„Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)” változatai közötti eltérés
(→Egyéb osztályozás: tengely info javítva) |
(Levettem az előadások számozását, mert nem szigorúan aszerint írom a jegyzetet.) |
||
11. sor: | 11. sor: | ||
* az első gyakon elhangzott, hogy az Euler-összefüggések még hasznosak lesznek. [https://hu.wikipedia.org/wiki/Euler-k%C3%A9plet#Kapcsolata_a_trigonometri.C3.A1val Innen] a szinus és a koszinus kifejezése, ni. | * az első gyakon elhangzott, hogy az Euler-összefüggések még hasznosak lesznek. [https://hu.wikipedia.org/wiki/Euler-k%C3%A9plet#Kapcsolata_a_trigonometri.C3.A1val Innen] a szinus és a koszinus kifejezése, ni. | ||
− | == | + | == Bevezetés == |
− | |||
A tárgy keretében ''fizikai'' folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például: | A tárgy keretében ''fizikai'' folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például: | ||
* Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma. | * Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma. | ||
19. sor: | 18. sor: | ||
* stb. | * stb. | ||
− | + | == Rendszerek ábrázolása == | |
− | Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható. | + | Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható. |
''<small>(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )</small>'' | ''<small>(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )</small>'' | ||
26. sor: | 25. sor: | ||
[[File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_rendszerek_ábrázolása.png]] | [[File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_rendszerek_ábrázolása.png]] | ||
− | + | === Példa === | |
A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek. | A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek. | ||
64. sor: | 63. sor: | ||
Egyébként such wow, a fenti felállásban az ''u'' a gerjesztés, az ''y'' pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban. | Egyébként such wow, a fenti felállásban az ''u'' a gerjesztés, az ''y'' pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban. | ||
− | + | == Jelek osztályozása == | |
Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Ebből én csak azt jegyzetelem le, amivel foglalkozik a tárgy, a többi nem érdekes. | Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Ebből én csak azt jegyzetelem le, amivel foglalkozik a tárgy, a többi nem érdekes. | ||
− | + | === Folytonos / Diszkrét idejű jelek === | |
Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről. | Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről. | ||
* Folytonos idejű, jelölése <math>x(t)</math> <br/> A folytonos idejű jelek minden <math>t \in \mathbb{R}</math> értékben értelmezettek. | * Folytonos idejű, jelölése <math>x(t)</math> <br/> A folytonos idejű jelek minden <math>t \in \mathbb{R}</math> értékben értelmezettek. | ||
* Diszkrét idejű, jelölése <math>x[k]</math> <br/> A diszkrét idejű jelek csak a <math>k \in \mathbb{Z}</math> egész számok helyén értelmezettek. | * Diszkrét idejű, jelölése <math>x[k]</math> <br/> A diszkrét idejű jelek csak a <math>k \in \mathbb{Z}</math> egész számok helyén értelmezettek. | ||
− | + | === Periodicitás === | |
− | + | ==== Folytonos időben ==== | |
Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>T \in \mathbb{R}</math> periódusidő, hogy | Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>T \in \mathbb{R}</math> periódusidő, hogy | ||
<math>x(t) = x(t + T)</math> minden ''t''-re. | <math>x(t) = x(t + T)</math> minden ''t''-re. | ||
− | + | ==== Diszkrét időben ==== | |
Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>L \in \mathbb{Z}</math> periódusidő, hogy | Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik <math>L \in \mathbb{Z}</math> periódusidő, hogy | ||
<math>x[k] = x[k + L]</math> minden ''k''-ra. | <math>x[k] = x[k + L]</math> minden ''k''-ra. | ||
− | + | === Egyéb osztályozás === | |
− | Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy. | + | Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy. |
* Determinisztikus: minden értéke ''megjósolható'' (nem véletlenszerű)<br/><small>ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz</small> | * Determinisztikus: minden értéke ''megjósolható'' (nem véletlenszerű)<br/><small>ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz</small> | ||
* Belépő: <math>x(t) = 0</math> minden <math>t<0</math> esetén. | * Belépő: <math>x(t) = 0</math> minden <math>t<0</math> esetén. | ||
94. sor: | 93. sor: | ||
<br/> '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk. | <br/> '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk. | ||
− | + | == Jelek felírása == | |
− | + | === Diszkrét idejű jelek esetén === | |
− | + | ==== Speciális jelek ==== | |
− | + | ===== Egységimpulzus ===== | |
