„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés
3. sor: | 3. sor: | ||
== Elmélet == | == Elmélet == | ||
− | 1) Milyen függvényosztályra értelmeztük a Laplace transzformációt? | + | 1) [2016ZH1] Milyen függvényosztályra értelmeztük a Laplace transzformációt? |
− | 2) Írjuk fel a skálázó egyenletet! | + | 2) [2016ZH1] Írjuk fel a skálázó egyenletet! |
== Laplace trafó diff-egyenlet == | == Laplace trafó diff-egyenlet == | ||
− | 1) Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha | + | 1) [2015ZH1] Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha |
<math>\dot{x}(t) = 2y(t) - x(t) + 1</math> | <math>\dot{x}(t) = 2y(t) - x(t) + 1</math> | ||
16. sor: | 16. sor: | ||
<math>x(0) = 0,~y(0) = 1</math> | <math>x(0) = 0,~y(0) = 1</math> | ||
− | 2) Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha | + | 2) [2016ZH1] Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha |
<math>\ddot{x}(t) = 2x(t) - 3y(t)</math> | <math>\ddot{x}(t) = 2x(t) - 3y(t)</math> | ||
23. sor: | 23. sor: | ||
<math>x(0) = \dot{x}(0) = 0,~y(0) = 0,~\dot{y}(0) = 1</math> | <math>x(0) = \dot{x}(0) = 0,~y(0) = 0,~\dot{y}(0) = 1</math> | ||
− | 3) Transzformáljuk elsőrendűvé a <math>y'' + xy' = x</math> differenciálegyenlet Laplace transzformációval (Nem kell megoldani!)! | + | 3) [2016ZH1] Transzformáljuk elsőrendűvé a <math>y'' + xy' = x</math> differenciálegyenlet Laplace transzformációval (Nem kell megoldani!)! |
== Fourier diff-egyenlet == | == Fourier diff-egyenlet == | ||
− | 1) Oldjuk meg Fourier transzformáció segítségével! | + | 1) [2015ZH1] Oldjuk meg Fourier transzformáció segítségével! |
<math>y'(x) - 4y(x) = 8</math> | <math>y'(x) - 4y(x) = 8</math> | ||
− | 2) Transzformáljuk elsőrendűvé a <math>y'' + xy' = x</math> differenciálegyenlet Fourier transzformációval (Nem kell megoldani!)! | + | 2) [2016ZH1] Transzformáljuk elsőrendűvé a <math>y'' + xy' = x</math> differenciálegyenlet Fourier transzformációval (Nem kell megoldani!)! |
== Fourier trafó szabályok alkalmazása == | == Fourier trafó szabályok alkalmazása == | ||
− | 1) Számítsuk ki az <math>f(x) = 3xe^{-x}H(x)</math> Fourier transzformáltját, ha tudjuk, hogy <math>F(e^{-x}H(x)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{1+iy}</math> | + | 1) [2015ZH1] Számítsuk ki az <math>f(x) = 3xe^{-x}H(x)</math> Fourier transzformáltját, ha tudjuk, hogy <math>F(e^{-x}H(x)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{1+iy}</math> |
== Disztribúciók == | == Disztribúciók == | ||
− | 1) Adjuk meg <math>\delta</math> és <math>\delta'</math> lineáris kombinációjaként az <math>e^{3x-2}\delta'(x)</math> disztribúciót! | + | 1) [2015ZH1] Adjuk meg <math>\delta</math> és <math>\delta'</math> lineáris kombinációjaként az <math>e^{3x-2}\delta'(x)</math> disztribúciót! |
− | 2) Számítsuk ki a <math>T = e^{-x^2}</math> reguláris disztribúcuó és a <math>\delta'</math> disztribúció konvolúciójának hatását a <math>\psi(x) = x^2</math> függvényre: <math>(T * \delta')x^2 = ?</math> | + | 2) [2016ZH1] Számítsuk ki a <math>T = e^{-x^2}</math> reguláris disztribúcuó és a <math>\delta'</math> disztribúció konvolúciójának hatását a <math>\psi(x) = x^2</math> függvényre: <math>(T * \delta')x^2 = ?</math> |
