezzel a gráffal:
- Az eredeti [math] n [/math] csúcsú G gráfból csinálunk így egy F gráfot, melyben [math] 2n [/math] csúcs lesz (és az élszám is n-nel nő, de ez most minket annyira nem izgat).
- Ebben az F gráfban kell megtalálni a legrövidebb utat egy "X2"-ből egy "Y1"-be.
- A Dijkstra-algoritmus [math] O(n^2) [/math] lépésben keres legrövidebb utat, ebben az esetben [math] O((2n)^2)=4O(n^2)=O(n^2)[/math].
- Így a feladat ezzel meg is oldva.
5. Feladat
TODO
6. Feladat
TODO
7. Feladat
TODO
8. Feladat
TODO