<math>\delta[k]=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 &\text{egyébként}\end{cases}</math> | <math>\delta[k]=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 &\text{egyébként}\end{cases}</math> | ||
− | + | ===== Egységugrás ===== | |
<math>\epsilon[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 1 & k\geq0 \end{cases}</math> | <math>\epsilon[k]=\begin{cases} 0 & k<0 \\ 1 & k\geq0 \end{cases}</math> | ||
− | '''Állítás:''' Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként. | + | '''Állítás:''' Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként. |
<br/> '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk. | <br/> '''Bizonyítás:''' Nem bizonyítjuk. | ||
− | + | ===== Példa 1 ===== | |
Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként: | Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként: | ||
<math>\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i]</math> | <math>\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i]</math> | ||
''<small>(szerk.: ezt ellenőrizd le!)</small>'' | ''<small>(szerk.: ezt ellenőrizd le!)</small>'' | ||
− | + | ===== Példa 2 ===== | |
Vegyük a következő jelet: | Vegyük a következő jelet: | ||
129. sor: | 128. sor: | ||
DE! | DE! | ||
− | + | ==== Konvolúció ==== | |
Tegyük fel, hogy a rendszerek válasza is szuperpozíciónálható. Továbbá tegyük fel, hogy egy rendszer egységimpulzusra adott válaszát ''h[k]''-val jelöljük. | Tegyük fel, hogy a rendszerek válasza is szuperpozíciónálható. Továbbá tegyük fel, hogy egy rendszer egységimpulzusra adott válaszát ''h[k]''-val jelöljük. | ||
<br/><small>'''Megjegyzés:''' Ez így általánosságban nem igaz. Biztosan szükséges, hogy a rendszer lineáris, s időinvariáns legyen (lehet, még ez sem elég). Ezekről később lesz szó, ott érdemes végiggondolni, miért is van ezekre szükség - s hogy ennyi elég-e.</small> | <br/><small>'''Megjegyzés:''' Ez így általánosságban nem igaz. Biztosan szükséges, hogy a rendszer lineáris, s időinvariáns legyen (lehet, még ez sem elég). Ezekről később lesz szó, ott érdemes végiggondolni, miért is van ezekre szükség - s hogy ennyi elég-e.</small> | ||
140. sor: | 139. sor: | ||
Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor: | Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor: | ||
− | * egységimpulzussal ''gerjesztem'' a termet (tapsolok), | + | * egységimpulzussal ''gerjesztem'' a termet (tapsolok), |
− | * lemérem ''leghátul'' a terem által adott impulzusválaszt, | + | * lemérem ''leghátul'' a terem által adott impulzusválaszt, |
* számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére. | * számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére. | ||
− | + | === Folytonos idejű jelek esetén === | |
− | + | ==== Speciális jelek ==== | |
− | + | ===== Egységugrás ===== | |
<math>\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t>0 \end{cases}</math> | <math>\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t>0 \end{cases}</math> | ||
'''Megjegyzés:''' Az <math>\epsilon(0)</math>-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc. | '''Megjegyzés:''' Az <math>\epsilon(0)</math>-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc. | ||
− | + | ===== Egységimpulzus ===== | |
Írjuk fel az <math>\epsilon(t, T)</math> függvényt a következőképpen: | Írjuk fel az <math>\epsilon(t, T)</math> függvényt a következőképpen: | ||
A lap 2017. szeptember 11., 12:36-kori változata
Előszó: Amíg nem megy a LaTeX képletek renderelése a wikin, addig ezt feltöltöm PDF-ben is, ide: File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_latex.pdf
A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.
Ha a félév végéig sikerül rendesen csinálnom (igyekszem :-)), s legalább az első ZHig (~hetedeik hét) le van tisztázva az anyag, akkor közkincsé teszem, s mehet a Rendszerelmélet lap alá. Addig viszont szeretném a személyes játszóteremnek meghagyni (nemhiába szerkesztői subpage ez), s bármit hezitálás nélkül visszavonok, ami nem tetszik. Ha hibát találsz, vagy kérdésed van, a Vitalapon állok rendelkezésre. (vagy a vilmos.nagy@outlook.com email címen)
Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)
Tartalomjegyzék
Megjegyzések magamnak
Ezeket csak felvésem ide, hogy ne vesszen el. Még nem tudom, hova kellene ezeket bedolgozni...
- az első gyakon elhangzott, hogy az Euler-összefüggések még hasznosak lesznek. Innen a szinus és a koszinus kifejezése, ni.
Bevezetés
A tárgy keretében fizikai folyamatokat szeretnénk leírni. A fizikait értsd, hogy kb. bármilyen olyan folyamatot, amiben mérhető mennyiségek szerepelnek. Ezeket a mennyiségeket változókkal írjuk le. Ezekből a változókból, ha fizikai dimenzió nélkül kezeljük, lesznek a jeleink. Ilyen folyamat lehet, például:
- Az egyetem egyes évfolyamaira beiratkozott hallgatók száma.
