„Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)” változatai közötti eltérés
a (→Jelek felírása) |
(→Jelek állapotváltozós leírása: DI rendszer Latex teszt) |
||
218. sor: | 218. sor: | ||
== Jelek állapotváltozós leírása == | == Jelek állapotváltozós leírása == | ||
=== Diszkrét idejű jelek esetén === | === Diszkrét idejű jelek esetén === | ||
+ | Egy rendszer általánosságban leírható az alábbi két képlettel: | ||
+ | * <math>\vec{x[k+1]} = \vec{A} \cdot \vec{x[k]} + \vec{B} \ cdot u[k]</math> | ||
+ | * <math>\vec{y[k]} = \vec{C} \cdot \vec{x[k]} + \vec{D} \ cdot u[k]</math> | ||
+ | |||
+ | Ennek így elsőre semmi értelme, de: | ||
+ | * ha így írunk fel rendszereket, akkor egyszerűen kiszámolható az impulzusválaszuk | ||
+ | * ha így írunk fel rendszereket, akkor egyszerűen kiszámolható lesz adott gerjesztésre a válaszuk | ||
+ | * és ilyet kérdeznek ZH-n, háziban. | ||
+ | |||
+ | Szóval érdemes begyakorolni, megérteni, etc. | ||
+ | |||
+ | Amennyiben a rendszerünk egy gerjesztéssel, egy válasszal, és két köztes állapotváltozóval rendelkezik, ez így néz ki: | ||
+ | |||
+ | * <math>x_1[k+1] = A_{11} \cdot x_1[k] + A_{12} \cdot x_2[k] + B_1 \cdot u[k+1]</math> | ||
+ | * <math>x_2[k+1] = A_{21} \cdot x_1[k] + A_{22} \cdot x_2[k] + B_2 \cdot u[k+1]</math> | ||
+ | * <math>y[k] = C_1 \cdot x_1[k] + C_2 \cdot x_2[k] + D \cdot u[k]</math> | ||
+ | |||
+ | Kétszer kettes esetben az ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' vektorok így írhatóak fel: | ||
+ | |||
+ | * <math>A = \begin{amatrix} | ||
+ | A_{11} & A_{12} \\ | ||
+ | A_{21} & A_{22} \\ | ||
+ | \end{amatrix}</math> | ||
+ | * <math></math> | ||
+ | * <math></math> | ||
+ | * <math></math> |
A lap 2017. szeptember 24., 15:50-kori változata
A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.
Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a Rendszerelmélet lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)
Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)
A képleteket próbálom átnézni, de hibák maradhatnak benne. Tipikusan DI/FI rendszernél az index elnevezések, szögeletes/kapcsos zárójelek, etc. Ha ilyet találsz, javítsd nyugodtan (vagy dobj levelet). TY!
Tartalomjegyzék
Megjegyzések magamnak
Ezeket csak felvésem ide, hogy ne vesszen el. Még nem tudom, hova kellene ezeket bedolgozni...
- az első gyakon elhangzott, hogy az Euler-összefüggések még hasznosak lesznek. Innen a szinus és a koszinus kifejezése, ni.
Bevezetés
A tárgy keretében fizikai folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például:
- Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma.
- Híd deformációja a terhelés függvényében
- Lift sebessége a magasság függvényében, ha az ötödik emeletre akarunk menni.
- stb.
Rendszerek ábrázolása
Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható.
(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )
Példa
A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek.
Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: x1, x2, x3, y. Ebből az x-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az y az adott évben végző hallgatók száma. Az x1 értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat u-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat a-val, sikeresen teljesítőket b-vel (ezt most önkényesen jelölöm a illetve b-vel):
- [math]x_1[k+1] = a_1 \cdot x_1[k] + u[k+1] [/math]
- [math]x_2[k+1] = a_2 \cdot x_2[k] + b_1 \cdot x_1[k] [/math]
- [math]x_3[k+1] = a_3 \cdot x_3[k] + b_2 \cdot x_2[k] [/math]
- [math]y[k] = b_3 \cdot x_3[k][/math]
(szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/)
Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha:
- [math]u[k] = 500[/math] minden k-ra
- [math]a_n = 0.3[/math] minden n-re
- [math]b_n = 0.65[/math] minden n-re
(vegyük észre, hogy [math]a_n + b_n[/math] nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe).
Év (k) | Elsőévesek | Másodévesek | Harmadévesek | Végzők |
---|---|---|---|---|
1 | 500 | 0 | 0 | 0 |
2 | 650 | 325 | 0 | 0 |
3 | 695 | 520 | 211 | 0 |
4 | 709 | 608 | 401 | 137 |
5 | 713 | 643 | 515 | 260 |
5 | 714 | 656 | 572 | 335 |
Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány év múlva egy ~konstans értékre kéne beállnia a végzősök számának (~400 körül, valahol). Ez a tárgy ilyen (meg ennél bonyolultabb) modellekről, s azoknak az ennél egyszerűbb kiszámolásáról fog szólni.