− | 3) Mi az <math>(x-3)f = 0</math> disztribúció értelemben vett egyenelet összes megoldása? (+1 miért?) | + | 3) [2016ZH1] Mi az <math>(x-3)f = 0</math> disztribúció értelemben vett egyenelet összes megoldása? (+1 miért?) |
− | 4) Adjuk meg az <math>e^{3x}\delta''(x-2)</math> disztribúciót a <math>\delta</math> eltolt deriváltjainak lineáris kombinációjaként! | + | 4) [2016ZH1] Adjuk meg az <math>e^{3x}\delta''(x-2)</math> disztribúciót a <math>\delta</math> eltolt deriváltjainak lineáris kombinációjaként! |
== Wavelet trafók == | == Wavelet trafók == | ||
− | 1) Legyen <math>\psi(x) = (1 - x^2)e^{-\frac{x^2}{2}}</math>, a mexikói kalap wavelet. | + | 1) [2015ZH1] Legyen <math>\psi(x) = (1 - x^2)e^{-\frac{x^2}{2}}</math>, a mexikói kalap wavelet. |
a) Legyen <math>f(x) = e^{-|x|}</math>. <math>F(W_{\psi}f_a(b)) = ?</math> | a) Legyen <math>f(x) = e^{-|x|}</math>. <math>F(W_{\psi}f_a(b)) = ?</math> | ||
54. sor: | 54. sor: | ||
b) Legyen <math>g(x) = x^2</math>. Tudjuk, hogy <math>\int_{R}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}</math>. <math>W_{\psi}g_a(b) = ?</math> | b) Legyen <math>g(x) = x^2</math>. Tudjuk, hogy <math>\int_{R}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}</math>. <math>W_{\psi}g_a(b) = ?</math> | ||
− | 2) A Poisson wavelet a következő: | + | 2) [2016ZH1] A Poisson wavelet a következő: |
<math>\psi_n(x) = H(x) \frac{x-n}{n!} x^{n-1} e^{-x}</math> | <math>\psi_n(x) = H(x) \frac{x-n}{n!} x^{n-1} e^{-x}</math> | ||
A lap 2016. május 24., 22:39-kori változata
Tartalomjegyzék
Integrál trafók témakör
Elmélet
1) [2016ZH1] Milyen függvényosztályra értelmeztük a Laplace transzformációt?
2) [2016ZH1] Írjuk fel a skálázó egyenletet!
Laplace trafó diff-egyenlet
1) [2015ZH1] Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha [math]\dot{x}(t) = 2y(t) - x(t) + 1[/math]
[math]\dot{y}(t) = 3y(t) - 2x(t)[/math]
[math]x(0) = 0,~y(0) = 1[/math]
2) [2016ZH1] Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha [math]\ddot{x}(t) = 2x(t) - 3y(t)[/math]
[math]\ddot{y}(t) = x(t) - 2y(t)[/math]
[math]x(0) = \dot{x}(0) = 0,~y(0) = 0,~\dot{y}(0) = 1[/math]
3) [2016ZH1] Transzformáljuk elsőrendűvé a [math]y'' + xy' = x[/math] differenciálegyenlet Laplace transzformációval (Nem kell megoldani!)!
Fourier diff-egyenlet
1) [2015ZH1] Oldjuk meg Fourier transzformáció segítségével! [math]y'(x) - 4y(x) = 8[/math]
2) [2016ZH1] Transzformáljuk elsőrendűvé a [math]y'' + xy' = x[/math] differenciálegyenlet Fourier transzformációval (Nem kell megoldani!)!
Fourier trafó szabályok alkalmazása
1) [2015ZH1] Számítsuk ki az [math]f(x) = 3xe^{-x}H(x)[/math] Fourier transzformáltját, ha tudjuk, hogy [math]F(e^{-x}H(x)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{1+iy}[/math]
Disztribúciók
1) [2015ZH1] Adjuk meg [math]\delta[/math] és [math]\delta'[/math] lineáris kombinációjaként az [math]e^{3x-2}\delta'(x)[/math] disztribúciót!
2) [2016ZH1] Számítsuk ki a [math]T = e^{-x^2}[/math] reguláris disztribúcuó és a [math]\delta'[/math] disztribúció konvolúciójának hatását a [math]\psi(x) = x^2[/math] függvényre: [math](T * \delta')x^2 = ?[/math]
3) [2016ZH1] Mi az [math](x-3)f = 0[/math] disztribúció értelemben vett egyenelet összes megoldása? (+1 miért?)
4) [2016ZH1] Adjuk meg az [math]e^{3x}\delta''(x-2)[/math] disztribúciót a [math]\delta[/math] eltolt deriváltjainak lineáris kombinációjaként!
