„Matematika A2a - Vektorfüggvények - Vizsga, 2008.06.04.” változatai közötti eltérés
a (Hryghr átnevezte a(z) Matek A2 vizsga 2008.06.04. lapot a következő névre: Matematika A2a - Vektorfüggvények - Vizsga, 2008.06.04.) |
a ("megmentés") |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
− | {{ | + | {{Vissza|Matematika A2a - Vektorfüggvények}} |
− | + | _NOTOC_ | |
− | == | + | ==1. feladat== |
− | + | Legyen <math>\underline{\underline{A}}=\left( \begin{array}{rrr} | |
− | |||
-2 & -4 & 2 \\ | -2 & -4 & 2 \\ | ||
2 & 3 & 2 \\ | 2 & 3 & 2 \\ | ||
− | -2 & -2 & a \end{array} \right)</math> , ahol <math>a \in R </math>. Határozza meg <math>\underline{\underline{A}}</math> rangját <math>a</math> függvényében! | + | -2 & -2 & a \end{array} \right)</math>, ahol <math>a \in R </math>. Határozza meg <math>\underline{\underline{A}}</math> rangját <math>a</math> függvényében! |
− | + | {{Rejtett | |
− | + | |mutatott='''Megoldás''' | |
− | + | |szöveg=<math>\underline{\underline{A}}</math> rangja egyenlő a legnagyobb nem 0 részdetermináns méretével. | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | = | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | ''' | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | <math>\underline{\underline{A}}</math> rangja egyenlő a legnagyobb nem 0 részdetermináns méretével. | ||
<math>det\underline{\underline{A}}=-2(3a+4)-(-4)(2a+4)+2(-4+6)=-6a-8+8a+16+4=2a+12</math> | <math>det\underline{\underline{A}}=-2(3a+4)-(-4)(2a+4)+2(-4+6)=-6a-8+8a+16+4=2a+12</math> | ||
56. sor: | 16. sor: | ||
Ha <math>a \neq -6</math>, akkor <math>det\underline{\underline{A}} \neq 0</math>, és így a mátrix rangja 3. | Ha <math>a \neq -6</math>, akkor <math>det\underline{\underline{A}} \neq 0</math>, és így a mátrix rangja 3. | ||
− | Ha <math>a=-6</math>, akkor <math>det\underline{\underline{A}} = 0</math>, a mátrix | + | Ha <math>a=-6</math>, akkor <math>det\underline{\underline{A}} = 0</math>, a mátrix rangja 2. (Található benne 2*2-es nem 0 részdetermináns.) |
− | + | }} | |
− | A +15°-os elforgatás mátrixának (F) 102-edik hatványa egyenlő 102*15°-os elforgatás mátrixáéval. | + | ==2. feladat== |
+ | Határozza meg <math>R^3</math>-on a <math>z</math> tengely körüli <math>+15^\circ</math>-os forgatás szokásos bázisbeli mátrixának 102-edik hatványát! | ||
+ | {{Rejtett | ||
+ | |mutatott='''Megoldás''' | ||
+ | |szöveg=A +15°-os elforgatás mátrixának (F) 102-edik hatványa egyenlő 102*15°-os elforgatás mátrixáéval. | ||
102*15=1530=4*360+90. Tehát tulajdonképpen a 90°-os z körüli elforgatás mátrixát keressük, legyen ez T. | 102*15=1530=4*360+90. Tehát tulajdonképpen a 90°-os z körüli elforgatás mátrixát keressük, legyen ez T. | ||
Ha T-t szorozzuk a bázisvektorokkal, majd ezeket egy mátrixba pakoljuk, megkapjuk T mátrixát. | Ha T-t szorozzuk a bázisvektorokkal, majd ezeket egy mátrixba pakoljuk, megkapjuk T mátrixát. | ||
70. sor: | 34. sor: | ||
<math>F^{102}=T=\left( \begin{array}{rrr} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)</math> | <math>F^{102}=T=\left( \begin{array}{rrr} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)</math> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | ==3. feladat== | ||
+ | Deriválhatóak-e a következő függvények a megadott pontban? | ||
+ | '''(a)''' <math>f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} , \,P=(0,0)</math> | ||
− | == | + | '''(b)''' <math>f(x,y)=\frac{xy}{(x-1)^2+(y-1)^2} ,\, P=(2,2)</math> |
− | '''(a)''' | + | Azon eset(ek)ben, mely(ek)re a válasz igen, számítsa ki a derivált értékét! |