- Híd deformációja a terhelés függvényében
- Lift sebessége a magasság függvényében, ha az ötödik emeletre akarunk menni.
- stb.
Rendszerek ábrázolása
Az alábbi ábrán egy egyszerű rendszer ábrázolása látható.
(szerk.: Remélem nem csesztem el benne semmit, az x[k], meg x[k+1] jelölés nem tuti. http://draw.io-n rajzolva, forrás itt: https://drive.google.com/open?id=0BzSJOKSJE6qqUUlwZVk0T3JYYUU )
Példa
A fenti rajz lehet az ábrája az alábbi rendszer-modellnek.
Egy egyszerű egyetemet, s az egyetemen tanuló hallgatók számát szeretnénk modellezni. Négy jelet veszünk fel: x1, x2, x3, y. Ebből az x-ek az adott évben az adott évfolyamra járó hallgatók száma, míg az y az adott évben végző hallgatók száma. Az x1 értéke egyenlő az adott évben beiratkozó hallgatók és az előző évben az első évfolyamot nem teljesítő hallgatók számával. Amennyiben az újonnan beiratkozókat u-val jelöljük, míg az egyes évfolyamokon megbukottakat a-val, sikeresen teljesítőket b-vel (ezt most önkényesen jelölöm a illetve b-vel):
- [math]x_1[k+1] = a_1 \cdot x_1[k] + u[k+1] [/math]
- [math]x_2[k+1] = a_2 \cdot x_2[k] + b_1 \cdot x_1[k] [/math]
- [math]x_3[k+1] = a_3 \cdot x_3[k] + b_2 \cdot x_2[k] [/math]
- [math]y[k] = b_3 \cdot x_3[k][/math]
(szerk.: remélem semmit nem írtam el, de ezt a gyakorlat után még utánaszámolom. Amíg nem javítják meg a wiki-t, addig itt le tudod renderelni ezeket: http://quicklatex.com/)
Ebből ilyen szép táblázatot lehet rajzolni, ha:
- [math]u[k] = 500[/math] minden k-ra
- [math]a_n = 0.3[/math] minden n-re
- [math]b_n = 0.65[/math] minden n-re
(vegyük észre, hogy [math]a_n + b_n[/math] nem szükségszerűen 1. A maradékot kirúgták, elment, etc. belefér a modellbe).
Év (k) | Elsőévesek | Másodévesek | Harmadévesek | Végzők |
---|---|---|---|---|
1 | 500 | 0 | 0 | 0 |
2 | 650 | 325 | 0 | 0 |
3 | 695 | 520 | 211 | 0 |
4 | 709 | 608 | 401 | 137 |
5 | 713 | 643 | 515 | 260 |
5 | 714 | 656 | 572 | 335 |
Nem számolom tovább, de ha ügyes vagy, néhány év múlva egy ~konstans értékre kéne beállnia a végzősök számának (~400 körül, valahol). Ez a tárgy ilyen (meg ennél bonyolultabb) modellekről, s azoknak az ennél egyszerűbb kiszámolásáról fog szólni.
Egyébként such wow, a fenti felállásban az u a gerjesztés, az y pedig a felvázolt rendszer válasza, s primitív rendszereket kell is majd hasonlóan számolgatni a háziban.
Jelek osztályozása
Millióféleképpen lehet jeleket osztályozni. Ebből én csak azt jegyzetelem le, amivel foglalkozik a tárgy, a többi nem érdekes.
Folytonos / Diszkrét idejű jelek
Beszélhetünk időben folytonos, vagy diszkrét idejű jelekről.
- Folytonos idejű, jelölése [math]x(t)[/math]
A folytonos idejű jelek minden [math]t \in \mathbb{R}[/math] értékben értelmezettek. - Diszkrét idejű, jelölése [math]x[k][/math]
A diszkrét idejű jelek csak a [math]k \in \mathbb{Z}[/math] egész számok helyén értelmezettek.
Periodicitás
Folytonos időben
Egy folytonos idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik [math]T \in \mathbb{R}[/math] periódusidő, hogy [math]x(t) = x(t + T)[/math] minden t-re.
Diszkrét időben
Egy diszkrét idejű jel periodikus akkor, és csak akkor, ha létezik [math]L \in \mathbb{Z}[/math] periódusidő, hogy [math]x[k] = x[k + L][/math] minden k-ra.
Egyéb osztályozás
Továbbá általában determinisztikus, belépő típusú jelekkel foglalkozik a tárgy.
- Determinisztikus: minden értéke megjósolható (nem véletlenszerű)
ez nyilván nem így hangzik matematikusul, de nekünk jó lesz - Belépő: [math]x(t) = 0[/math] minden [math]t\lt 0[/math] esetén.