Wavelet trafók
1) [2015ZH1] Legyen [math]\psi(x) = (1 - x^2)e^{-\frac{x^2}{2}}[/math], a mexikói kalap wavelet.
a) Legyen [math]f(x) = e^{-|x|}[/math]. [math]F(W_{\psi}f_a(b)) = ?[/math]
b) Legyen [math]g(x) = x^2[/math]. Tudjuk, hogy [math]\int_{R}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}[/math]. [math]W_{\psi}g_a(b) = ?[/math]
2) [2016ZH1] A Poisson wavelet a következő: [math]\psi_n(x) = H(x) \frac{x-n}{n!} x^{n-1} e^{-x}[/math]
a) Mutassuk meg, hogy [math]\psi(x) = -(\frac{x^n}{n!} e^{-x})'[/math], ha [math]x \geq 0[/math]
b) Mutassuk meg, hogy [math]\int_R \psi_n(x)dx = 0[/math]
c) [math]C_{\psi_n} = ?[/math]
Numerikus módszerek témakör
Parcdiff egyenletek (Fourier)
1) [2015ZH2] Oldjuk meg Fourier módszerrel az alábbi parciális differenciálegyenletet!
[math]\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 4\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}[/math]
[math]u(0, t) = u(3, t) = 0,~u(x,0)=sin\frac{4\pi}{3}x,~\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 2\sin\frac{\pi}{3}x[/math]
2) [2016ZH2] Oldjuk meg Fourier módszerrel az alábbi parciális differenciálegyenletet!
[math]\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 9\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}[/math]
[math]u(x, 0) = 12\cos\frac{3\pi}{5}x,~\frac{\partial u}{\partial x}(0, t) = ~\frac{\partial u}{\partial x}(5, t) = 0[/math]
Parcdiff egyenletek (véges differenciák)
1) [2015ZH2] Véges differenciák segítségével, [math]h=\frac{1}{2}[/math] felosztás mellett adjuk meg az [math]u_{1,2}[/math] értékét, ha
[math]\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}[/math]
[math]u(0, t) = 3,~ u(3, t) = 0,~u(x,0)=3-x,~\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 0[/math]
2) [2016ZH2] Vázoljuk fel az alábbi feladat megoldását véges differenciák módszerével, ha [math]x \in [0, 5], t \geq 0[/math], az x irányú távolság, h = 1. Mennyi lesz [math] u(2, \frac{1}{18})[/math]?
[math]\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 9\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}[/math]
[math]u(x, 0) = 12\cos\frac{3\pi}{5}x,~\frac{\partial u}{\partial x}(0, t) = ~\frac{\partial u}{\partial x}(5, t) = 0[/math]
Nem lineáris egyenletek numerikus megoldása
1) [2015ZH2] Keressük a [math]\sqrt{1 + coshx} - 2 = x[/math] egyenlet megoldását. Tudjuk, hogy a gyök a [4, 5] intervallumban van.
a) A gyökhöz milyen közel kell indítani a húrmódszert, hogy az eljárás konvergáljon?
b) Használható-e a [4, 5] intervallumon az iteráció?
2) [2016ZH2] Tekintsük az [math]e^x - 2 = x[/math] egyenletet az [1, 2] intervallumon! Megoldható-e iterációval az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen? Megoldható-e húrmódszerrel az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen?
Lagrange multiplikátor módszer
1) [2015ZH2] Keressük meg az [math]f(x, y, z) = xy^2z^3(x,y,z \gt 0)[/math] szélsőértékét az [math]x + 2y + 3z = 6[/math] feltétel mellett! Vizsgáljuk meg a feltételes definitséget a kapott pontban!
2) [2016ZH2] Hol lehet feltételes szélsőértéke a [math]3x^2 + y^2 + z^2 - xy[/math] függvénynek az [math]x^2 + y^2 + z^2 = 1[/math] feltétel mellett? (+3 pontért: Az egyik lehetséges pontban nézzük meg, hogy van-e!)
Variáció számítás
1) [2015ZH2] Keressük meg az [math]I(y)[/math] funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!
[math]I(y) = \int_{-1}^{2}y'^2 + x^3 - 2xydx[/math]
[math]y(-1) = \frac{1}{6},~y(2)=\frac{5}{3}[/math]
2) [2015ZH2] Keressük meg az [math]I(y)[/math] funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!
[math]I(y) = \int_{-1}^{2}y'^3 + x^3 - 2xydx[/math]
[math]y(-1) = \frac{1}{6},~y(2)=\frac{5}{3}[/math]