− | Az y=0 síkmetszet: f(x,0)= | + | {{Rejtett |
− | Mivel az f(x)= | + | |mutatott='''Megoldás''' |
+ | |szöveg='''(a)''' | ||
+ | Az y=0 síkmetszet: f(x,0)={{!}}x{{!}}, az x=0 síkmetszet: f(0,y)={{!}}y{{!}}. | ||
+ | Mivel az f(x)=x{{!}} függvény nem deriválható az x=0 pontban, ez a kétváltozós függvény sem lesz deriválható a (0,0) pontban. | ||
(A függvény képe egyébként egy origó csúcsú, z tengelyű, a tengellyel 45°-os szöget bezáró palástú, felfelé nyíló kúp.) | (A függvény képe egyébként egy origó csúcsú, z tengelyű, a tengellyel 45°-os szöget bezáró palástú, felfelé nyíló kúp.) | ||
'''(b)''' | '''(b)''' | ||
+ | }} | ||
− | + | ==4. feladat== | |
− | + | Számítsa ki az <math>\int_0^1\int_{y^2}^1y\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y</math> értékét! (Használja ki, hogy az eredmény független az integrálás sorrendjétől!) | |
− | Az | + | {{Rejtett |
+ | |mutatott='''Megoldás''' | ||
+ | |szöveg=Az integrálási határok alapján ábrázoljuk a <math>0<y<1</math>, <math>y^2<x<1</math> tartományt. Mivel adott sorrendben nem tudunk integrálni, megcseréljük a sorrendet. Ehhez az kell, hogy a tartomány leírásakor x legyen független, és y függjön x-től. A tartomány ábrájából leolvashatjuk, hogy <math>0<x<1</math>, és <math>0<y<\sqrt{x}</math> is leírja ezt a tartományt. Így megcserélve az integrálás sorrendjét: | ||
92. sor: | 67. sor: | ||
<math>=\frac{1}{4}[\frac{(1+x^2)^{3/2}}{3/2}]_0^1=</math> <math>\frac{1}{6}[(1+x^2)^{3/2}]_0^1=</math> <math>\frac{1}{6}[2\sqrt{2}-1]=\frac{\sqrt{2}}{3}-\frac{1}{6}</math> | <math>=\frac{1}{4}[\frac{(1+x^2)^{3/2}}{3/2}]_0^1=</math> <math>\frac{1}{6}[(1+x^2)^{3/2}]_0^1=</math> <math>\frac{1}{6}[2\sqrt{2}-1]=\frac{\sqrt{2}}{3}-\frac{1}{6}</math> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | ==5. feladat== | ||
+ | Létezik-e olyan hatványsor, melynek határfüggvénye minden valós x-re | ||
+ | |||
+ | '''(a)''' <math>f(x)=xsin\frac{1}{x}\, ha\, x\neq 0 , f(0)=0</math> | ||
+ | |||
+ | '''(b)''' <math>f(x)=\frac{sin x}{x}\, ha\, x\neq 0, f(0)=1</math> | ||
+ | |||
+ | Azon eset(ek)ben, mely(ek)re a válasz igen, adjon meg egy ilyen hatványsort! | ||
+ | {{Rejtett | ||
+ | |mutatott='''Megoldás''' | ||
+ | |szöveg=TODO | ||
+ | }} | ||
− | ==== | + | ==6. feladat== |
+ | '''(a) Igaz-e egy tetszőleges <math>n\times n</math>-es mátrix esetén, hogy'''<br/> | ||
+ | '''(a1)''' pontosan akkor invertálható, ha oszlop és sorrangja megegyezik.<br/> | ||
+ | '''(a2)''' pontosan akkor invertálható, ha oszlopvektorai között van olyan, amely lineárisan független a többi oszlopvektortól. | ||
+ | '''(b) Legyen <math>f</math> tetszőleges kétváltozós függvény, <math>a</math> a sík tetszőleges pontja és <math>S(a)</math> az <math>a</math> pont egy tetszőleges környezete. Igaz-e, hogy''''<br/> | ||
+ | '''(b1)''' ha <math>f</math> parciális deriváltjai folytonosak <math>S(a)</math>-ban, akkor <math>f</math> deriválható <math>a</math>-ban.<br/> | ||
+ | '''(b2)''' ha <math>a</math>-ban <math>f</math> parciális deriváltjai: <math>f_x(a)</math> és <math>f_y(a)</math> léteznek, akkor az <math>f</math> deriváltja <math>grad\,f</math> is létezik <math>a</math>-ban és <math>grad\,f|_a=(f_x(a),f_y(a))</math> | ||
− | + | '''(c) Legyen <math>a_n</math> > 0 minden <math>n</math>-re. Igaz-e, hogy'''<br/> | |
− | '''(a1)''' Hamis. Csak akkor invertálható, ha | + | '''(c1)''' ha <math>\sum(-1)^na_n</math> numerikus sor konvergens, akkor a <math>\sum a_n</math> is konvergens.<br/> |
+ | '''(c2)''' ha a <math>\sum a_n</math> numerikus sor konvergens, akkor a <math>\sum(-1)^n a_n</math> is konvergens. | ||