Említés szintjén előkerül sztochasztikus (nem determinisztikus), nem belépő, x-ben belépő, diszkrét értékű, etc. jelek. Ezekkel nem foglalkozik a tárgy, de kis gondolkodással megfejtheted, melyik micsoda.
Továbbá megkülönböztetünk páros és páratlan jeleket:
- páros: [math]x(t) = x(-t)[/math] (az y tengelyre szimmetrikus)
- páratlan: [math]x(t) = -x(-t)[/math] (az origóra szimmetrikus)
Állítás: Minden jel felírható egy páros és egy páratlan jel összegére.
Bizonyítás: Nem bizonyítjuk.
Jelek felírása
Diszkrét idejű jelek esetén
Speciális jelek
Egységimpulzus
[math]\delta[k]=\begin{cases} 1 & k=0 \\ 0 &\text{egyébként}\end{cases}[/math]
Egységugrás
[math]\epsilon[k]=\begin{cases} 0 & k\lt 0 \\ 1 & k\geq0 \end{cases}[/math]
Állítás: Minden DI jel megadható egységimpulzusok szuperpozíciójaként.
Bizonyítás: Nem bizonyítjuk.
Példa 1
Az egységugrás felírható egységimpulzusok összegeként: [math]\epsilon[k]= \sum_{i=-\infty}^{k} \delta[i][/math] (szerk.: ezt ellenőrizd le!)
Példa 2
Vegyük a következő jelet:
[math]x[k]=\begin{cases} 0 & k\lt 0 \\ 2 \cdot 0.1^k &\text{egyébként}\end{cases}[/math].
Ezt fel tudjuk írni egy sorban így:
[math]x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} 2 \cdot 0.1 ^ i * \delta[k-i][/math].
Itt ugye a [math]\delta[k-i][/math] csak a [math]k = i[/math] esetben lesz 1, minden más esetben 0. Ezt kicsit tovább csavarva:
[math]x[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot \delta[k-i][/math].
Mivel fentebb már kimondtuk, hogy ennek csak [math]k = i[/math] esetben van értelme. Így meg, az egyszerűsítések után egy triviális dolgot kapunk, miszerint:
[math]x[k]=x[k][/math]
DE!
Konvolúció
Tegyük fel, hogy a rendszerek válasza is szuperpozíciónálható. Továbbá tegyük fel, hogy egy rendszer egységimpulzusra adott válaszát h[k]-val jelöljük.
Megjegyzés: Ez így általánosságban nem igaz. Biztosan szükséges, hogy a rendszer lineáris, s időinvariáns legyen (lehet, még ez sem elég). Ezekről később lesz szó, ott érdemes végiggondolni, miért is van ezekre szükség - s hogy ennyi elég-e.
Na, és itt jön a magic, mert (az előző példa gondolatmenetét részben folytatva) ezek után ki merjük mondani, hogy a rendszer [math]y[k][/math]:
[math]y[k]= \sum_{i=0}^{\infty} x[i] \cdot h[k-i][/math]
Vegyük észre, hogy összesen az egységimpulzust cseréltük le fent a válaszára, majd ugyanúgy szuperponáljuk az egyes egységimpulzusokat.
Ennek pedig van gyakorlati haszna is. Ha szeretném kiszámolni, hogy egy terem hogyan lesz akusztikusan jó (mondjuk a színházban leghátul, visszhang nélkül hallatszik a színész hangja), akkor:
- egységimpulzussal gerjesztem a termet (tapsolok),
- lemérem leghátul a terem által adott impulzusválaszt,
- számolok, hogy milyen választ adna a terem a színész hangjának a gerjesztésére.
Folytonos idejű jelek esetén
Speciális jelek
Egységugrás
[math]\epsilon(t)=\begin{cases} 0 & t\lt 0 \\ 1 & t\gt 0 \end{cases}[/math]
Megjegyzés: Az [math]\epsilon(0)[/math]-t nem definiáljuk, a tárgy keretében nem lesz rá szükség. Ha szeretnénk elképzelhetjük 0.5-nek, balról/jobbról 0/1-nek, etc.
Egységimpulzus
Írjuk fel az [math]\epsilon(t, T)[/math] függvényt a következőképpen:
[math]\epsilon(t, T)=\begin{cases} 0 & t\lt 0 \\ 1/T & t \in (0, T) \\ 0 & t \gt T \end{cases}[/math]
Ez 0-tól T-ig 1/T értékű négyzet. [math]\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(t, T) dt = 1[/math]
Az egységimpulzust nevezzük annak, ha az [math]\epsilon(t, T)[/math]-ben a T tart nullához.