Egyébként such wow, a fenti felállásban az u a gerjesztés, az y pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban.
Jelek osztályozása
Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Kezdjünk néhány jelöléssel:
(én most mindent diszkrét idejű jelekre írok le, de ugyanígy jelölöd folytonos időben is)
- [math]u[k][/math] a k időbeli gerjesztés
- [math]y[k][/math] a k időbeli válasza a rendszernek
- A teljes rendszert pedig a W-vel jelöljük, így: [math]W\left\{u[k]\right\} = y[k][/math]
Gerjesztések, Válaszok száma
A tárgy keretein belül egy gerjesztéssel, és egy válasszal rendelkező rendszerekről (SISO: Single Input Single Output) beszélünk.
Léteznek MIMO, MISO, SIMO (m, mint multiple) rendszerek is, ezekről nem lesz szó.
A jelölés nagyrészt hasonló ott is, csak az u, y, etc. vektorokként értelmezendők
Idő variancia
A W operátor lehet idő függő, és időtől nem függő. Ezek alapján megkülönböztetünk
- Idő variáns rendszereket
- Idő invariáns rendszereket.
A tárgy az utóbbiakkal foglalkozik. Itt mindig feltehetjük, hogy [math]W\left\{u[k]\right\} = y[k] \Rightarrow W\left\{u[k-L]\right\} = y[k-L][/math].
Lineáris rendszerek
Igaz az alábbi összefüggés:
[math]W\left\{c_a \cdot u_a[k] + c_b \cdot u_b[k] \right\} = c_a \cdot W\left\{u_a[k]\right\} + c_b \cdot W\left\{u_b[k]\right\}[/math]
Memória mentes, vagy memóriás
Def: Egy rendszer memória mentes, ha a válasza a t ill. k pillanatban csak a gerjesztés [math]u(t)[/math] illetve [math]u[k][/math] értékétől függ.
Kauzális, vagy akauzális
Def: Egy rendszer kauzális, ha a válasza a [math]t_1[/math] ill. [math]k_1[/math] pillanatban csak a gerjesztés [math]u(t), \quad t\lt t_1[/math] illetve [math]u[k], \quad k\lt k_1[/math] értékétől függ.
Folytonos / Diszkrét idejű jelek
Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről.
- Folytonos idejű, jelölése [math]x(t)[/math]
A folytonos idejű jelek minden [math]t \in \mathbb{R}[/math] értékben értelmezettek. - Diszkrét idejű, jelölése [math]x[k][/math]
A diszkrét idejű jelek csak a [math]k \in \mathbb{Z}[/math] egész számok helyén értelmezettek.
Periodicitás
Folytonos időben
Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik [math]T \in \mathbb{R}[/math] periódusidő, hogy [math]x(t) = x(t + T)[/math] minden t-re.
Diszkrét időben
Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik [math]L \in \mathbb{Z}[/math] periódusidő, hogy [math]x[k] = x[k + L][/math] minden k-ra.
Egyéb osztályozás
Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy.
- Determinisztikus: a rendszer válasza determinisztikus (megjósolható, nem véletlenszerű)
ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz - Belépő: [math]x(t) = 0[/math] minden [math]t\lt 0[/math] esetén.
Említés szintjén előkerül sztochasztikus (nem determinisztikus), nem belépő, x-ben belépő, diszkrét értékű, etc. jelek. Ezekkel nem foglalkozik a tárgy, de kis gondolkodással megfejtheted, melyik micsoda.
Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket:
- páros: [math]x(t) = x(-t)[/math] (az y tengelyre szimmetrikus)
- páratlan: [math]x(t) = -x(-t)[/math] (az origóra szimmetrikus)
Állítás: Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére.
Bizonyítás: Nem bizonyítjuk.
Jelek felírása
Diszkrét idejű jelek esetén
Speciális jelek
Egységimpulzus
[math]\delta[k]=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 &\text{egyébként}\end{cases}[/math]
Egységugrás
[math]\epsilon[k]=\begin{cases} 0 & k\lt 0 \\ 1 & k\geq0 \end{cases}[/math]
Állítás: Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként.
Bizonyítás: Nem bizonyítjuk.
Példa 1
Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként: [math]\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i][/math] (szerk.: ezt ellenőrizd le!)
Példa 2
Vegyük a következő jelet:
[math]x[k]=\begin{cases} 0 & k\lt 0 \\ 2 \cdot 0.1^k &\text{egyébként}\end{cases}[/math].
Ezt fel tudjuk írni egy sorban így:
[math]x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} 2 \cdot 0.1 ^ i * \delta[k-i][/math].
Itt ugye a [math]\delta[k-i][/math] csak a [math]k = i[/math] esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva:
[math]x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i][/math].
Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak [math]k = i[/math] esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk, miszerint:
[math]x[k]=x[k][/math]
DE!
LTI rendszer válasza
Nevezetes válaszok
- Impulzusválasz: a rendszer egységimpulzus gerjesztésre adott válasza. Jele: [math]h[k][/math]
- Ugrásválasz: a rendszer egységugrásra gerjesztésre adott válasza
Konvolúció
Hogyan írjuk fel egy rendszer válaszát? Általánosan leginkább sehogy. De ha a rendszerünk lineáris, s idő invariáns, akkor:
- [math]y[k] = W\left\{u[k]\right\}[/math]
- [math]y[k] = W\left\{\sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i]\right\}[/math]
- mivel ez lineáris rendszer, így: [math]y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot W\left\{\delta[k-i]\right\}[/math]
- mivel ez idő invariáns rendszer, így: [math]y[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i][/math]
Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:
- egységimpulzussal gerjesztem a termet (tapsolok),
- lemérem leghátul a terem által adott impulzusválaszt,
- számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.
Speciális esetek
Kauzális rendszer, belépő jel esetén
Kis gondolkodással belátható, hogy a belépő gerjesztés miatt 0 előtt nincs gerjesztés (a szorzat egyik tagja nulla), míg k után az impulzusválasz indexe lenne negatív, s így a kauzalitás miatt az impulzusválasz nulla (a szorzat másik tagja). Összefoglalva:
[math]y[k] = \sum_{i=0}^{k} x[i] \cdot h[k-i][/math]
Folytonos idejű jelek esetén
Speciális jelek
Egységugrás
[math]\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t\lt 0 \\ 1 & t\gt 0 \end{cases}[/math]
Megjegyzés: Az [math]\epsilon(0)[/math]-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc.
Egységimpulzus
Írjuk fel az [math]\epsilon(t, T)[/math] függvényt a következőképpen:
[math]\epsilon(t, T)=\begin{cases} 0 & t\lt 0 \\ 1/T & t \in (0, T) \\ 0 & t \gt T \end{cases}[/math]
Ez 0-tól T-ig 1/T értékű négyzet. [math]\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(t, T) dt = 1[/math]
Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az [math]\epsilon(t, T)[/math]-ben a T tart nullához.
Két lényeges tulajdonsága, amit megjegyzünk:
- [math]\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1[/math]
- [math]\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \cdot \delta(t-\tau) d\tau = f(t)[/math]
Az egységugrás és az egységimpulzus között itt is összefüggés van:
- [math]\delta(t) = \epsilon'(t)[/math]
- [math]\epsilon(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d \tau[/math]
LTI rendszer válasza
Nevezetes válaszok
- Impulzusválasz: a rendszer egységimpulzus gerjesztésre adott válasza. Jele: [math]h(t)[/math]
- Ugrásválasz: a rendszer egységugrásra gerjesztésre adott válasza
Konvolúció
Az a gondolatfolyam, ami a diszkrét esetben megtehető, itt is. Ezt én már nem teljesen értettem meg sosem, így csak a végeredmény:
[math]y(t) = \int_{i=-\infty}^{\infty} u(\tau) \cdot h(t-\tau) d\tau[/math]
A speciális esetek ugyanúgy felírhatók, mint a diszkrét esetben.
Jelek állapotváltozós leírása
Diszkrét idejű jelek esetén
Egy rendszer általánosságban leírható az alábbi két képlettel:
- [math]\vec{x[k+1]} = \vec{A} \cdot \vec{x[k]} + \vec{B} \ cdot u[k][/math]
- [math]\vec{y[k]} = \vec{C} \cdot \vec{x[k]} + \vec{D} \ cdot u[k][/math]
Ennek így elsőre semmi értelme, de:
- ha így írunk fel rendszereket, akkor egyszerűen kiszámolható az impulzusválaszuk
- ha így írunk fel rendszereket, akkor egyszerűen kiszámolható lesz adott gerjesztésre a válaszuk
- és ilyet kérdeznek ZH-n, háziban.
Szóval érdemes begyakorolni, megérteni, etc.
Amennyiben a rendszerünk egy gerjesztéssel, egy válasszal, és két köztes állapotváltozóval rendelkezik, ez így néz ki:
- [math]x_1[k+1] = A_{11} \cdot x_1[k] + A_{12} \cdot x_2[k] + B_1 \cdot u[k+1][/math]
- [math]x_2[k+1] = A_{21} \cdot x_1[k] + A_{22} \cdot x_2[k] + B_2 \cdot u[k+1][/math]
- [math]y[k] = C_1 \cdot x_1[k] + C_2 \cdot x_2[k] + D \cdot u[k][/math]
Kétszer kettes esetben az A, B, C, D vektorok így írhatóak fel:
- [math]A = \begin{amatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{amatrix}[/math]
- [math][/math]
- [math][/math]
- [math][/math]