+ | {{Rejtett | ||
+ | |mutatott='''Megoldás''' | ||
+ | |szöveg='''(a1)''' Hamis. Csak akkor invertálható, ha mindkettő egyenlő <math>n</math>-nel. | ||
'''(a2)''' Hamis. Minden oszlopvektorának lineárisan függetlennek kell lennie a többitől. | '''(a2)''' Hamis. Minden oszlopvektorának lineárisan függetlennek kell lennie a többitől. | ||
103. sor: | 102. sor: | ||
'''(b1)''' Igaz. Ha a parciális deriváltak folytonosak, akkor ott a függvény folytonosan differenciálható, tehát totálisan is differenciálható. | '''(b1)''' Igaz. Ha a parciális deriváltak folytonosak, akkor ott a függvény folytonosan differenciálható, tehát totálisan is differenciálható. | ||
− | '''(b2)''' | + | '''(b2)''' |
'''(c1)''' Hamis. Ellenpélda: <math>a_n=\frac{1}{n}</math>. | '''(c1)''' Hamis. Ellenpélda: <math>a_n=\frac{1}{n}</math>. | ||
− | '''(c2)''' Igaz. Bontsuk szét <math>a_n</math>-t két sorozatra: <math>a_{n1}</math> a páratlan indexű, <math>a_{n2}</math> a páros indexű elemek részsorozata. Ekkor | + | '''(c2)''' Igaz. Bontsuk szét <math>a_n</math>-t két sorozatra: <math>a_{n1}</math> a páratlan indexű, <math>a_{n2}</math> a páros indexű elemek részsorozata. Ekkor mindkettő konvergens. Ebből <math>a_{n2}-a_{n1}</math> is konvergens, tehát <math>\sum(-1)^n a_n</math> is konvergens. |
+ | }} | ||
− | + | [[Kategória:Villanyalap]] |
A lap 2013. október 5., 21:11-kori változata
_NOTOC_
Tartalomjegyzék
1. feladat
Legyen [math]\underline{\underline{A}}=\left( \begin{array}{rrr} -2 & -4 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ -2 & -2 & a \end{array} \right)[/math], ahol [math]a \in R [/math]. Határozza meg [math]\underline{\underline{A}}[/math] rangját [math]a[/math] függvényében!
[math]\underline{\underline{A}}[/math] rangja egyenlő a legnagyobb nem 0 részdetermináns méretével.
[math]det\underline{\underline{A}}=-2(3a+4)-(-4)(2a+4)+2(-4+6)=-6a-8+8a+16+4=2a+12[/math]
Ha [math]a \neq -6[/math], akkor [math]det\underline{\underline{A}} \neq 0[/math], és így a mátrix rangja 3.
Ha [math]a=-6[/math], akkor [math]det\underline{\underline{A}} = 0[/math], a mátrix rangja 2. (Található benne 2*2-es nem 0 részdetermináns.)2. feladat
Határozza meg [math]R^3[/math]-on a [math]z[/math] tengely körüli [math]+15^\circ[/math]-os forgatás szokásos bázisbeli mátrixának 102-edik hatványát!
A +15°-os elforgatás mátrixának (F) 102-edik hatványa egyenlő 102*15°-os elforgatás mátrixáéval. 102*15=1530=4*360+90. Tehát tulajdonképpen a 90°-os z körüli elforgatás mátrixát keressük, legyen ez T. Ha T-t szorozzuk a bázisvektorokkal, majd ezeket egy mátrixba pakoljuk, megkapjuk T mátrixát.
[math]T*\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)[/math]
[math]T*\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)[/math]
[math]T*\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)[/math]
[math]F^{102}=T=\left( \begin{array}{rrr} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)[/math]3. feladat
Deriválhatóak-e a következő függvények a megadott pontban?
(a) [math]f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} , \,P=(0,0)[/math]
(b) [math]f(x,y)=\frac{xy}{(x-1)^2+(y-1)^2} ,\, P=(2,2)[/math]
Azon eset(ek)ben, mely(ek)re a válasz igen, számítsa ki a derivált értékét!
(a) Az y=0 síkmetszet: f(x,0)=|x|, az x=0 síkmetszet: f(0,y)=|y|. Mivel az f(x)=x| függvény nem deriválható az x=0 pontban, ez a kétváltozós függvény sem lesz deriválható a (0,0) pontban. (A függvény képe egyébként egy origó csúcsú, z tengelyű, a tengellyel 45°-os szöget bezáró palástú, felfelé nyíló kúp.)
(b)4. feladat
Számítsa ki az [math]\int_0^1\int_{y^2}^1y\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y[/math] értékét! (Használja ki, hogy az eredmény független az integrálás sorrendjétől!)
Az integrálási határok alapján ábrázoljuk a [math]0\lt y\lt 1[/math], [math]y^2\lt x\lt 1[/math] tartományt. Mivel adott sorrendben nem tudunk integrálni, megcseréljük a sorrendet. Ehhez az kell, hogy a tartomány leírásakor x legyen független, és y függjön x-től. A tartomány ábrájából leolvashatjuk, hogy [math]0\lt x\lt 1[/math], és [math]0\lt y\lt \sqrt{x}[/math] is leírja ezt a tartományt. Így megcserélve az integrálás sorrendjét:
[math]\int_0^1\int_0^{\sqrt{x}}y\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}y\mathrm{d}x[/math] [math]= \int_0^1 \sqrt{1+x^2} [y^2/2]_0^{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=[/math] [math]\int_0^1 \frac{x}{2}\sqrt{1+x^2} \mathrm{d}x=[/math] [math]\frac{1}{4}\int_0^1 2x\sqrt{1+x^2} \mathrm{d}x=[/math]
(ez [math]f'*f^n[/math] alakú, aminek az integrálja [math]f^{n+1}/(n+1)[/math])
[math]=\frac{1}{4}[\frac{(1+x^2)^{3/2}}{3/2}]_0^1=[/math] [math]\frac{1}{6}[(1+x^2)^{3/2}]_0^1=[/math] [math]\frac{1}{6}[2\sqrt{2}-1]=\frac{\sqrt{2}}{3}-\frac{1}{6}[/math]5. feladat
Létezik-e olyan hatványsor, melynek határfüggvénye minden valós x-re
(a) [math]f(x)=xsin\frac{1}{x}\, ha\, x\neq 0 , f(0)=0[/math]
(b) [math]f(x)=\frac{sin x}{x}\, ha\, x\neq 0, f(0)=1[/math]
Azon eset(ek)ben, mely(ek)re a válasz igen, adjon meg egy ilyen hatványsort!
6. feladat
(a) Igaz-e egy tetszőleges [math]n\times n[/math]-es mátrix esetén, hogy
(a1) pontosan akkor invertálható, ha oszlop és sorrangja megegyezik.
(a2) pontosan akkor invertálható, ha oszlopvektorai között van olyan, amely lineárisan független a többi oszlopvektortól.
(b) Legyen [math]f[/math] tetszőleges kétváltozós függvény, [math]a[/math] a sík tetszőleges pontja és [math]S(a)[/math] az [math]a[/math] pont egy tetszőleges környezete. Igaz-e, hogy'
(b1) ha [math]f[/math] parciális deriváltjai folytonosak [math]S(a)[/math]-ban, akkor [math]f[/math] deriválható [math]a[/math]-ban.
(b2) ha [math]a[/math]-ban [math]f[/math] parciális deriváltjai: [math]f_x(a)[/math] és [math]f_y(a)[/math] léteznek, akkor az [math]f[/math] deriváltja [math]grad\,f[/math] is létezik [math]a[/math]-ban és [math]grad\,f|_a=(f_x(a),f_y(a))[/math]
(c) Legyen [math]a_n[/math] > 0 minden [math]n[/math]-re. Igaz-e, hogy
(c1) ha [math]\sum(-1)^na_n[/math] numerikus sor konvergens, akkor a [math]\sum a_n[/math] is konvergens.
(c2) ha a [math]\sum a_n[/math] numerikus sor konvergens, akkor a [math]\sum(-1)^n a_n[/math] is konvergens.
(a1) Hamis. Csak akkor invertálható, ha mindkettő egyenlő [math]n[/math]-nel.
(a2) Hamis. Minden oszlopvektorának lineárisan függetlennek kell lennie a többitől.
(b1) Igaz. Ha a parciális deriváltak folytonosak, akkor ott a függvény folytonosan differenciálható, tehát totálisan is differenciálható.
(b2)
(c1) Hamis. Ellenpélda: [math]a_n=\frac{1}{n}[/math].
(c2) Igaz. Bontsuk szét [math]a_n[/math]-t két sorozatra: [math]a_{n1}[/math] a páratlan indexű, [math]a_{n2}[/math] a páros indexű elemek részsorozata. Ekkor mindkettő konvergens. Ebből [math]a_{n2}-a_{n1}[/math] is konvergens, tehát [math]\sum(-1)^n a_n[/math] is konvergens.